Mouvements de projectiles

Cours

Physique-P11

Mouvement d'un projectile

1- Généralités

On appelle projectile tout corps lancé au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale

V ሬሬሬሬሬ

₀

⃗

faisant un angle



avec l'horizontale.

En mécanique le mouvement d’un corps dépend de l’accélération (donc des forces) et des conditions initiales (vitesse et position).

1-1- Définition du système

Le système étudié est le projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On y associe le repère cartésien

(O; i ⃗ , j ⃗ , k ሬ ⃗ ).

1-2- Bilan des forces extérieures

Le projectile M (système) se déplaçant dans le référentiel Terrestre peut être soumis à diverses forces (poids

P ሬ ⃗

, poussée d'Archimède

P ሬሬሬ ⃗

, forces de frottement fluides

f ሬ ⃗

_{, etc.).}

Toutefois, on ne tiendra compte ni de la poussée d'Archimède, ni de la force de frottement fluide exercée sur le projectile.

On assimilera le projectile à un point matériel M.

z

x



V₀ ሬሬሬሬ⃗

Pሬ⃗ fሬ⃗

Pሬሬሬ⃗ Vሬሬ⃗

y

O

La seule force qui agit est le poids

P ሬ ⃗ = m.g ሬ ⃗

du corps: le solide est en "chute libre".

1-3- Utilisation de la seconde loi de Newton

On applique la seconde loi de Newton dans le référentiel terrestre où l’application du théorème du centre d’inertie donne:

෍ F ሬሬሬሬሬሬሬሬ

_ext

⃗ = P ሬ ⃗ = m.g ሬ ⃗ = m.a ሬ ⃗

C'est-à-dire avec:

a ሬ ⃗ = g ሬ ⃗

Etant donné que le mouvement se fait dans une petite région l’accélération est constante, et ne dépend ni de la masse de l’objet, ni de la manière dont il a été lancé: on dira que le champ de pesanteur

g ሬ ⃗

est invariant.

1-4- Conditions initiales

Le projectile est lancé depuis le point

O

, choisi comme origine. Le plan d’étude choisi est le plan (xOz) contenant le vecteur vitesse initiale

V ሬሬሬሬሬ

₀

⃗

et le vecteur champ de pesanteur

g ሬ ⃗

^.

OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗ ቮ x

₀

= 0 y

₀

= 0 z

₀

= 0

V

₀

ሬሬሬሬሬ ⃗ ቮ

V

_x0

= V

₀

.cos a V

_y0

= 0

V

_z0

= V

₀

.sin a ^{a ሬ ⃗ = -g.k} ሬ ⃗ ቮ

a

_x

= 0 a

_y

= 0 a

_z

= -g

z

x



V₀ ሬሬሬሬ⃗

Pሬ⃗ Vሬሬ⃗ gሬ⃗

y

O

2- Les équations du mouvement

Le mouvement s'effectuant dans le plan (xOy), les composantes des vecteurs suivant l'axe Oy seront toujours nulles.

2-1- Equation horaire du vecteur vitesse

L'accélération

a ሬ ⃗

étant la dérivée de la vitesse

v ሬ ⃗

, on en déduit le vecteur vitesse

v ሬ ⃗

^en

recherchant la primitive de l'accélération:

dv ሬ ⃗

dt =a ሬ ⃗ ⟺ v ሬ ⃗ = න a ሬ ⃗ .dt

Soit en passant par les composantes:

a ሬ ⃗ ተ ተ

dv

_x

dt = 0 dv

_y

dt = 0 dv

_z

dt = -g

⇔ v ሬ ⃗ ቮ

v

_x

= V

₀

.cos a v

_y

= 0

v

_z

= -g.t + V

₀

.sin a

Les constantes d'intégration dépendant des conditions initiales.

On constate que la composante

v

x de la vitesse

v ሬ ⃗

est indépendante du temps, tandis que la composante

v

z est une fonction affine du temps.

D'où le graphique ci-contre représentant l'évolution temporelle des composantes du vecteur vitesse

v ሬ ⃗.

2-2- Equation horaire du vecteur position

La vitesse

v ሬ ⃗

étant la dérivée de la position

OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗

, on en déduit le vecteur position

OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗

_en

recherchant la primitive de la vitesse:

dOM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗

dt = v ሬ ⃗ ⟺ OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗ = න v ሬ ⃗ .dt

v

_x

v

_y

O t

Soit en passant par les composantes:

v ሬ ⃗ ተ

ተ v

_x

= dx

dt = V

⁰

.cos a v

_y

= dx

dt = 0 v

_z

= dx

dt = -g.t + V

⁰

.sin a

⇔ OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗ ተተ

x = V

₀

.cos a .t y = 0

z = - 1

2 .g.t

²

+ V

₀

.sin a .t

Les constantes d'intégration dépendant des conditions initiales.

On constate que la composante

x

de la position

OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗

est une fonction linéaire du temps, tandis que la composante

z

est une fonction parabolique du temps.

D'où le graphique ci-contre représentant l'évolution temporelle des composantes du vecteur position

OM ሬሬሬሬሬሬሬ ⃗ .

2-3- Equation de la trajectoire du projectile

L’équation de la trajectoire est une fonction de la forme

z = f(x)

, puisque le mouvement a lieu dans le plan (xOz).

Il est nécessaire d’éliminer le paramètre t, en utilisant l’équation horaire x(t) établie précédemment:

x = V

₀

.cos a .t ⇒ t = x V

₀

.cos a

En injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient:

z = - 1

2 .g.t

²

+ V

₀

.sin a .t ⇒ z(x) = - g

2.V

₀²

.cos

²

a ^.x

²

^{+ tan} a .x

Cette équation est celle d'une fonction parabolique.

x

z

O t

2-4- Expression de la flèche

La flèche correspond à l’altitude maximale atteinte (

z

S

= H

). Cette altitude correspond au sommet S de la trajectoire.

Pour déterminer la valeur de la flèche

z

S, on peut remarquer qu'en ce point S:

– La composante verticale de la vitesse est nulle:

v

zS

= 0

. – La tangente à la courbe est horizontale, donc:

ቀ

_dx^dz

ቁ

S

= 0

.

Remarque: Au point S la vitesse

v ሬሬሬሬ

_S

⃗

du projectile n'est pas nulle, seule sa composante verticale

v

zsest nulle.

Première méthode: basée sur le raisonnement physique, elle est la plus rapide et sera donc privilégiée.

La composante verticale

v

zsde la vitesse étant nulle, on aura:

v

_zs

= -g.t

_S

+ V

₀

.sin a = 0 ⇒ t

_S

= ^V

⁰

^.sin a g

En injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient:

z

_S

= - 1

2 .g.t

²

+ V

₀

.sin a .t

_S

⇒ H = z

_S

= - V

₀²

.sin

²

a 2.g

z

x



V₀ ሬሬሬሬ⃗

H v_S ሬሬሬሬ⃗

gሬ⃗

O zS

xS

S

Seconde méthode: basée sur le raisonnement mathématique, elle est plus longue et fait appel au fait qu'une courbe a sa dérivée qui s'annule en ses extrémum.

On commence par déterminer l'abscisse

x

sde la flèche.

La dérivée de l'équation de la trajectoire du projectile au point S est nulle, donc:

ቆ dz dx ቇ

S

= 0 ⇒ d

dx ቆ - g

2.V

₀²

.cos

²

a ^.x

²

^{+ tan} a .x ቇ

S

= 0

C'est à dire:

- 2.g

2.V

₀²

.cos

²

a ^.x

^S

^{+ tan} a =0

On aura ainsi pour l'abscisse

x

sde la flèche:

x

_S

= V

₀²

.sin a .cos a g

Ainsi la flèche

z

S

= H

de la trajectoire est obtenue en remplaçant l'abscisse

x

S par sa valeur dans l'expression de l'équation de la trajectoire:

z

_S

= - g

2.V

₀²

.cos

²

a ^{. ൭}

V

₀²

.sin a .cos a

g ൱

2

+ tan a . V

₀²

.sin a .cos a g

Soit après simplification:

H = z

_S

= - V

₀²

.cos

²

a 2.g 2-5- Expression de la portée

La portée correspond à la distance maximale atteinte (

x

A

=D

). Cette distance correspond au point A de la trajectoire pour laquelle la composante

z

Aa une valeur nulle. On aura ainsi:

z

_A

= - g

2.V

₀²

.cos

²

a ^.x

^A2

^{+ tan} a .x

_A

=0

La solution

x

A

= 0

correspondant au point d'origine, on en déduit la valeur de

x

A:

x

_A

= 2.V

₀²

.cos a .sin a g

Comme

2.cos  .sin  =sin2 

, l'expression donnant la valeur

D

de la portée est:

D = V

₀²

.sin2 a g

Remarque: La valeur

V

_A de la vitesse de l'objet en A est la même que celle de la vitesse à l'instant initial (

V

A

=V

0). Seul l'angle avec l'horizontal est changé (

- 

).

2-6- Influence des paramètres initiaux sur la flèche et la portée

On constate que les valeurs de la flèche

H

et de la portée

D

sont proportionnelles à

V

02. Pour une valeur donnée de l'angle



; plus la valeur

V

0 de la vitesse initiale est grande, plus le projectile s'élève et parcourt une distance importante.

z

x



V₀ ሬሬሬሬ⃗

v_A ሬሬሬሬ⃗ gሬ⃗

O

xA

A D

Pour une valeur donnée de la vitesse

V

0, on constate que:

- Lorsque l'angle



croit de

0°

à

45°

, la flèche

H

et la portée

D

augmentent.

- Pour

 =45°

, la portée

D

est maximale (

sin2  =1

). C'est cette valeur que les lanceurs de poids, de marteau ou de javelot, recherchent pour donner à leurs jets une efficacité optimale.

- Lorsque l'angle



croit de

45°

à

90°

, la flèche

H

continue à augmenter, alors que la portée

D

diminue.

- La flèche est maximale et la portée est nulle pour

 =90°

: on retrouve alors le cas particulier de la chute libre verticale.

Pour

V

0 donné, deux projectiles lancés respectivement avec les angles de tir



₁ et



₂

complémentaires ont la même portée, mais des flèches différentes.

Remarque:On peut retrouver l'angle pour lequel on obtient la portée maximale en étudiant la relation:

D = V

₀²

.sin2 a

g

On constate que

D

est maximum si on a

sin2  =1

, c'est-à-dire

 =45°

.