17 mai 2016 14:16 2015-062-PSI-Mat2
Oral Mathématiques 2 PSI
Soit 𝑛 un entier naturel. On dispose de𝑛 + 1 urnes 𝑈0, …, 𝑈𝑛. Pour tout 𝑗 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, l’urne 𝑈𝑗 contient 𝑗 + 1 boules numérotées de 0 à 𝑗. On effectue une succession de tirages d’une boule avec remise selon le protocole suivant :
− au premier tirage, on tire une boule avec remise dans l’urne𝑈𝑛;
− à l’issue de ce premier tirage, si on obtient la boule numéro 𝑗 (𝑗 ∈ ⟦0, 𝑛⟧), le second tirage s’effectue dans l’urne 𝑈𝑗;
− on continue alors les tirages selon la même règle : pour tout 𝑘 dans ℕ∗, on tire une boule avec remise au 𝑘-ième tirage et on note le numéro𝑗de la boule tirée. Le(𝑘 + 1)-ième tirage s’effectue alors avec remise dans l’urne 𝑈𝑗.
Pour tout 𝑘dansℕ∗, on note𝑋𝑘 la variable aléatoire égale au numéro tirée lors du 𝑘-ième tirage. Le premier tirage ayant lieu dans l’urne𝑈𝑛, on pose𝑋0= 𝑛.
Pour tout entier naturel𝑘, on considère la matrice𝑊𝑘 dansℳ𝑛+1,1(ℝ)et la matrice𝐴dansℳ𝑛+1(ℝ)définies par :
𝑊𝑘 =⎛⎜⎜⎜
⎝
𝑃 {𝑋𝑘 = 0}
𝑃 {𝑋𝑘 = 1}
𝑃 {𝑋𝑘⋮= 𝑛}
⎞⎟
⎟⎟
⎠
𝐴 =
⎛⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
1 12 1
3 … 1
𝑛 + 1 0 12 1
3 … 1
𝑛 + 1
⋮ 0 13 ⋱ 1 𝑛 + 1
⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 0 1
𝑛 + 1
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠ Pour tout entier naturel𝑘, on note𝐸(𝑋𝑘)l’espérance de𝑋𝑘.
1. a. La matrice𝐴est-elle diagonalisable ?
b. Déduire du résultat précédent que la suite(𝐴𝑘)𝑘∈ℕest convergente de limite 𝑃dont on précisera briève- ment la nature géométrique.
c. Écrire une fonctionmatriceA(n) qui prend en paramètre un entier𝑛et renvoie la matrice𝐴correspon- dante.
d. En utilisant la fonction linalg.eigdenumpy déterminer le vecteur propre associé à la valeur propre1 de𝐴.
2. Écrire une fonction qui prend en paramètres deux entiers𝑘et𝑛et renvoie une liste contenant le résultat de 𝑘tirages (on pourra utiliser la fonctionrandintdu modulerandomde Python).
Tester plusieurs fois avec𝑛 = 10(puis𝑛 = 100) et𝑘 = 50.
3. a. Pour tout𝑗dans⟦0, 𝑛⟧, écrire𝑃 (𝑋𝑘+1= 𝑗)en fonction de certains des nombres 𝑃 (𝑋𝑘= 𝑖)pour 𝑖dans
⟦0, 𝑛⟧.
b. En déduire la relation : 𝑊𝑘+1= 𝐴 𝑊𝑘 puis une expression de𝑊𝑘 en fonction de𝐴et de𝑊0.
c. Écrire une fonction en Python qui prend en paramètres deux entiers𝑘et𝑛qui engendre le vecteur𝑊0, calcule𝐴𝑘 (en utilisant matriceA(n)) et renvoie le vecteur𝑊𝑘 correspondant.
Tester le programme avec𝑛 = 10(puis𝑛 = 100) et 𝑘 = 20.
4. a. Déterminer la matrice𝐵 dansℳ1,𝑛+1(ℝ) telle que𝐵 𝑊𝑘= 𝐸(𝑋𝑘).
b. Calculer le produit𝐵 𝐴en fonction de𝐵.
c. Pour tout entier naturel𝑘, exprimer𝐸(𝑋𝑘+1)en fonction de𝐸(𝑋𝑘).
d. En déduire l’expression de 𝐸(𝑋𝑘)en fonction de𝑘et 𝑛.
Ce résultat est-il en accord avec les résultats théoriques et empiriques précédents ?
