SSS 2LaméthodedeGauss Chapitre8–Systèmeslinéaires1Introduction

(1)

Chapitre 8 – Syst`emes lin´eaires

1 Introduction

1. D´efinition

Unsystème linéairedepéquationsàninconnuesest un ensemble d’équations[E1],[E2], . . . ,[Ep]:

(S)











α_1,1 X₁ + α_1,2X₂ + · · · + α_1,nX_n = β₁ [E1] α_2,1 X₁ + α2,2X2 + · · · + α2,nXn = β2 [E2] . . . . αp,1 X1 + αp,2X2 + · · · + αp,nXn = βp [Ep]

dans lequel lesα_i,jet lesβ_isont des nombresconnus, etX₁, . . . ,Xndes nombresinconnusqu’il s’agit de calculer. Lesα_i,j sont lescoefficientsdu syst`eme, et lesβ_i sont lesseconds membres.

Unesolutiondu système est unn-uple (X1;X2;. . .;Xn) qui vérifietoutesles équations du système.

2. Interprétation géométrique

• En 2D, une ligne droite est représentée par une équation du type : ax+by = c, d’o ù le nom d’équation linéairepour ce genre d’équation.

L’intersection de deux droites du plan est l’ensemble des points de coordonn´ees (x;y) v´erifiant un

syst`eme du type : %

a x+b y =c

a^"x+b^"y =c^"

• En 3D, unplanest représenté par une équation du type :ax+by+cz=d.

# L’intersection de 2 plans est l’ensemble des points de coordonnées (x;y;z) vérifiant un système

du type : %

a x+b y+c z =d

a^"x+b^"y+c^"z =d^"

# L’intersection de 3 plans est l’ensemble des points de coordonnées (x;y;z) vérifiant un système

du type : 









a x+b y+c z =d

a^"x+b^"y+c^"z =d^"

a^""x+b^""y+c^""z =d^""

2 La m´ethode de Gauss

1. Laméthode de Gauss, appelée aussiméthode d’éliminationouméthode du pivot, permet de trouver et de décrire l’ensemble des solutions d’un système linéaire.

Elle proc`ede par ´etapes :

!Partant dusystème initial, notéS0, la méthode construit une suite de systèmes linéairesauxiliaires, S1,S2, . . . , chacun plus simple que le précédent, qui ont les mêmes solutions queS0.

S₀ S₁ S_t

(2)

!Finalement, on arrive à un système tellement simplifié qu’on peut le résoudre sans calcul.

Il y a deux parties dans la m´ethode :

#latransformationdu syst`eme, qui le simplifie,

#la r´esolution dusyst`eme terminal, qu’on appelle ladiscussion.

2. Afin d’obtenir un système plus simple, le passage deS_k−1 àSka pour objectif d’éliminer le plus possible l’inconnue X_k: on voudrait queX_kn’apparaisse plus que dansune seule équation.

Sk−1











· · · + α_1,kXk +

· · · + α2,kXk +

. . . .

· · · + αj,kXk +

. . . .

· · · + α_p,kXk +

Sk











· · · + 0 +

. . . .

· · · + αj,kXk +

. . . .

· · · + 0 +

Pour cela, il suffit d’ajouter un multiple convenable de[Ej] `a chacune des autres ´equations :

`a l’´equation[Ei], on ajoute−α_i,k αj,k[Ej].

3. Exemple

S0











2X₁ −2X2 −9X3 = −25 5X1 −6X2 −22X3 = −62 X1 −2X2 −7X3 = −21

⇒











2X1 −2X2 −9X3 = −25 5X₁ −6X₂ −22X₃ = −62 X₁ −2X₂ −7X₃ = −21

S1











2X2 +5X3 = 17 4X2 +13X3 = 43 X₁ −2X₂ −7X₃ = −21

⇒











2X2 +5X3 = 17 4X2 +13X3 = 43 X₁ −2X₂ −7X₃ = −21

S2











2X₂ +5X₃ = 17 3X₃ = 9 X₁ −2X₃ = −4

⇒











2X₂ +5X₃ = 17

3X₃ = 9

X₁ −2X₃ = −4

S3











2X₂ = 2 X₂=1

3X3 = 9 X3=3

X₁ = 2 X₁=2

3. Commentaires & Question

#On a résolu le système en faisant uniquement des transformations du type :ajouter à une équation un multiple d’une autre équation.

#L’équation à ajouter ne peut pas être choisie n’importe comment. On a donc intérêt à regrouper les équations qui peuvent être choisies etchangeant l’ordre des équations.

#Que faire quand tous les coefficients deX_ksont nuls dans les ´equations qui peuvent ˆetre choisies ?

(3)

# Plutˆot que d’ajouter−α_i,k

αj,k[Ej] `a [Ei], il seraitplus pratiquede diviser d’abord, et une fois pour toute, l’´equation [Ej] parα_j,k.

3 Les transformations

1. Pour passer deS_k−1 `aSk, on utilisera 3 sortes de transformations :

• L’ajoutà une équation d’un multiple d’une autre équation.

[Ei → Ei+αEj]signifie que laiêéquation est remplacée par sa somme avecαfois lajêéquation.

• L’´echangede deux ´equations.

[Ei "Ej]signifie que laiêet la la jêéquations sont échangées.

• Lamultiplicationd’une ´equation par un nombre non nul.

[Ej →αEj]signifie que lajê équation est multipliée parα.

Ces transformations modifient les syst`emes, mais ne changent pas leurs solutions, car on peut toujoursrevenir en arri`ere:

#apr`es [Ei → Ei+αEj] en faisant [Ei→ Ei−αEj],

#après l’échange [Ei"Ej] en refaisant le même échange,

#apr`es [Ej →αEj] en faisant [Ej →α⁻¹Ej].

2. Les équations des systèmes auxiliaires seront réparties en deux groupes : leséquations déplaçables et leséquations non déplaçables:

équations déplaçables équations non déplaçables

S

_k

• les équationsnon déplaçablessonten hautdu système,

• les équationsdéplaçablessonten bas.

!Dans le système initialS0, toutes les équations sont déplaçables.

!L’ensemble des équations non déplaçables augmente de 0 ou 1 équation avec chaque nouveau système.

!Une équation qui devient non déplaçable dans un système auxiliaire va le rester dans tous les systèmes suivants.

!La méthode s’arrête quand la construction d’un nouveau système auxiliaire n’est plus possible.

!L’arrˆet peut se produire pour deux sortes de causes :

•soit parce qu’on a pass´e en revue toutes les inconnues,

•soit parce que le dernier système trouvé n’a plus d’équation déplaçable ; dans ce cas, s’il reste des inconnues qui n’ont pas été passées en revues, on dit que ce sont desinconnues non principales.

3. Passage deS_k−1 `aSk

On commence par examiner les coefficients deX_k dans leséquations déplaçablesdeS_k−1.

(4)

déplaçables non déplaçables

* *

X_k

S

_k_-1

•Si tous ces coefficients sont tous nuls, on dit que lepivot de X_kest nulet queX_kest uneinconnue non principale. Dans ce casSk =S_k−1, et on passe directement `a la construction deSk+1.

•Si un de ces coefficients n’est pas nul, on dit queX_kest uneinconnue principale.

´Etape 1:

On choisit un coefficient non nul, on l’appelle lepivot de X_k :

* *

X_k

´Etape 2:

Pour obtenir une équation o ùle coefficient de X_kvaut1, on divise l’équation du pivot par le pivot :

* *

X

*

_k

1

´Etape 3:

On échange cette équation modifiée avec la plus haute

équation déplaçable du système. Dans sa nouvelle position, cette équation devient non déplaçable.

*

X

*

_k

*

1

(5)

´Etape 4:

On ajoute des multiples de cette nouvelle équation non déplaçable à toutes les autres équations du système, en choisissant les multiples pour éliminer X_kde ces équations, et l’on obtientSk.

X_k

S

_k

1 0 0 0 0

0 0

4. Commentaires

! Le système Sk a une équation non déplaçable de plus que S_k−1, et c’est la plus basse de ses

équations déplaçables. C’est la seule équation deSko ù l’on trouveX_k. Dans cette équation,X_ka le coefficient 1.

! Les inconnues déjà passées en revue : X₁,X₂, . . . ,X_k, n’apparaissent plus dans les équations déplaçables deSk.

X_k

S_k 1

00 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00

Leurs coefficients dans les équations déplaçables n’ont pas été modifiés lors du passage deS_k−1 à Sk, ce qui fait qu’ils ne seront plus jamais modifiés par la suite.

4. Exemple

S0











2X₁ −X₂ −5X₃ −10X₄ +20X₅ = 0

−2X₁ +6X₂ +20X₃ +19X₄ −28X₅ = −1 3X₁ −5X₂ −18X₃ −25X₄ +43X₅ = −3 X₁ −2X2 −7X₃ −9X₄ +15X₅ = 2p+1 Passage `a S1

2X₁ −X2 −5X3 −10X₄ +20X5 = 0

−2X1 +6X2 +20X3 +19X4 −28X5 = −1 3X₁ −5X₂ −18X₃ −25X₄ +43X₅ = −3 X₁ −2X₂ −7X₃ −9X₄ +15X₅ = 2p+1











X₁ −2X₂ −7X₃ −9X₄ +15X₅ = 2p+1

−2X₁ +6X₂ +20X₃ +19X₄ −28X₅ = −1 3X₁ −5X₂ −18X₃ −25X₄ +43X₅ = −3 2X₁ −X2 −5X3 −10X₄ +20X5 = 0

(6)

S1











X₁ −2X2 −7X₃ −9X₄ +15X₅ = 2p+1 +2X2 +6X3 +X₄ +2X5 = 4p+1 X2 +3X3 +2X4 −2X5 = −6p−6 3X₂ +9X₃ +8X₄ −10X₅ = −4p−2

Passage `a S2









X₁ −2X₂ −7X₃ −9X₄ +15X₅ = 2p+1 +2X₂ +6X₃ +X₄ +2X₅ = 4p+1 X₂ +3X₃ +2X₄ −2X₅ = −6p−6 3X₂ +9X₃ +8X₄ −10X₅ = −4p−2











X₁ −2X2 −7X3 −9X₄ +15X5 = 2p+1 X2 +3X3 +2X4 −2X5 = −6p−6 +2X₂ +6X3 +X4 +2X5 = 4p+1 3X₂ +9X₃ +8X₄ −10X₅ = −4p−2

S2











X₁ −X3 −5X₄ +11X₅ = −10p−11 X2 +3X3 +2X₄ −2X5 = −6p−6

−3X4 +6X5 = 16p+13 +2X₄ −4X₅ = 14p+16

Le pivot deX₃est nul,X₃est une inconnue non principale,S3=S2. Passage `a S4

X₁ −X3 −5X₄ +11X5 = −10p−11 X2 +3X3 +2X4 −2X5 = −6p−6

−3X4 +6X5 = 16p+13 +2X₄ −4X₅ = 14p+16











X₁ −X₃ −5X₄ +11X₅ = −10p−11 X₂ +3X₃ +2X₄ −2X₅ = −6p−6

−3X₄ +6X₅ = 16p+13 +X₄ −2X5 = 7p+8











X1 −X3 −5X4 +11X5 = −10p−11 X2 +3X3 +2X4 −2X5 = −6p−6

+X₄ −2X₅ = 7p+8

−3X₄ +6X₅ = 16p+13

(7)

S4











X₁ −X3 +X₅ = 25p+29

X2 +3X3 +2X5 = −20p−22

+X4 −2X5 = 7p+8 0 = 37p+37

Le pivot deX₅est nul,X₅est une inconnue non principale,S5=S4.

S5











X₁ −X3 +X5 = 25p+29

X2 +3X3 +2X5 = −20p−22

+X₄ −2X₅ = 7p+8 0 = 37p+37

Finalement le système possède trois inconnues principalesX₁,X₂,X₄, deux inconnues non princi- palesX3,X5, et il reste une équation déplaçable.

4 Discussion

1. La construction des systèmes auxiliaires s’arrête parce qu’on aépuisé toutes les inconnues ou toutes les équations.

!S’il reste des équationsdéplaçablesdans le système terminal, elles sont nécessairement de la forme 0=b. Alors :

• ou bien il existe au moins uneéquation déplaçabledu système terminal de la forme 0 = b, avec b!0et le système ne peut pas avoir de solution ; on dit qu’il estimpossible.

• ou bientoutes les équation déplaçabledu système terminal sontde la forme0=0.

! On supprime les équations de la forme0 = 0 et on se retrouve avec un système dans lequel chaque inconnue principale apparaˆıt dans une et une seule équation, avec le coefficient 1.

2. Exemple

S5











X₁ −X3 +X5 = 25p+29

X2 +3X3 +2X5 = −20p−22

+X₄ −2X₅ = 7p+8 0 = 37p+37

• Sip!−1 le syst`eme n’a pas de solution.

• Sip=−1 on remplace le syst`eme par :

S^"₅











X₁ −X3 +X₅ = 4

X2 +3X3 +2X5 = −2

+X4 −2X5 = 1

3. Quandtoutes les inconnues sont principales, les équations du système terminal sont toutes de la formeX_i =b_iavecb_iconnu, et le système est résolu :S0possède une et une seule solution.

4. Quand il y a desinconnues non principales, on les fait passer dans les membres de droite.

(8)











X₁ = 4 +X₃ −X₅

X₂ = −2 −3X₃ −2X₅

X₄ = 1 +2X5

À chaque fois qu’on donne une valeur arbitraire aux inconnues non principales, on obtient une valeur des inconnues principales : le système estindéterminé, mais on vient de trouver unedescription de l’ensemble des solutions.

5. Le système terminal dépend du choix des pivots et de l’ordre dans lequel les inconnues sont examinées. Si l’on change les pivots ou l’ordre des inconnues, on obtient un autre système terminal, avec d’autres inconnues principales, mais lenombre d’inconnues principales reste le même.

On appelle ce nombre lerangdu syst`eme.

La conduite de la méthode ne tient aucun compte des seconds membres, seuls les premiers membres des équations interviennent. Pour cette raison on dit que le rang est un invariant at- taché aux coefficients du système.