BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 ´
MATH´ EMATIQUES APPROFONDIES
31 mars 2019
CORRIG´ E
Dur´ee : 2 heures
Exercice I 7 points
1. L’´enonc´e donne presque directement
P(A) = 380
1000 = 0,38 PA(S) = 0,93
PA S
= 0,15
2. Arbre de probabilit´es : voir l’annexe 1.
3. La probabilit´e que le client se soit rendu en agence et qu’il ait ´et´e satisfait de l’accueil est
P(A∩S) =P(A)×PA(S) = 0,38×0,93 = 0,3534 4. La probabilit´e de S est
P(S) =P(A∩S) +P(A∩S)
=P(A)×PA(S) +P(A)×PA(S)
= 0,38×0,93 + 0,62×0,85
= 0,880 4.
5. Le responsable a pour objectif qu’il y ait moins de 10 % clients non satisfaits par l’accueil. Cet objectif n’est pas atteint carP(S) = 1−P(S) = 0,1196>0,1.
6. Sachant que le client a ´et´e satisfait, la probabilit´e qu’il se soit rendu en agence est PS(A) = P(A∩S)
P(S) = 0,3534
0,8804 ' 0,4014 7. A∪S est l’´ev´enementA ouS.
P(A∪S) =P(A) +P(S)−P(A∩S)
= 0,38 + 0,8804−0,3534
= 0,907
8. Les ´ev´enementsA etS ne sont pas ind´ependants car P(A∩S)
| {z }
0,3534
6=P(A)×P(S)
| {z }
0,3345
9. (a) On r´ep`ete 10 fois, de mani`ere ind´ependante, l’exp´erience de Bernoulli `a deux issues :la fiche pr´elev´ee est celle d’une femme ou pas. Le nombre de succ`es (de fiches de femmes) X suit donc une loi binomiale de param`etres n= 10 et p= 0,526.
(b) La probabilit´e qu’aucune fiche ne soit celle d’une femme est P(X = 0)'0,0006
(c) La probabilit´e de l’´ev´enement :au moins 7 fiches sont celles de femmesest P(X>7) = 1−P(X 66)
P(X>7)'1−0,7822 P(X>7)'0,2178
Exercice II 5 points 1. Nuage de points : voir l’annexe 2
2. Par la calculatrice, on obtient l’´equation de la droite de r´egression de y en t: y= 126,429t+ 82
Le coefficient de corr´elation lin´eaire est ´egal `a r= 0,984 .
3. Voir le graphique : la droite passe par les points de coordonn´ees (0 ; 82) et (5 ; 714,145) 4. Coordonn´ees du point moyenG :
xG= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6 = 21
6 = 3,5 ; yG= 256 + 330 + 423 + 544 + 698 + 896
6 = 3147
6 = 524,5. Donc G(3,5 ; 524,5) . 5. 2 ans apr`es le lancement correspondent `at= 8 ;
y= 126,429×8 + 82'1 093.
Le nombre de machines vendues 2 ans apr`es le lancement est estim´e `a 1 093.
Exercice III 8 points
1. Le 1erjanvier 2015, le mod`ele pr´evoit f(0) = 40×0
02+ 25 + 15 = 15 milliers d’habitants 2. Tableau de valeurs : voir l’annexe 3.
3. On admet que la fonctionf est d´erivable et on d´esigne parf0 sa fonction d´eriv´ee (a) Calcul de la fonction d´eriv´ee def :
f0(x) = 40(x2+ 25)−40x(2x) (x2+ 25)2
= 40x2+ 1000−80x2 (x2+ 25)2
= −40(x2−25) (x2+ 25)2 (b) Signe dex2−25 sur l’intervalle [0 ; 15].
1x2 −25 est du signe de 1 sauf entre les racines -5 et 5. Donc son signe est n´egatif sur [0; 5] et positif sur [5; 15].
(c) Comme−40<0 et x2+ 252
>0 (carr´e), on en d´eduit quef0(x) est du signe contraire dex2−25.
Tableau de variation complet def sur [0 ; 15] : x
f0(x)
f
0 5 15
+ 0 −
19 19
4. La population de la ville sera maximale pourx= 5 (en 2020) ; le nombre d’habitants sera 19 000 habitants.
5. (a) R´esolvons l’´equation 3x2−40x+ 75 = 0.
∆ = (−40)2−4×3×75 = 700 L’´equation admet deux solutions :
x1 = 40−√ 700
6 '2,26 et x2= 40 +√ 700
6 '11,08
(b) L’´equation f(x) = 18 est ´equivalente successivement `a 40x
x2+ 25 + 15 = 18 en enlevant 15 aux deux membres :
40x x2+ 25 = 3 en multipliant les deux membres par (x2+ 25) :
40x= 3(x2+ 25) 0 = 3x2−40x+ 75
(c) La population d´epasse 18 000 habitants sur l’intervalle [2,26 ; 11,08] soit environ entre mars 2017 et f´evrier 2026.
ANNEXE 1
A
A
S
S S
S 0,15 0,85 0,07 0,93
0,62 0,38
ANNEXE 2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
0 1 2 3 4 5 6 7 8
G
ANNEXE 3
x 0 1 3 5 7 9 11 13 15
