Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Contrˆole num´ero 4 (du 29 Mai 2009).
Dur´ee : 2h (`a titre indicatif : Maths : 1h40, Matlab : 20 mns).
Calculatrices et documents interdits.
La qualit´e de la r´edaction et la clart´e des explications interviendront dans l’appr´eciation de la copie. Le contrˆole comporte trois exercices de math´ematiques (sur cet ´enonc´e), un exercice de Matlab. Pour l’exercice de Matlab, r´epondre directement sur l’´enonc´e. Barˆeme indicatif (sur 25) : 7 - 7 - 7 (Maths) ; 4 (Matlab).
Exercice 1 Soit A=
1 −2 −3
2 1 4
−1 −1 −3
(a) D´eterminer le rang deA, une base de Im(A) et une base de Ker(A).
A t-on Im(A)⊕Ker(A) =R3 ?
(b) On consid`ere trois vecteurs de R3 d´efinis comme suit :
u1 = (1,2,−1), u2 = (−2,1,−1), u3 = (1,−1,1).
Montrer queB0= (u1, u2, u3) est une base deR3.
Donner la matrice de passageP de la base canoniqueB= (e1, e2, e3) `aB0, puis calculer l’inverse deP. Quelles sont les coordonn´ees deu= (0,2,−1) dans B0 ?
(c) Soit f : R3 → R3 l’application lin´eaire dans la matrice dans la base canonique B est A. D´eterminer f(x, y, z). Soit A0 la matrice def dans B0 : d´eterminer A0.
Exercice 2 Limites de suites.
(a) Montrer que (2 + n1)n∼√
e·2n. En d´eduire la limite de la suite
an= n3ln(n) + 2n (2 +n1)n (justifier votre r´esultat).
(b) Montrer quee−2n = 1−n2+n22+o(n12). D´eterminer les r´eelsα, β, γtels que (n+1)n2 2 =α+βn+nγ2+o(n12).
En d´eduire la limite de
bn=n2e−n2 − n4 (n+ 1)2 (justifier votre r´esultat).
(c) Pour λ≥ 1, µ ≥0 deux r´eels, et k≥ 1 un entier, on consid`ere la suite rn =p
ln(λ+µ nk). Montrer que rn∼√
kp
ln(n). En d´eduire la limite de
cn=
pln(1 +n2)−p
ln(1 + 2n) pln(1 +n3)
(justifier votre r´esultat).
Exercice 3
(a) Comparer les suitesn−2 et 2−n (quand n→ ∞).
(b) Pourn≥1, soitvn= 1−cos(1n) + 2−n. Donner un ´equivalent simple de vn. (c) On consid`ere la suite (un)n≥1 dont len-i`eme terme est :
un=
n2−ln(n) n4+ln(n)
1−cos(1n) + 2−n . Montrer que limn→∞un= 2.
(d) Montrer que un−2 =o(1n), mais queun−2 n’est pas grand O de n12.
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