Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Devoir num´ero 4.
A rendre le 21 mai.
Exercice 1
On consid`ere les suites num´eriques
un= ln(22n+n2n), vn=nln(1 +n32 +n2)−2 ln((n+ 1)n) (a) D´eterminer limn→∞un.
(b) Donner des ´equivalents simples de (un)n∈N et (vn)n∈N.
(c) Que vaut limn→∞vn ? Justifier que, pour tout n assez grand, on avn≤un.
Exercice 2
On consid`ere la fonction
f(x) = exp(1+x1 2)−1 cos(1+x1 )−1 et on poseun =f(n).
(a) Montrer que un converge et donner sa limite `.
(b) Montrer queun−`∼ nak, pour certaines constantesa∈Retk ∈Nqu’on d´eterminera.
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