correction rattrapage L1 eco:aes math 2017

F A C U L T E D E D R O I T E T D ’ E C O N O M I E

L1ECO/AES

E P R E U V E D E M a t h é m a t i q u e s a p p l i q u é e s

Durée : 1h

Deuxième Session : Juin 2017

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Ce questionnaire à choix multiple (QCM) donne 2 points par bonne réponse et enlève 0,5 point par mauvaise réponse. L’absence de réponse ne donne, ni n’enlève aucun point.

1) ln(1−5) = a) −5 b) −4 c) −1 d) 0 e) ln(−4) ln(1−5) = −5× ln(1) = 0 2) ln(𝑒3_{) − √3}2_{+ ln(3) + ln⁡(7) =} a) 3 b) 7ln⁡(3) c) 3ln⁡(3) d) ln⁡(7) e) ln(21) ln(𝑒3) − √32_{+ ln(3) + ln(7) = 3 − 3 + ln(21) = ln(21)} 3) Si 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥2 alors 𝑓 ∘ 𝑔(−1) = a) 6 b) 4 c) 0 d) −4 e) −6 𝑓 ∘ 𝑔(−1) = 𝑓(1) = 6 4) L’équation 1 9𝑥 2₋4 3𝑥 + 4 = 0

a) n’a pas de solution b) admet pour seule solution 𝑥 = 6 c) admet pour solution 𝑥 =2

3

d) admet pour solution 𝑥 = −2

3 e) admet pour seule solution 𝑥 = −6

𝛥 = (−4

3) 2

− 4×1

9×4 = 0 donc la seule solution est

𝑥 = 4 3 2×1₉

= 6

5) L’équation exp(2𝑥 − 5) = 3 a pour solution

a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = ln(4) c) 𝑥 = exp(4) d) 𝑥 =ln(3)+5 2 e) 𝑥 = ln(3)−5 2 réponse d) 6) L’inéquation 3𝑥−1

ln(𝑥+1)≥ 0 admet pour ensemble de solutions

a) 𝒮 = ]−∞; 0[ ∪ [1 3; +∞[ b) 𝒮 = ]−1; 0[ ∪ [ 1 3; +∞[ c) 𝒮 = ∅ d) 𝒮 = ]−1; 0] ∪ [ 1 3; +∞[ e) 𝒮 = ]0;1 3]

ln(𝑥 + 1) n’est défini que si 𝑥 + 1 > 0, c’est à dire 𝑥 > −1. On a le tableau de signes suivant :

𝑥 _{−1 0} 1 3 +∞ 3𝑥 − 1 − − 0 + ln(𝑥 + 1) − 0 + + 3𝑥 − 1 ln(𝑥 + 1) || + || − 0 +

La bonne réponse est la b)

7) L’inéquation (−2𝑥 + 1)3𝑥 ≥ 0 admet pour ensemble de solutions a) 𝒮 = ]0;1 2] b) 𝒮 = [0; 1 2[ c) 𝒮 = ]−∞; 0] ∪ [ 1 2; +∞[ d) 𝒮 = ]−∞; 0[ ∪ ] 1 2; +∞[ e) 𝒮 = [0;1 2]

Grâce à un tableau de signe, on voit que la bonne réponse est la e)

8) La dérivée seconde de 𝑓(𝑥) =1 𝑥+ 5 est a) 𝑓′′(𝑥) = 0 b) 𝑓′′_{(𝑥) = 6 c) 𝑓}′′_{(𝑥) = 2𝑥}−3 _{d) 𝑓}′′_{(𝑥) =} 6 𝑥3 e) 𝑓 ′′_{(𝑥) =} 1 𝑥3

la bonne réponse est la c) qui s’écrit aussi

𝑓(𝑥) = 2 𝑥3 9) La dérivée de 𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑥+1 _est a) 𝑔′(𝑥) = −𝑒−𝑥+1 _{b) 𝑔}′_{(𝑥) = 𝑒}−𝑥+1 _{c) 𝑔}′_{(𝑥) = 𝑒}−1 _{d) 𝑔}′_{(𝑥) = ln(−𝑥 + 1)} e) 𝑔′(𝑥) = −𝑥 + 1 réponse a) 10) lim 𝑥→+∞⁡⁡ 1−2𝑥+4𝑥2 −5𝑥3_+3𝑥−1= a) 1 −5 b) 0⁡ c) 4 −5 d) +∞ e) −∞ lim 𝑥→+∞⁡⁡ 1 − 2𝑥 + 4𝑥2 −5𝑥3_{+ 3𝑥 − 1}= lim_𝑥→+∞⁡⁡ 4𝑥2 −5𝑥3 = lim_𝑥→+∞⁡⁡ 4 −5𝑥= 0