F A C U L T E D E D R O I T E T
D ’ É C O N O M I E
Année Universitaire 2020-2021 L1ECOÉ P R E U V E D E M a t h é m a t i q u e s A p p l i q u é e s
Durée 2hPremière Session : 3 Décembre 2020
Ce sujet comporte 2 pages
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Ce questionnaire à choix multiple (QCM) donne 1 point par bonne réponse, enlève 0,25 point par mauvaise réponse, et ne pénalise pas l’absence de réponse.
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1) e − 2 ln(e) ≈
A) 0,718 B) 1,718 C) 2 D) 2,718 E) 3,718 réponse A car e − 2 ln(e) ≈ 2,718 − 2 × 1 = 0,718 2) La fonction 𝑥 ↦𝑥2−5𝑥+4
3𝑥4+1 est
A) une fonction linéaire B) une fonction affine C) une fonction rationnelle D) une fonction homographique E) une fonction polynôme
réponse C 3) 𝑒5× 𝑒−12 𝑒2 = A) 𝑒−15 B) 𝑒5 C) 𝑒−5 D) 𝑒9 E) 𝑒−9 réponse E car 𝑒5× 𝑒−12 𝑒2 = 𝑒5−12−2= 𝑒−9 4) (𝑒3)−1× 𝑒 𝑒3× 𝑒−2 = A) 𝑒−3 B) 𝑒−4 C) 𝑒3 D) 𝑒−2 E) 𝑒−1 réponse A car (𝑒3)−1× 𝑒 𝑒3× 𝑒−2 = 𝑒3×(−1)× 𝑒1 𝑒3−2 = 𝑒 −3×𝑒1 𝑒1 = 𝑒 −3 5) − ln(25) + ln(5) + ln(10) − ln(2) = A) ln(625) B) − ln(25) C) ln(25) D) 0 E) − ln(625) réponse D car − ln(25) + ln(5) + ln(10) − ln(2) = ln (5 × 10 25 × 2) = ln(1) = 0
6) −4 ln(𝑒−3) + ln(𝑒) − 2𝑒ln(2)= A) −9 B) 9 C) −6 D) −10 E) 10 réponse B car −4 ln(𝑒−3) + ln(𝑒) − 2𝑒ln(2)= −4 × (−3) + 1 − 2 × 2 = 9 7) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 et 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 3 alors (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = A) −8 B) −2 C) 2 D) 29 E) −29 réponse B car (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(−2 × 2 + 3) = 𝑓(−1) = 2 × (−1)3= −2
8) L’équation 3exp(1 − 3𝑥) = 27 a pour solution A) 𝑥 = ln(9)−1 −3 B) 𝑥 = ln(9)+1 −3 C) 𝑥 = ln(9)+1 3 D) 𝑥 = − ln(9)+1 −3 E) 𝑥 = − 8 3 réponse A car 3exp(1 − 3𝑥) = 27 ⇔ exp(1 − 3𝑥) = 9 ⇔ 1 − 3𝑥 = ln(9) ⇔ −3𝑥 = ln(9) − 1 9) L’équation −4 = ln(2𝑥 + 3) a pour solution
A) 𝑥 = 𝑒−4−3 −2 B) 𝑥 = 𝑒−4+3 2 C) 𝑥 = 𝑒−4−3 2 D) 𝑥 = 𝑒4−3 2 𝐸) 𝑥 = 𝑒4−3 −2 réponse C car −4 = ln(2𝑥 + 3) ⇔ 𝑒−4= 2𝑥 + 3 ⇔ 𝑒−4− 3 = 2𝑥
10) Une des solutions de l’équation 1−2𝑥2 = 3𝑥 est A) 𝑥 = 3+√17 2 B) 𝑥 = 3−√17 2 C) 𝑥 = −3−√17 −4 D) 𝑥 = 3+√17 −4 E) 𝑥 = 3+√17 4 réponse D car 1 − 2𝑥2= 3𝑥 ⇔ −2𝑥2− 3𝑥 + 1 = 0 et Δ = (−3)2− 4 × (−2) × 1 = 17
11) L’inéquation ln(4𝑥 + 5) < −2 a pour ensemble de solutions
A) 𝒮 = ]−∞; 𝑒−2[ B) 𝒮 = ]−∞; −1,25 + 0,25𝑒−2[ C) 𝒮 = ]−1,25; −1,25 + 0,25𝑒−2[ D) 𝒮 = ]−∞; 𝑒−2] E) 𝒮 = ]−∞; −1,25 + 0,25𝑒−2] réponse C car 4𝑥 + 5 > 0 ⇔ 𝑥 > −5 4= −1,25 et ln(4𝑥 + 5) < −2 ⇒ 4𝑥 + 5 < 𝑒−2⇔ 𝑥 <−5 + 𝑒−2 4 = − 5 4+ 1 4𝑒 −2= −1,25 + 0,25𝑒−2
12) L’inéquation 0 ≥ −4 − 3𝑥 +1𝑥2 a pour ensemble de solutions
A) 𝒮 = ]−∞; −1] ∪ [4; +∞[ B) 𝒮 = ]−∞; −1] ∪ [8; +∞[ C) 𝒮 = ]−1; 4[ D) 𝒮 = ]−∞; −1[ ∪ ]4; +∞[ E) 𝒮 = [−1; 4]
réponse E car
Δ = (−3)2− 4 × 1 × (−4) = 25
Les racines de 1𝑥2− 3𝑥 − 4 sont
𝑥1 =3 + 5
2 = 4𝑒𝑡𝑥2 = 3 − 5
2 = −1
comme 1> 0, 1𝑥2− 3𝑥 − 4 > 0 pour 𝑥 ∈] − ∞; −1[∪]4; +∞[ et donc 1𝑥2− 3𝑥 − 4 < 0 pour 𝑥 ∈] − 1; 4[.
13) L’inéquation 3𝑥−1
A) 𝒮 = [1 3; 1[ B) 𝒮 = ] 1 3; 1[ C) 𝒮 = ]−∞; 1[ ∪ [3; +∞[ D) 𝒮 = ]−∞; 1 3] ∪ ]1;+∞[ E) 𝒮 = ]−∞;1 3] ∪ [1;+∞[ réponse D car 𝑥 −∞ 1 3 1 +∞ 3𝑥 − 1 − 0 + + 2𝑥 − 2 − − 0 + 3𝑥 − 1 2𝑥 − 2 + 0 − || +
14) La dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = 8𝑥3− 5𝑥2+ 3𝑥 − 1 est
A) 𝑓′(𝑥) = 24𝑥2− 10𝑥 + 3 B) 𝑓′(𝑥) = 24𝑥2− 10𝑥 + 2 C) 𝑓′(𝑥) = 48𝑥 − 10 D) 𝑓′(𝑥) = 14𝑥 + 3 E) 𝑓′(𝑥) = 14𝑥 + 2 réponse A 15) La dérivée de la fonction ℎ(𝑥) = −4 3𝑥2+5𝑒𝑥 est A) ℎ′(𝑥) =−24𝑥−20𝑒𝑥 (3𝑥2+5𝑒𝑥)2 B) ℎ′(𝑥) = 24𝑥+20𝑒𝑥 (3𝑥2+5𝑒𝑥)2 C) ℎ′(𝑥) = −24𝑥+20𝑒𝑥 (3𝑥2+5𝑒𝑥)2 D) ℎ′(𝑥) = 24𝑥−5𝑒𝑥 (3𝑥2+5𝑒𝑥)2 E) ℎ′(𝑥) = −24𝑥+5𝑒𝑥 (3𝑥2+5𝑒𝑥)2 réponse B
16) La dérivée de 𝑖(𝑥) = 𝑥2× ln(2𝑥) définie ∀𝑥 > 0 est
A) 𝑖′(𝑥) = 2𝑥 ln(2𝑥) + 𝑥2 B) 𝑖′(𝑥) = 2𝑥 ln(2𝑥) + 1 C) 𝑖′(𝑥) = 𝑥(2 ln(2𝑥) + 2𝑥) D) 𝑖′(𝑥) = 𝑥(2 ln(2𝑥) + 2) E) 𝑖′(𝑥) = 𝑥(2 ln(2𝑥) + 1)
réponse E
17) La dérivée seconde de 𝑔(𝑥) = 5𝑥𝑒−3𝑥 est
A) 𝑔′′(𝑥) = (−30 + 45𝑥)𝑒−3𝑥 B) 𝑔′′(𝑥) = −15𝑒−3𝑥 C) 𝑔′′(𝑥) = 0 D) 𝑔′′(𝑥) = (−15 + 45𝑥)𝑒−3𝑥 E) 𝑔′′(𝑥) = (−30 − 15𝑥)𝑒−3𝑥
réponse A car 𝑔′(𝑥) = 5𝑒−3𝑥+ 5𝑥 × (−3)𝑒−3𝑥 = (−15𝑥 + 5)𝑒−3𝑥
18) La dérivée seconde de 𝑘(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) + 7𝑥 définie ∀𝑥 > 0 est A) 𝑘′′(𝑥) =1 𝑥+ 7 B) 𝑘 ′′(𝑥) = ln(𝑥) + 8 C) 𝑘′′(𝑥) = ln(𝑥) + 7 D) 𝑘′′(𝑥) = − 1 𝑥2 E) 𝑘′′(𝑥) =1 𝑥 réponse E car 𝑘′(𝑥) = 1 ln(𝑥) + 𝑥 ×1 𝑥+ 7 = ln(𝑥) + 8. 19) La fonction 𝑓(𝑥) = (−3𝑥 + 2)3 est A) convexe ∀𝑥 ∈ ]2 3; +∞[ B) concave ∀𝑥 ∈ ]− 2 3; +∞[ C) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞; 2 3[ D) convexe ∀𝑥 ∈ ]−∞;2 3[ E) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞; +∞[ réponse D car 𝑓′(𝑥) = −3 × 3(−3𝑥 + 2)2 = −9(−3𝑥 + 2)2
𝑓′′(𝑥) = −9 × (−3) × 2(−3𝑥 + 2)1 = 54(−3𝑥 + 2) et −3𝑥 + 2 > 0 ⇔2 3> 𝑥. 20) La fonction 𝑓(𝑥) = ln(5𝑥 + 1) + 3𝑥 est B) convexe ∀𝑥 ∈ ]−1 5; +∞[ B) concave ∀𝑥 ∈ ]− 1 5; +∞[ C) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞; − 1 5[ D) convexe ∀𝑥 ∈ ]−∞; +∞[ E) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞; +∞[ réponse B car 𝑓′(𝑥) = 5 × 1 5𝑥 + 1+ 3 𝑓′′(𝑥) = 5 × (− 5 (5𝑥 + 1)2) = − 25 (5𝑥 + 1)2< 0 et
ln(5𝑥 + 1) n’est définie que pour les 𝑥 tels que 5𝑥 + 1 > 0, c’est à dire 𝑥 > −1