Correction rattrapage math L1 eco aes 2019

Université de la Réunion 1/3

F A C U L T E D E D R O I T E T D ’ E C O N O M I E

É P R E U V E D E M a t h é m a t i q u e s a p p l i q u é e s

Deuxième Session : Juin 2019

Ce sujet comporte 2 pages

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Ce questionnaire à choix multiple (QCM) donne 2 points par bonne réponse et enlève 0,5 point par mauvaise réponse. L’absence de réponse ne donne, ni n’enlève aucun point.

1) ln(𝑒) × 2 = a) −2 b) −1₂ c) 0 d) 1₂ e) 2 réponse e) car 1 × 2 = 2. 2) ln (1₄) − ln(4) + 2ln⁡(2) = a) −ln⁡(4) b) −ln⁡(2) c) ln⁡(2) d) ln⁡(4) e) ln(8) ln (1 4) − ln(4) + 2 ln(2) = ln(1) − ln(4) − ln(4) + ln(22) = 0 − ln(4) − ln(4) + ln(4) = −ln⁡(4) réponse a) 3) 𝑒_(𝑒3𝑒₃−2₎₂ = a) 𝑒−11 _{b) 𝑒}−5 _{c) 𝑒}−4 _{d) 𝑒}6 _{e) 𝑒}7 𝑒3_𝑒−2 (𝑒3₎2 = 𝑒3−2 𝑒3×2= 𝑒1 𝑒6 = 𝑒1−6= 𝑒−5 réponse b) 4) L’équation 2𝑥2_{− 3𝑥 + 7 = 0}

a) n’a pas de solution réelle b) admet pour seule solution 𝑥 =3₄ c) admet pour solution 𝑥 = −3₄ d) admet pour solution 𝑥 =3+√47₄ e) admet pour solution 𝑥 =−3+√47₄

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5) L’équation ln(7𝑥 − 2) = −3 a pour solution

a) 𝑥 = −1₇ b) 𝑥 =1₇ c) 𝑥 =𝑒−3₇−2 d) 𝑥 =𝑒−3₋₇+2 e) 𝑥 =𝑒−3₇+2 L’équation est équivalente à 7𝑥 − 2 = 𝑒−3_{⇔ 7𝑥 = 𝑒}−3_{+ 2⁡}

d’où la réponse e)

6) L’inéquation −2𝑥+1_4𝑥+3 ≥ 0 admet pour ensemble de solutions

a) 𝒮 = ]−∞; −3₄[ ∪ [1₂; +∞[ b) 𝒮 = ]−3₄;₂1] c) 𝒮 = ]−3₄;1₂[ d) 𝒮 = ]−∞;1₂] e) 𝒮 = ]−∞; −3₄[ ∪ ]1₂; +∞[

réponse b)

En effet, le tableau de signes suivant permet de trouver l’ensemble des solutions : 𝑥 _{−∞ −}3 4 1 2 +∞ −2𝑥 + 1 +⁡ + 0 − 4𝑥 + 3 − 0 + + −2𝑥 + 1 4𝑥 + 3 − || + 0 −

7) L’inéquation (−2𝑥 − 1) ln(𝑥) ≤ 0 admet pour ensemble de solutions

a) 𝒮 = ]0; 1] b) 𝒮 = [−1₂; 0[ c) 𝒮 = ]−∞; −1₂] ∪ [1; +∞[ d) 𝒮 = ]1₂; +∞[ e) 𝒮 = [1; +∞[

réponse e)

En effet, pour que ln(𝑥) soit définit, il faut que 𝑥 > 0. Dans ce cas, −2𝑥 − 1 < 0. Pour que (−2𝑥 − 1) ln(𝑥) ≤ 0, il faut donc que 𝑙𝑛(𝑥) ≥ 0, c’est à dire 𝑥 ≥ 1.

8) La dérivée seconde de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 𝑒−3𝑥 _est

a) 𝑓′′_{(𝑥) = 9𝑒}−3𝑥 _{b) 𝑓}′′_{(𝑥) = −9𝑒}−3𝑥 _{c) 𝑓}′′_{(𝑥) = 5 + 9𝑒}−3𝑥 _{d) 𝑓}′′_{(𝑥) = 5𝑥 + 9𝑒}−3𝑥 e) 𝑓′′_{(𝑥) = 𝑒}−3𝑥 𝑓′_{(𝑥) = 5 − 3𝑒}−3𝑥 donc 𝑓′′_{(𝑥) = 0 − 3 × (−3)𝑒}−3𝑥 réponse a) 9) La dérivée de 𝑔(𝑥) = ln(5𝑥 + 1) −1_𝑥 est a) 𝑔′_{(𝑥) =} 5 5𝑥+1 b) 𝑔 ′_{(𝑥) =} 1 5𝑥+1 c) 𝑔 ′_{(𝑥) =} 5 5𝑥+1− 1 𝑥2 d) 𝑔′(𝑥) = 1 5𝑥+1+ 1 𝑥2 e) 𝑔′_{(𝑥) =} 5 5𝑥+1+ 1 𝑥2 réponse e) 10) lim 𝑥→+∞ 10𝑥+3𝑥2−𝑥4 2𝑥4₊₃ =

Université de la Réunion 3/3 a) 5 b) 0⁡ c) −1₂ d) +∞ e) −∞ lim 𝑥→+∞ 10𝑥+3𝑥2_−𝑥4 2𝑥4₊₃ = lim_𝑥→+∞ −𝑥4 2𝑥4 = lim_𝑥→+∞ −1 2 = − 1 2 réponse c)