Correction QCM math appli L1 eco aes 2019

(1)

F A C U L T E D E D R O I T E T

D ’ É C O N O M I E

Année Universitaire 2019-2020 L1 ECO AES

É P R E U V E D E M a t h é m a t i q u e s A p p l i q u é e s

Durée 2h

Première Session : 21 Novembre 2019

Ce sujet comporte 2 pages

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Ce questionnaire à choix multiple (QCM) donne 1 point par bonne réponse, enlève 0,25 point par mauvaise réponse, et ne pénalise pas l’absence de réponse.

Il n’y a qu’une seule bonne réponse par question.

1) e + ln(e) ≈

A) 0 B) 1 C) 2 D) 2,718 E) 3,718 réponse E car

𝑒 + ln(𝑒) ≈ 2,718 + 1 = 3,718 2) La fonction 𝑥 ↦ −5𝑥 + 4 est

A) une fonction linéaire B) une fonction affine C) la fonction valeur absolue D) la fonction logarithme népérien E) la fonction exponentielle

réponse B 3) 𝑒−4×𝑒−2 𝑒2 = A) 1 B) 𝑒4_{C) 𝑒}−4_{D) 𝑒}8_{E) 𝑒}−8 réponse E car 𝑒−4_{× 𝑒}−2 𝑒2 = 𝑒−4+(−2)−2= 𝑒−8 4) (𝑒3)−2 𝑒5_×𝑒−7 = A) 𝑒−4_{B) 𝑒}4_{C) 𝑒}7_{D) 𝑒}−7_{E) 𝑒}6 réponse A car (𝑒3₎−2 𝑒5_{× 𝑒}−7= 𝑒3×(−2) 𝑒5−7 = 𝑒−6 𝑒−2= 𝑒 −6−(−2) _{= 𝑒}−4 5) − ln(16) + ln(4) + ln(10) + ln⁡(10) = A) ln(8) B) − ln(8) C) ln⁡(25) D) − ln(6400) E) − ln(25) réponse C car − ln(16) + ln(4) + ln(10) + ln(10) = ln (4 × 10 × 10 16 ) = ln(25) 6) 5 ln(𝑒−2_{) + ln(𝑒}3_{) − 𝑒}ln(10)₌ A) −4 B) 4 C) −16 D) −17 E) 17 réponse D car

(2)

5 ln(𝑒−2) + ln(𝑒3_{) − 𝑒}ln(10)_{= 5 × (−2) + 3 − 10 = −17} 7) Si 𝑓(𝑥) = exp⁡(𝑥) et 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 1 alors (𝑔 ∘ 𝑓)(0) =

A) 1 B) −4 C) 4 D) 𝑒 E) −5𝑒 + 1 réponse B car

(𝑔 ∘ 𝑓)(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(𝑒0_{) = 𝑔(1) = −5 × 1 + 1 = −4} 8) L’équation exp⁡(2𝑥 + 1) = 7 a pour solution

A) 𝑥 = ln(7)−1 2 B) 𝑥 = ln(7)+1 2 C) 𝑥 = ln(7)−1 −2 D) 𝑥 = ln(7)+1 −2 E) 𝑥 = 3 réponse A car exp(2𝑥 + 1) = 7⁡ ⇔ ⁡⁡2𝑥 + 1 = ln(7) ⁡ ⇔ ⁡⁡⁡2𝑥 = ln(7) − 1 ⇔ ⁡⁡⁡𝑥 =ln(7) − 1 2 9) L’équation 5 = ln⁡(1 − 2𝑥) a pour solution

A) 𝑥 = 𝑒5−1 2 B) 𝑥 = 𝑒5₊₁ 2 C) 𝑥 = 1−𝑒5 2 D) 𝑥 = 2 𝐸)⁡⁡⁡ 𝑥 = −2 réponse C car 5 = ln(1 − 2𝑥) ⇔ 𝑒5_{= 1 − 2𝑥⁡ ⇔ 2𝑥 = 1 − 𝑒}5_{⁡ ⇔ ⁡𝑥 =}1 − 𝑒5 2 ⁡ 10) Une solution de l’équation −2𝑥2_{+ 3𝑥 + 1 = 0 est}

A) 𝑥 = −3+√17 2 B) 𝑥 = −3−√17 2 C) 𝑥 = 3−√17 −4 D) 𝑥 = 3+√17 −4 E) 𝑥 = −3+√17 −4 réponse E car Δ = 32_{− 4 × (−2) × 1 = 17} et 𝑥₁=−3 − √17 2 × (−2) = −3 − √17 −4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑒𝑡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥2= −3 + √17 4

11) L’inéquation 𝑒3𝑥−1_{< −2 a pour ensemble de solutions}

A) 𝒮 = ]−∞; −1 3⁡[ B) 𝒮 = ]−∞⁡; ln(2)+1 3 ⁡[ C) 𝒮 = ]−∞⁡;⁡ ln(2)+1 3 ]⁡ D) 𝒮 = ∅ E) 𝒮 = ]−∞; −1 3] réponse D car 𝑒3𝑥−1_{> 0,⁡⁡⁡⁡⁡∀𝑥 ∈ ℝ}

12) L’inéquation 4𝑥2_{+ 3𝑥 − 1 ≥ 0 a pour ensemble de solutions}

A) 𝒮 = ]−∞⁡; −1] ∪ [1 4⁡; +∞[ B) 𝒮 = ]−∞⁡; −1] ∪ [ 1 8⁡; +∞[ C) 𝒮 = ]−∞⁡; −1[ ∪ ] 1 8⁡; +∞[⁡ D) 𝒮 = ]−∞⁡; −1[ ∪ ]1 4⁡; +∞[ E) 𝒮 = [−1; 1 4] réponse A car Δ = 32_{− 4 × 4 × (−1) = 25,⁡} 𝑥1= −3 + √25 2 × 4 = 1 4,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥2= −3 − √25 2 × 4 = −1 et comme 4> 0, 4𝑥2_{+ 3𝑥 − 1 > 0,⁡⁡⁡⁡∀𝑥 ∈ ℝ − [−1;}1 4]. 13) L’inéquation ln⁡(𝑥)

(3)

A) 𝒮 = [1 ; 2[ B) 𝒮 = ]1 ; 2[ C) 𝒮 = [0 ; 1] ∪ ]2 ;⁡+∞[ D) 𝒮 = ]−∞ ; 1] ∪ ]2 ;⁡+∞[ E) 𝒮 = ]0 ; 1] ∪ ]2 ;⁡+∞[ réponse E car 𝑥 0 1 2 +∞ ln⁡(𝑥) || − 0 + + 𝑥 − 2 _{− − 0 +} ln(𝑥) 𝑥 − 2 || + 0 − || +

14) La dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥5_{− 3𝑥}2_{+ 5𝑥 − 12 est}

A) 𝑓′_{(𝑥) = 5𝑥}4_{− 6𝑥 − 7 B) 𝑓}′_{(𝑥) = 5𝑥}4_{− 6𝑥 + 7 C) 𝑓}′_{(𝑥) = 5𝑥}4_{− 6𝑥 + 5}

D) 𝑓′_{(𝑥) = 4𝑥 − 12 E) 𝑓}′_{(𝑥) = 4𝑥} réponse C

15) La dérivée de la fonction ℎ(𝑥) = −4 ln(𝑥2_{+ 1) ⁡est}

A) ℎ′_{(𝑥) = −} 8𝑥 𝑥2₊₁ B) ℎ ′_{(𝑥) =} 8𝑥 𝑥2₊₁ C) ℎ ′_{(𝑥) =} −4 𝑥2₊₁ D) ℎ ′_{(𝑥) =} −4 (𝑥2₊₁₎2 E) ℎ ′_{(𝑥) =} 4 (𝑥2₊₁₎2 réponse A

16) La dérivée de 𝑖(𝑥) = √2𝑥 × ln⁡(2𝑥) définie ∀𝑥 > 0 est A) 𝑖′_{(𝑥) =} 1 √2𝑥× 1 𝑥 B) 𝑖 ′_{(𝑥) =} 1 √2𝑥× 1 2𝑥 C) 𝑖 ′_{(𝑥) =} 1 √2𝑥ln(2𝑥) + √ 2 𝑥 D) 𝑖′_{(𝑥) =} 1 2√2𝑥ln(2𝑥) + √ 2 𝑥 E) 𝑖 ′_{(𝑥) =} 1 √2𝑥ln(2𝑥) + 1 √2𝑥 réponse C car 𝑖′_{(𝑥) =} 2 2√2𝑥× ln(2𝑥) + √2𝑥 × 2 2𝑥= 1 √2𝑥ln(2𝑥) + √2√𝑥 √𝑥 × √𝑥= 1 √2𝑥ln(2𝑥) + √ 2 𝑥 17) La dérivée seconde de 𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒3𝑥_est

A) 𝑔′′_{(𝑥) = 18𝑒}3𝑥_{B) 𝑔}′′_{(𝑥) = 2𝑒}3𝑥_{C) 𝑔}′′_{(𝑥) = 0 D) 𝑔}′′_{(𝑥) = (21 + 18𝑥)𝑒}3𝑥 E) 𝑔′′_{(𝑥) = (130𝑥 + 65)𝑒}3𝑥 réponse D car 𝑔′_{(𝑥) = 2𝑒}3𝑥_{+ (2𝑥 + 1) × 3𝑒}3𝑥 _{= (6𝑥 + 5)𝑒}3𝑥 et 𝑔′′_{(𝑥) = 6𝑒}3𝑥_{+ (6𝑥 + 5) × 3𝑒}3𝑥 18) La dérivée seconde de 𝑘(𝑥) = 𝑒𝑥2−1_est

A) 𝑘′′_{(𝑥) = 𝑒}𝑥2−1_{B) 𝑘}′′_{(𝑥) = 𝑒}2_{C) 𝑘}′′_{(𝑥) = 2𝑒}𝑥2−1_{D) 𝑘}′′_{(𝑥) = (2 + 4𝑥)𝑒}𝑥2−1 E) 𝑘′′_{(𝑥) =(2 + 4𝑥}2_)𝑒𝑥2−1 réponse E car 𝑘′_{(𝑥) = 2𝑥𝑒}𝑥2−1 et 𝑘′′_{(𝑥) = 2𝑒}𝑥2−1_{+ 2𝑥 × 2𝑥𝑒}𝑥2−1 19) La fonction 𝑓(𝑥) =(𝑥 + 1)3_est

A) convexe ∀𝑥 ∈ ]−1; +∞[ B) concave ∀𝑥 ∈ ]−1; +∞[ C) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; 1[ D) convexe ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; 1[ E) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[

(4)

réponse A car 𝑓′′_{(𝑥) = 6(𝑥 + 1) > 0, ∀𝑥 > −1.} 20) La fonction 𝑓(𝑥) = ln(4𝑥 + 1) est A) convexe ∀𝑥 ∈ ]−1 4; +∞[ B) concave ∀𝑥 ∈ ]− 1 4; +∞[ C) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; − 1 4[ D) convexe ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[ E) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[ réponse B car 𝑓′_{(𝑥) = 4 ×} 1 4𝑥 + 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑒𝑡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓 ′′_{(𝑥) = 4 ×} −4 (4𝑥 + 1)2< 0,⁡⁡⁡⁡⁡∀𝑥 > − 1 4.