correction QCM math appli L1 aes 2020

F A C U L T E D E D R O I T E T

D ’ É C O N O M I E

É P R E U V E D E M a t h é m a t i q u e s A p p l i q u é e s

Première Session : 3 Décembre 2020

Ce sujet comporte 2 pages

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Ce questionnaire à choix multiple (QCM) donne 1 point par bonne réponse, enlève 0,25 point par mauvaise réponse, et ne pénalise pas l’absence de réponse.

Il n’y a qu’une seule bonne réponse par question.

1) ln(0,7) ≈

A) 0,3567 B) −0,3567 C) 0,7 D) 1,6094 E) 1,9459

réponse B car ln(𝑥) < 0 si 0 < 𝑥 < 1.

2) La fonction 𝑥 ↦−5𝑥+4

3𝑥+1 est

A) une fonction linéaire B) une fonction affine C) la fonction racine carrée D) une fonction homographique E) la fonction exponentielle

réponse D 3) 𝑒3×𝑒7 𝑒2 = A) 𝑒19 _{B) 𝑒}4 _{C) 𝑒}−4 _{D) 𝑒}8 _{E) 𝑒}−8 réponse D car 𝑒3×𝑒7 𝑒2 = 𝑒 3+7−2_{= 𝑒}8 4) (𝑒3)3 𝑒4_×𝑒−7 = A) 𝑒27 _{B) 𝑒}3 _{C) 𝑒}6 _{D) 𝑒}9 _{E) 𝑒}12 réponse E car (𝑒3)3 𝑒4_×𝑒−7 = 𝑒3×3 𝑒4−7 = 𝑒9 𝑒−3 = 𝑒 9−(−3)_{= 𝑒}12_. 5) ln(16) − ln(4) + ln(10) + ln⁡(10) = A) ln(1200) B) − ln(400) C) ln⁡(25) D) ln(0,04) E) ln(400) réponse E car ln(16) − ln(4) + ln(10) + ln(10) = ln ((16×10×10) 4 ) = ln(400) 6) −5 ln(𝑒−2_{) − ln(𝑒}3_{) × 3 =} A) −1 B) 0 C) 1 D) −17 E) 2 réponse C car −5 ln(𝑒−2_{) − ln(𝑒}3_{) × 3 = −5 × (−2) − 3 × 3 = 10 − 9 = 1} 7) Soit 𝑥 > 0, 𝑒𝑥+3 ln(𝑥)_{× 𝑒}3𝑥−ln(𝑥3) ₌

A) 𝑒4𝑥 _{B) 𝑒}−4𝑥 _{C) 1 D) 𝑒}4𝑥+3 ln(𝑥) _{E) 𝑒}4𝑥−3 ln(𝑥) réponse A car 𝑒𝑥+3 ln(𝑥)_{× 𝑒}3𝑥−ln(𝑥3)_{= 𝑒}𝑥+3 ln(𝑥)+3𝑥−ln(𝑥3)_{= 𝑒}𝑥+3𝑥+ln(𝑥3)−ln(𝑥3) _{= 𝑒}4𝑥 8) Soit 𝑥 > 0, 𝑥−2(𝑥−7)3 𝑥2 = A) 𝑥25 _{B) 𝑥}21 _{C) 𝑥}−25 _{D) 𝑥}−21 _{E) 𝑥}−8 réponse C 𝑥−2(𝑥−7)3 𝑥2 = 𝑥 −2−7×3−2_{= 𝑥}−25 9) Si 𝑓(𝑥) = 5 + 3𝑥2 _{et 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 2 alors (𝑓 ∘ 𝑔)(0) =} A) 17 B) 41 C) −23 D) −27 E) 305 réponse A car (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(−5 × 0 + 2) = 𝑓(2) = 5 + 3 × 22_{= 17}

10) L’équation exp⁡(−3𝑥 + 1) = exp(2) a pour solution A) 𝑥 = e2−1 −3 B) 𝑥 = −1 C) 𝑥 = − 1 3 D) 𝑥 = 1 3 E) 𝑥 = 1

réponse C car exp(−3𝑥 + 1) = exp(2) ⇔ −3𝑥 + 1 = 2 ⇔ −3𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 1

−3

11) L’équation −5 = ln⁡(4𝑥 + 2) a pour solution A) 𝑥 = 𝑒−5−2 4 B) 𝑥 = 𝑒−5+2 4 C) 𝑥 = 2−𝑒−5 4 D) 𝑥 = 𝑒5−2 4 𝐸)⁡⁡⁡ 𝑥 = 2−𝑒5 4 réponse A car −5 = ln(4𝑥 + 2) ⇔ 𝑒−5_{= 4𝑥 + 2 ⇔ 𝑒}−5_{− 2 = 4𝑥}

12) Une des solutions de l’équation 3𝑥2_{+ 2𝑥 − 1 = 0 est}

A) 𝑥 = 2 3 B) 𝑥 = − 2 3 C) 𝑥 = − 1 3 D) 𝑥 = 1 3 E) 𝑥 = 1

réponse D car Δ = 22_{− 4 × 3 × (−1) = 16 et les deux solutions sont}

𝑥₁=−2 + √16 2 × 3 = 1 3⁡⁡⁡⁡⁡𝑒𝑡⁡⁡⁡⁡𝑥2= −2 − √16 2 × 3 = −1.

13) L’inéquation 𝑒3𝑥−1_{≥ −2 a pour ensemble de solutions}

A) 𝒮 = [−1 3 ; +∞[ B) 𝒮 = ]−∞⁡; +∞⁡[ C) 𝒮 = [ 1 3; +∞[⁡ D) 𝒮 = ∅ E) 𝒮 = [ln(2)+1 3 ; +∞[ réponse B car 𝑒3𝑥−1_{> 0 ≥ −2, ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞⁡[.}

14) L’inéquation −2𝑥2_{+ 𝑥 + 5 < 0 a pour ensemble de solutions}

A) 𝒮 = ]−∞⁡;1−√41 4 ] ∪ [ 1+√41 4 ⁡; +∞[ B) 𝒮 = ]−∞⁡; 1+√41 −4 [ ∪ ] 1−√41 −4 ⁡; +∞[ C) 𝒮 = ] 1−√41 4 ⁡; 1+√41 4 [ D) 𝒮 = ]−∞⁡;1−√41 4 [ ∪ ] 1+√41 4 ⁡; +∞[ E) 𝒮 = [ 1−√41 4 ; 1+√41 4 ]

réponse D car pour −2𝑥2_{+ 1𝑥 + 5, Δ = 1}2_{− 4 × (−2) × 5 = 41} ses racines sont

𝑥₁= −1 + √41 2 × (−2) = −1 + √41 −4 = 1 − √41 4 ⁡⁡⁡⁡𝑒𝑡⁡⁡⁡𝑥1 = −1 − √41 2 × (−2) = −1 − √41 −4 = ⁡ 1 + √41 4 Ainsi, comme −2< 0,⁡ −2𝑥2_{+ 1𝑥 + 5 < 0,⁡⁡⁡⁡∀𝑥 ∈ ]−∞⁡;}1 − √41 4 [ ∪ ] 1 + √41 4 ⁡; +∞[

15) L’inéquation (4𝑥 − 2)(3 − 2𝑥) ≥ 0 a pour ensemble de solutions A) 𝒮 = [1,5⁡; 2] B) 𝒮 = ]0,5⁡; 1,5[ C) 𝒮 = [0,5⁡; 1,5] D) 𝒮 = ]−∞⁡; 0,5] ∪ [1,5; +∞[ E) 𝒮 = ]−∞⁡; 0,5[ ∪ ]1,5⁡;⁡+∞[ réponse C car 𝑥 −∞ 0,5 1,5 +∞ 4𝑥 − 2 − 0 + + 3 − 2𝑥 + + 0 − (4𝑥 − 2)(3 − 2𝑥) − 0 + 0 −

16) La dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = 4𝑥4_{− 3𝑥}3_{+ 2𝑥 − 6 est}

A) 𝑓′_{(𝑥) = 16𝑥}4_{− 9𝑥}2_{− 4 B) 𝑓}′_{(𝑥) = 16𝑥}3_{− 9𝑥}2_{− 4 C) 𝑓}′_{(𝑥) = 16𝑥}3_{− 9𝑥}2_{+ 2}

D) 𝑓′(𝑥) = 16𝑥3_{− 18𝑥 E) 𝑓}′_{(𝑥) = 16𝑥}3_{− 18𝑥 + 2} réponse C

17) La dérivée de la fonction ℎ(𝑥) = 3

4𝑥−𝑒𝑥 définie pour 𝑥 ∈ [2,5⁡; +∞[⁡est

A) ℎ′_{(𝑥) = −} 12−3𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎2 B) ℎ ′_{(𝑥) =} 12−3𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎2 C) ℎ ′_{(𝑥) =} −12−3𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎2 D) ℎ ′_{(𝑥) = −}12−3𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎ E) ℎ′_{(𝑥) = −}12𝑥−3𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎2 réponse A car ℎ′_{(𝑥) = −3 ×} 4−𝑒𝑥 (4𝑥−𝑒𝑥₎2

18) La dérivée de 𝑖(𝑥) = 2𝑥 × ln⁡(2𝑥) définie ∀𝑥 > 0 est A) 𝑖′_{(𝑥) =}2 𝑥 B) 𝑖 ′_{(𝑥) =}4 𝑥 C) 𝑖 ′_{(𝑥) = 2(ln(2𝑥) + 2)} D) 𝑖′_{(𝑥) = 2 ln(2𝑥) + 1 E) 𝑖}′_{(𝑥) = 2(ln(2𝑥) + 1)} réponse E car 𝑖′_{(𝑥) = 2 ln(2𝑥) + 2𝑥 ×} 2 2𝑥= 2 ln(2𝑥) + 2

19) La dérivée seconde de 𝑔(𝑥) = 8𝑥0,5_{+ 𝑒}3𝑥 _est

A) 𝑔′′_{(𝑥) = 2𝑥}−1,5_{+ 9𝑒}3𝑥 _{B) 𝑔}′′_{(𝑥) = −2𝑥}−1,5_{+ 9𝑒}3𝑥 _{C) 𝑔}′′_{(𝑥) = 2𝑥}−1,5_{+ 𝑒}3𝑥 D) 𝑔′′_{(𝑥) = −2𝑥}−1,5_{+ 𝑒}3𝑥_{⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡E) 𝑔}′′_{(𝑥) = −2𝑥}−0,5_{+ 9𝑒}3𝑥 réponse B car 𝑔′_{(𝑥) = 8 × 0,5𝑥}0,5−1_{+ 3𝑒}3𝑥_{= 4𝑥}−0,5_{+ 3𝑒}3𝑥 20) La fonction 𝑓(𝑥) = 𝑒−3𝑥−1 _est A) croissante ∀𝑥 ∈ ]−1; +∞[ B) croissante ∀𝑥 ∈ ]−1 3; +∞[ C) croissante ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[ D) convexe ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[ E) concave ∀𝑥 ∈ ]−∞⁡; +∞[ réponse D car 𝑓′_{(𝑥) = −3𝑒}−3𝑥−1 _{et 𝑓}′′_{(𝑥) = −3 × (−3)𝑒}−3𝑥−1_{= 9𝑒}−3𝑥−1_{> 0.}