Physique des Particules - TD2

UJF - Master 2 Physique Subatomique et Astroparticules B. Cl´ement et I. Schienbein

Physique des Particules - TD2

Probl`eme 1

SoientT_a des matricesn ×n hermitiennes (T_a^† = T_a) et sans trace (Tr(Ta) = 0). Montrez qu’il y a n²−1matrices lin´eairement ind´ependantes et que les constantes de structuref_abcdans[Ta, T_b] =if_abcT_c sont r´eelles.

Probl`eme 2

Montrez que[T_a, T_b] =if_abcT_cetTr(T_aT_b) = ¹₂δ_abm`enent `af_abc =−f_acb.

Indication: CalculezTr(T_c[T_a, T_b])et prenez en consid´eration queTr(ABC) = Tr(CAB).

Probl`eme 3

a) Prouvez l’identit´e

n²−1

X

a=1

(Ta)ij(Ta)kl= 1

2(δilδ_jk− 1 nδ_ijδ_kl) Indication: UtilisezTr(T_aT_b) = ¹₂δ_ab pour calculerm0etm_adans

M =m01n+

n²−1

X

a=1

m_aT_a

o`uM est une matricen×nhermitien quelconque.

b) Prouvez

n²−1

X

a=1

T_aT_a =C_F1n avec C_F ≡ n²−1 2n

Probl`eme 4

On d´efinit la repr´esentation adjointe de l’alg`ebre su(n)par(X<sub>a</sub>)bc:=−if<sub>abc</sub>. Montrez que les g´en´erateurs X<sub>a</sub>respectent l’alg`ebre :

[Xa, X_b] =if_abcX_c Indication: Utilisez[T_a, T_b] =if_abcT_cainsi que l’identit´e de Jacobi

[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0

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Probl`eme 5 Calculezλdans

n²−1

X

c,d=1

f_acdf_bcd =λδ_ab en utilisant

n²−1

X

a,b=1

X_aX_a=C_A1n²−1

avecC_A≡n. Montrez en plus que

n²−1

X

a=1

T_aT_bT_a =

C_F − C_A 2

T_b

n²−1

X

a,b=1

f_abcT_aT_b = iC_A 2 T_c

Probl`eme 6

Confirmez les r´esultats des probl`emes 3, 4 et 5 pour le groupe SU(2) par calcul direct. Dans ce cas fabc =abcetTa= ¹2σaavec les matrices de Pauli :

σ1 =

0 1 1 0

, σ2 =

0 −i i 0

, σ3 =

1 0 0 −1