Physique des Particules - TD8

UJF - Master 2 Physique Subatomique et Astroparticules B. Cl´ement et I. Schienbein

Physique des Particules - TD8

Probl`eme 1

A l’aide des r`egles de Feynman, calculez` |Mf i|² pour la diffusion ´elastique non-polaris´ee ´electron- proton. V´erifiez que le r´esultat est identique `a celui-ci qui suit de e⁺e⁻ → µ⁺µ⁻ (resp. pp) par croi-¯ sement.

Probl`eme 2

Dans la diffusion ´elastiqueeN la partie hadronique des ´el´ements matrice (pour des objets ´etendus) peut ˆetre d´ecrite par

hp⁰|j_µ^em(0)|pi ∝u(p¯ ⁰)Γ_µu(p) o`uΓµest donn´e par l’expression Lorentz-covariante la plus g´en´erale :

Γ_µ=A(q²)q_µ+B(q²)P_µ+C(q²)γ_µ+D(q²)iσ_µνq^ν +E(q²)iσ_µνP^ν

avec P = p+p⁰ etq = p⁰−p. En utilisant l’´equation de Dirac et la conservation du courant, montrez que seulement deux parmi les cinq fonctions A, . . . , E sont lin´eairement ind´ependantes et queA = 0.

Cela implique que le vertex nucl´eonique peut ˆetre ´ecrit en toute g´en´eralit´e comme

¯

u(p⁰)Γ_µu(p) = ¯u(p⁰)

F₁(q²)γ_µ+F₂(q²)iσ_µνq^ν u(p). Indication : Montrez d’abord l’identit´e de Gordon

¯

u(p⁰)γ^µu(p) = 1

2M_Nu(p¯ ⁰) [(p+p⁰)^µ+iσ_µνq^ν]u(p).

Probl`eme 3

Pour comprendre la signification des facteurs de forme G_E etG_M, analysez l’interaction d’un nucl´eon avec un champs ´electro-magn´etique externeA^µ_extdans la limite non-relativiste :

H⁰ = Z

d³x A^µ_ext.(x)hp⁰|e j_µ(x)|pi.

(Indication : Calculez la forme explicite deu(p¯ ⁰)γ_µu(p)dans la limite non-relativiste.)

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Probl`eme 4

Pour trouver la signification physique de G⁰_E(0) ≡ dGE(q²)/dq²|_q²₌₀(∼ hr²i) on constate que dans la limite non-relativiste le facteur de forme F(q²) est la transform´ee de Fourier d’une distribution de charge ´electrostatiqueρ(~x):

F(q²) = Z

d³x e^{i~q ~x}ρ(~x).

Montrez que

(i) cette relation suit de l’interaction ´electrostatique H⁰ =

Z

d³xΨ^∗_f(~x)V(~x)Ψ_i(~x)

o`u

V(~x) = −eA⁰(~x) =−e

Z ρ(~x⁰)

|~x−~x⁰|d³x⁰ etΨ_i(~x)∼e^i~pi~x;

(ii)

F(q²)≡ Z

d³x ρ(r)− ~q² 6

Z

d³x ρ(r)r² pourρ(~x) = ρ(|~x|), c.`a.d.hr²i=−6F⁰(0)/F(0).

Probl`eme 5

Sans aucune sym´etrie d’isospin SU(2) les interactions entre les diff´erents ´etats de charge des pions et nucl´eons sont enti`erement ind´ependantes :

L⁰_πN =i(g_π⁻_pnpγ¯ ₅nπ⁻+g_π⁺_npnγ¯ ₅pπ⁺+g_π⁰_pppγ¯ ₅pπ⁰ +g_π⁰_nnnγ¯ ₅nπ⁰).

Montrez que, `a cause de l’invariance d’isospin deL⁰_πN (i) tous les couplages sont li´es par la relation suivante :

g_π⁻_pn =g_π⁺_np =√

2g; g_π⁰_pp =−g_π⁰_nn =g

o`ugest le couplage du Lagrangien qui est invariant sous transformationsSU(2);

(ii) ces relations nous permettent `a comparer les forcesnn,ppundnp; c.`a.d. montrez la relation suivante pour le rapport des amplitudes de diffusion ´elastique nucl´eon-nucl´eon :

T_pp:T_nn :T_np= 1 : 1 : 1.

Ceci est connu comme “l’ind´ependance de charge des forces nucl´eaires”, c.`a.d. les forces entre les nucl´eons diff´erents sont ´egales.

(Indication : `A l’aide des diagrammes de Feynman trouvez, dans le cadre d’´echange d’un seul pion, selonL<sup>0</sup><sub>πN</sub>, les contributions `aT_pp≡Tpp→pp, etc.)