UGA - Master 2 Physique Subatomique et Astroparticules P. del Amo S´anchez et I. Schienbein
Physique des Particules - TD2
Probl`eme 1
Soient Ta des matrices n×n hermitiennes (Ta† = Ta) et sans trace (Tr(Ta) = 0). Montrez qu’il y a n2−1matrices lin´eairement ind´ependantes et que les constantes de structurefabcdans[Ta, Tb] =ifabcTc sont r´eelles.
Probl`eme 2
Montrez que[Ta, Tb] =ifabcTc etTr(TaTb) = 12δab m`enent `afabc =−facb.
Indication: CalculezTr(Tc[Ta, Tb])et prenez en consid´eration queTr(ABC) = Tr(CAB).
Probl`eme 3
a) Prouvez l’identit´e
n2−1
X
a=1
(Ta)ij(Ta)kl= 1
2(δilδjk− 1 nδijδkl) Indication: UtilisezTr(TaTb) = 12δab pour calculerm0etmadans
M =m01n+
n2−1
X
a=1
maTa
o`uM est une matricen×nhermitienne quelconque.
b) Prouvez
n2−1
X
a=1
TaTa =CF1n avec CF ≡
n2−1 2n
Probl`eme 4
On d´efinit la repr´esentation adjointe de l’alg`ebre su(n)par(Xa)bc:=−ifabc. Montrez que les g´en´erateurs Xarespectent l’alg`ebre :
[Xa, Xb] =ifabcXc Indication: Utilisez[Ta, Tb] =ifabcTc ainsi que l’identit´e de Jacobi
[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0
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Probl`eme 5 Calculezλdans
n2−1
X
c,d=1
facdfbcd =λδab en utilisant
n2−1
X
a,b=1
XaXa=CA1n2−1
avecCA≡n. Montrez en plus que
n2−1
X
a=1
TaTbTa =
CF − CA 2
Tb
n2−1
X
a,b=1
fabcTaTb = iCA 2 Tc Probl`eme 6
Confirmez les r´esultats des probl`emes 3, 4 et 5 pour le groupe SU(2) par calcul direct. Dans ce cas fabc =ǫabcetTa= 12σaavec les matrices de Pauli :
σ1 =
0 1 1 0
, σ2 =
0 −i i 0
, σ3 =
1 0 0 −1