Licence de Physique
Physique des particules et cosmologie
David Viennot
25 août 2010
Table des matières
I Aspects relativistes de la physique des particules et de la cosmologie 5
1 Introduction à la physique des particules 7
1.1 Historique . . . 7
1.2 Système d’unités de la physique des particules, constantes fondamentales et échelles de Planck 11 1.3 Panorama des théories physiques . . . 11
1.4 Les lois fondamentales de la physique des particules . . . 11
1.5 Les grands instruments . . . 12
1.5.1 Les accélérateurs de particules . . . 12
1.5.2 Les trajectographes . . . 15
2 Introduction à la théorie de la relativité restreinte 17 2.1 Les transformations de Lorentz . . . 17
2.2 Géométrie de l’espace-temps . . . 19
2.3 Collisions de particules relativistes . . . 21
3 Le modèle standard de la cosmologie 23 3.1 La gravité . . . 23
3.2 Les métriques de Robertson-Walker . . . 25
3.2.1 Le rôle du paramètre de courbure . . . 25
3.2.2 Le rôle du facteur d’échelle . . . 26
3.3 Matière, énergie et dynamique de l’Univers . . . 27
II Aspects quantiques de la physique des particules 29
4 Fondements de la mécanique quantique 31 4.1 Les postulats . . . 314.1.1 États et observables . . . 31
4.1.2 Expérience des trous d’Young . . . 31
4.1.3 Chats de Schrödinger et interprétations . . . 33
4.2 Nombres quantiques internes, spin et spineurs . . . 35
5 Dynamique quantique 37 5.1 Équations de Schrödinger et de Klein-Gordon . . . 37
5.2 Équation de Dirac . . . 38
6 Interactions et zoologie des particules élémentaires 41 6.1 Interactions électromagnétique et électrofaible . . . 41
6.1.1 L’interaction électromagnétique . . . 41
6.1.2 L’interaction électrofaible et les leptons . . . 42
6.1.3 Le mécanisme de brisure spontanée de symétrie . . . 44
6.2 Interaction forte, les quarks et les hadrons . . . 45
6.2.1 La chromodynamique . . . 45
6.2.2 La saveur des quarks et les hadrons . . . 46
6.2.3 L’interaction nucléaire résiduelle . . . 47
6.3 Synthèse . . . 48
6.3.1 Résumé sur les interactions et les bosons de jauge . . . 48 6.3.2 D’autres particules . . . 48 6.3.3 Les symétries et lois de conservation . . . 48
Première partie
Aspects relativistes de la physique des
particules et de la cosmologie
Chapitre 1
Introduction à la physique des particules
1.1 Historique
L’antiquité grecque
Démocrite (460-370 av.JC) développe la théorie atomique de la matière : la matière est constituée d’objets minuscules, invisibles et insécables, en nombre infini se déplaçant dans le vide. Démocrite les nomme atomes, “insécable” en grec. La théorie de Démocrite s’appuie sur le principe de dichotomie, consi- dérant un morceau de matière, on le coupe en 2 parties égales, on coupe à nouveau en 2 l’un des morceaux et ainsi de suite. Les notions modernes de convergence et de limite en l’infini n’ayant pas été découvertes par les grecs, la poursuite de la dichotomie induisait des paradoxes qui nécessitaient pour Démocrite l’existence de ces portions de matières insécables.
Empédocle (490-435 av.JC) développe une théorie avec 4 éléments (feu, terre, air et eau) qui se conjuguent sous l’influence de forces fondamentales (l’amour et la haine). En étudiant les symétries dans l’espace, Platon (427-347 av.JC) découvre qu’il n’existe que 5 solides réguliers, c’est à dire dont toutes les faces soient identiques avec des côtés isométriques. La philosophie de Platon étant que le monde physique est dominé par les mathématiques qui ont un rôle quasi- magique dans la nature, Platon en déduit que la matière est constituée de 5 éléments associés à chacun des solides :
les solides platoniciens les éléments platoniciens
tétraèdre le feu
cube la terre
octaèdre l’air
dodécaèdre l’éther (la quintessence)
icosaèdre l’eau
Aristote (384-322 av.JC) développe une théorie similaire avec les 5 éléments mais sans lien avec les symétries et les solides réguliers, auxquels sont associés les quatre opposés fondamentaux (la terre est froide et sèche, l’eau est froide et humide, l’air est chaud et humide et le feu est chaud et sec). L’éther est l’élément céleste, support de la lumière.
Les élements fonda- mentaux en Asie
Les cultures asiatiques ont développées des théories des éléments très simi- laires aux théories platonicienne et aristotélicienne. On y retrouve quasiment les mêmes éléments qui sont toujours au nombre de 5. Le Mah¯abh¯uta dans le boudisme et le Tattva dans l’hindouisme sont des préceptes fondés sur 5 éléments : le feu, la terre, le vent, l’eau et l’éther. Au Japon, influencé par le boudisme, le Godai présente les mêmes éléments, mais l’éther y est désigné comme la voix ou le ciel. Enfin la philosophie chinoise de Zou Yan présente les éléments suivants : le feu, la terre, l’eau, le bois et le métal. Les éléments inter- agissent via deux principes opposés : le Yin (froid, humide, sombre et féminin) et le Yang (chaud, sec, lumineux et masculin). La particularité essentielle des philosophies d’extrême orient est que le vide y joue un rôle fondamental, alors qu’il ne peut exister dans le cadre aristotélicien.
Le moyen-âge
Dans l’antiquité l’alchimie est née de la découverte des métaux et s’apparentait donc fortement à la métallurgie. Elle fut développée en Grèce, en Mésopota- mie et surtout en Égypte. Au moyen-âge ce sont d’abord les arabes qui vont développer l’alchimie, en particulier Jabir Ibn Hayyan dit Geber (721-785). On lui ajoute alors une mythologie. En occident, en reprend les idées arabes et y ajoutant des principes philosophiques et des dogmes chrétiens. Les alchimistes vont développer des méthodes expérimentales d’extraction et de synthèse de produits toujours utilisées aujourd’hui. Il y a un très grand nombre d’éléments en alchimie, mais 8 sont considérés comme fondamentaux, les 5 éléments des traditions grecque et indienne (feu, terre, air, eau, éther) auxquels sont ajoutés le soufre, le mercure et le sel.
XVIIème siècle
Les alchimistes ont identifié 12 corps fondamentaux (antimoine, argent, arsenic, carbone, cuivre, étain, fer, mercure, or, phosphore, plomb, soufre).
Van Helmont (1577-1644) critique la déconnexion entre les principes théo- riques de l’alchimie et la pratique expérimentale. En conservant les techniques expérimentales développées jusque là, Van Helmont abandonne les principes philosophiques alchimiques et décide que la théorie doit être construite pour rendre compte de l’expérience, l’analyse des résultats devant se faire avec une rigueur scientifique et pas fonction de préconceptions mythiques ou philoso- phiques (jusque là l’interprétation des alchimistes de l’échec de la synthèse de la pierre philosophale était que c’était Dieu qui ne l’avait pas voulu). C’est la naissance de la chimie moderne. Fin du mythe des éléments platoniciens ou aristotéliciens.
Isaac Newton (1643-1727) découvre la théorie de la gravitation universelle et les lois de la mécanique, publiées dans son ouvragePhilosophia naturalis prin- cipia mathematica en 1687. C’est le retour, depuis Platon et Pythagore, des mathématiques pour décrire la physique.
1.1. HISTORIQUE 9
1869
La pratique de la chimie remet à jour la description de la matière par des éléments. La classification périodique des éléments est découverte par Dimitri Mendeleiev (1834-1907).
XIXème siècle
Retour de la théorie atomiste abandonnée depuis l’antiquité, on pense que les éléments de la classification périodique sont associés à différents types d’atomes.
Les théories atomistes cherchent à expliquer par le concept d’atome les proprié- tés de ces éléments. L’un des modèles atomiques, représente l’atome comme
“une pomme” neutre avec des pépins chargés électriquement.
Peter Guthrie Tait (1831-1901), Lord Kelvin (1824-1907) et James Clerk Max- well (1831-1879) mettent au point la théorie des anneaux d’éther pour expliquer les spectres d’absorption et d’émission. On supposait que les ondes électroma- gnétiques avaient besoin d’un milieu pour se propager, ce milieu était appelé éther. Des théoriciens avaient découvert qu’un anneau de fumée pouvait être stable à condition que le fluide dans lequel il est plongé ne soit pas turbulent.
Suivant cette propriété, Tait, Kelvin et Maxwell ont supposé que l’éther pou- vait former des anneaux, ces anneaux pouvant s’entrelacer et faire des nœuds.
Les atomes ou les éléments ne seraient pas ponctuels mais ces anneaux d’éther entrelacés, et donc de dimension 1. Les propriétés spectroscopiques seraient alors liées aux propriétés topologiques des nœuds formés par ces anneaux. Les 3 physiciens se sont alors lancé dans l’étude et la classification des nœuds, donnant naissance à une nouvelle branche des mathématiques qui est toujours aujourd’hui l’une des plus active en recherche, la théorie des nœuds.
1900
Max Planck (1858-1947), afin d’interpréter le rayonnement du corps noir qui n’est pas compatible avec les lois de l’électromagnétisme, propose que les corps noirs n’émettent pas un rayonnement continu mais par paquets d’énergie ap- pelés quantas.
1906
Albert Einstein (1879-1955) reprend la théorie des quantas de Planck afin d’in- terpréter l’effet photoélectrique. La lumière est composée de particules fonda- mentales appelées photons. La même année il publie l’article fondateur de la relativité restreinte. Abandon de la théorie de l’éther.
-1911 Ernest Rutherford (1871-1937) découvre la structure de l’atome, un noyau en- tourés d’électrons.
1915 Albert Einstein publie l’article fondateur de la relativité générale qui permet de décrite la gravitation dans le contexte relativiste.
1919 Découverte du proton. L’éclipse solaire permet de vérifier une prédiction impor- tante de la relativité générale, la déviation de la lumière par un corps massif.
années 20 et 30
Erwin Schrödinger (1887-1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Nield Bohr (1885-1962), Louis de Broglie (1892-1987), Wolfgang Pauli (1900-1958), Paul Dirac (1902-1984), et Enrico Fermi (1901-1954) élaborent la mécanique quan- tique qui décrit correctement les molécules, atomes et particules fondamentales.
1930 Découverte du neutrino.
1932 Découverte du neutron.
1945 La première bombe nucléaire américaine explose dans le désert du Nouveau- Mexique.
1954 Chen Ning Yang (1928-) et Robert Mills (1927-1999) proposent les théories de jauge, c’est le retour depuis Platon de la notion de symétrie comme centrale dans la théorie des éléments fondamentaux de la nature.
1964
Murray Gell-Mann (1929-) invente le modèle des quarks. Les nombreuses par- ticules récemment découvertes seraient des composites de quarks.
Robert Brout (1928-), François Englert (1932-) et Peter Higgs (1929-) pro- posent la mécanisme de brisure spontanée de symétrie pour résoudre la pro- blème de description des particules massives dans les interactions faibles. Ce mécanisme nécessite l’intervention d’une nouvelle particule, le boson de Higgs, qui n’a encore jamais été observé expérimentalement aujourd’hui.
1968 Première observation confirmant l’existence des quarks à l’accélérateur de par- ticules de Standford.
années 80-90
Des théoriciens proposent de nouvelles théories pour unifier la mécanique quan- tique et la relativité générale. L’une de ces théories, la théorie des cordes, sup- pose que les particules ne sont pas ponctuelles mais de dimension 1, idée qui n’avait pas été reprise depuis la théorie des anneaux d’éther.
Dans le même temps, à la suite d’un article de Dirac de 1931, des physiciens pro- posent d’introduire de nouvelles particules (monopôles, instantons, ...), jamais encore observées, pour expliquer certains phénomènes ou par rendre symétrique certaines équations. L’une d’elle, celle introduite par Dirac, le monopôle magné- tique, rend symétrique les équations de Maxwell avec des sources de champs magnétiques. Ces nouvelles particules sont associées à des propriétés topolo- giques des interactions, c’est aussi un retour de l’un des concepts de la théorie des anneaux d’éther.
1998 L’expérience SuperKamiokande au Japon, montre que les neutrinos ont une masse contrairement à ce que l’on pensait jusqu’alors.
1.2. SYSTÈME D’UNITÉS DE LA PHYSIQUE DES PARTICULES, CONSTANTES FONDAMENTALES ET ÉCHELLES DE
1.2 Système d’unités de la physique des particules, constantes fon- damentales et échelles de Planck
constante de Planck ~= 1.05×10−34Js vitesse de la lumière dans le vide c= 3×108m/s
constante de Boltzmann kB= 1.4×10−23J/K constante de couplage électromagnétique e= 1.6×10−19C
(charge électrique élémentaire)
constante de structure fine α≃ 1371
constante de gravitation universelle G= 6.7×10−11m3/(kg.s2) énergie 1eV = 1.6×10−19J
masse 1eV /c2= 1.8×10−36kg durée 1~/eV = 6.6×10−16s longueur 1~c/eV = 2×10−7m température 1eV /kB = 11600K
longueur de Planck q
G~
c3 = 1.6×10−35m= 8.2×10−29~c/eV masse de Planck q
c~
G = 2.2×10−8kg= 1.2×1028eV /c2 temps de Planck q
~G
c5 = 5.4×10−44s= 8.2×10−29~/eV température de Planck q
c5~
Gk2B = 1.4×1032K= 1.2×1028eV /kB
énergie de Planck q
c5~
G = 1.9×109J = 1.2×1028eV
1.3 Panorama des théories physiques
Action Vitesse Force gravitationnelle Théorie physique pertinente vs autres forces
A ≫~ v≪c indifférent Physique Newtonienne
A ≫~ v∼c négligeable Relativité Restreinte (y compris électromagnétisme)
A ≫~ v∼c importante Relativité Générale
A ∼~ v≪c négligeable Physique Quantique
A ∼~ v∼c négligeable Théorie Quantique des Champs
A ∼~ v∼c importante Inconnue (théorie des cordes, gravité quantique par boucles,...) + cadres théoriques transverses : Physique Statistique, Physique Lagrangienne, Physique Hamiltonienne et Théorie Classique des Champs.
1.4 Les lois fondamentales de la physique des particules
Les lois fondamentales de la physique des particules s’expriment comme : – des lois de symétrie ou d’invariance,
– des lois de conservation,
– des phénomènes de brisure ou de violation de symétrie.
Le concept premier de la physique des particule est donc le suivant :
Théorème 1 (Théorème de Noether). À toute transformation continue laissant invariant le Lagrangien (à toute symétrie de la dynamique) est associée une grandeur qui se conserve (une intégrale première).
Exemple : les transformations de référentiel
– homogénéité de l’espace (les lois de la physique sont invariantes par translation spatiale du référentiel)
⇐⇒ conservation de l’impulsion.
– isotropie de l’espace (les lois de la physique sont invariantes par rotation du référentiel) ⇐⇒ conser- vation du moment cinétique.
1.5 Les grands instruments
1.5.1 Les accélérateurs de particules
Afin d’étudier les constituants élémentaires – les particules fondamentales – la physique expérimentale des particules réalise des collisions à très hautes énergies. Ces collisions poursuivent différents buts : mettre en évidence la caractère composite de certaines particules et donc trouver des particules plus élémentaires (soit en brisant une particule composite, soit en provoquant un mouvement des particules constituantes à l’inté- rieur de la composite) ; mettre en évidence des propriétés internes des particules fondamentales (exemple de propriété interne : le spin) ; fournir suffisamment d’énergie pour que le choc engendre de nouvelles particules (soit par constitution d’une particule composite, soit par création d’une particule “surgissant du vide” comme le permet la mécanique quantique). Plus on fournit de l’énergie, plus on a de chances de voir se produire des phénomènes intéressants lors de la collision. Il faut donc accélérer les particules primaires avant de les entrechoquer.
L’une des missions principales des grands accélérateurs (du LHC en particulier) est la recherche d’une par- ticule indispensable au modèle standard de la physique des particules, le boson de Higgs. Prédit par le mécanisme de brisure spontanée de symétrie (mécanisme nécessaire pour expliquer la masse des particules en théorie quantique des champs sans aboutir à des aberrations), la découverte de cette particule serait la confirmation ultime de la validité du modèle standard. Les autres nouvelles particules recherchées dans les accélérateurs aujourd’hui sont associées à des nouvelles théories physiques au delà du modèle standard.
1.5.LESGRANDSINSTRUMENTS
Type Principe Puissance maximale Exemple
Accélérateur linéaire électrostatique condensateur 1M eV Accélérateur linéaire Wideroë-Alvarez
succession de cavités de tailles croissantes où règnent des champs électriques alternatifs hyperfréquences dont les crêtes sont synchrones avec le faisceau.
10GeV
SLAC (Standford Li- near Accelerator Center), Standford (USA)
Cyclotron
B B
E
1 GeV PSI (Paul Scherrer Insti-tute), Villegen (Suisse)
Synchrotron
injecteur
éjecteur à vide
chambre cavité
à champ HF anneau à champ magnétique
10T eV
LHC (Large Hadron Col- lider), CERN, Genève (Suisse)
Le tunnel du SLAC où se trouve l’accélérateur.
Le cyclotron du PSI
Schéma du LHC.
L’anneau du LEP et du LHC sous la frontière franco-suisse.
Photo de l’intérieur de l’anneau du LHC.
1.5.LESGRANDSINSTRUMENTS
1 .5 .2 L es tr a je ct o g ra p h es
Type Principe
Chambre à brouillard
Gouttelettes provoquées par l’ionisa- tion d’un gaz saturé en vapeur lors du passage d’une particule chargée.
Chambre à bulles
Bulles formées par le passage d’une par- ticule dans une cuve d’hydrogène li- quide placée dans un champ magné- tique intense.
Chambre à fils
ddp sur une grille de fils sous tension lors de l’ionisation du gaz d’argon au passage d’une particule chargée (traite- ment informatique).
Chapitre 2
Introduction à la théorie de la relativité restreinte
2.1 Les transformations de Lorentz
À la fin du XIXème siècle, par analogie avec les ondes acoustiques qui ont besoin d’un milieu matériel pour se propager, les physiciens pensaient que les ondes électromagnétiques avaient elles aussi besoin d’un milieu pour leur propagation. Ce milieu était appelé “éther” (en réalité celui-ci avait été introduit dès l’antiquité).
En 1881, Michelson et Morley entreprirent de mesurer les variations de la vitesse de la lumière par rapport au référentiel du laboratoire. Autrement dit, vérifier la relationv=v′+ve oùv est la vitesse de la lumière dans le référentiel de l’éther, v′ la vitesse de la lumière dans le référentiel du laboratoire et ve la vitesse d’entraînement du laboratoire (dû au mouvement de la Terre par rapport à l’éther qui dans une bonne approximation peut être considéré comme un mouvement de translation uniforme). L’expérience consistait à étudier la figure d’interférences obtenue par un appareil appelé aujourd’hui interférmomètre de Michelson- Morley (cf. cours d’optique) de bras de 11m reposant sur un banc d’optique flottant dans un bain de mercure (afin de limiter les vibrations parasites). Cette expérience fut un échec, aucune variation de la vitesse n’a pu être mise en évidence. Dans le même temps, d’autres expériences (Fizeau et Kaufmann) ont révélées des failles dans la mécanique classique. Le tout combiné avec le fait que les équations de Maxwell ne sont pas invariantes par transformation de Galilée (cf. cours d’électromagnétisme de L2), poussa Einstein à proposer de nouveaux fondements à la mécanique, c’est la relativité restreinte.
Principe 1. Toutes les lois de la physique sont invariantes par changement de référentiel galiléen.
Il s’agit là d’étendre le principe de la relativité galiléenne à la théorie de l’électromagnétisme (les équations de Maxwell devraientpar principeêtre invariantes par changement de référentiels galiléens). L’expérience de Michelson combinée à ce premier principe, incite alors à poser le second principe suivant :
Principe 2. La vitesse de la lumière dans le vide est invariante par changement de référentiel galiléen (et donc est indépendante du mouvement de la source).
Afin de respecter ces deux principes, les transformations de Galilée permettant d’exprimer un changement de référentiel :
x=x′+vet
xétant la position d’une particule dans un référentiel GaliléenR,x′sa position dans un référentiel GaliléenR′ en mouvement rectiligne uniforme de vitessevepar rapportRdans la directionOx(RetR′ étant confondu àt= 0) ; ces transformations doivent être remplacées par les transformations de Lorentz-Poincaré :
x= x′+vet′ q
1−vc2e2 ct=ct′+vcex′
q 1−vc2e2
cétant la vitesse de la lumière dans le vide (constante universelle d’après le second principe),test le temps écoulé dans le référentielRdepuis l’instant où les deux référentiels étaient confondus, ett′ est le temps écoulé dans le référentiel R′. C’est cette “relativité du temps” qui donne son nom à la théorie (nom qui est par ailleurs assez mal choisi, puisque le principe fondateur est un principe d’universalité des lois de la physique – la théorie de la relativité n’énonce pas “tout est relatif”, bien au contraire –). On appelle facteur relativiste le terme :
γe= 1 q
1−vc2e2
On dérive des transformations de Lorentz-Poincaré la loi de composition des vitesses qui remplace~v=~v′+~ve
par
vx= v′x+ve
1 +vecv2′x
vy= vy′
γe(1 +vcev2′x) vz= vz′ γe(1 +vecv2′x) Pour prouver ces formules, il suffit d’écrire quevx=dxdt = ∂x∂x′∂x∂t′ +c∂t∂x′c∂tc∂t′.
Il vient de cette formule que v ≤c, la vitesse de la lumière dans le vide apparaît donc comme une vitesse limite indépassable.
c étant une constante fondamentale, dont la valeur est un invariant de référentiel, on voit que l’on peut considérer le temps comme similaire à de l’espace par la conversion ct. L’idée est la suivante, lorsqu’on exprime un trajet s’effectuant à la vitessevconstante, on peut mesurer la trajet par la longueurxde celui-ci ou par sa duréet. Les deux mesures du trajet sont équivalentes parx=vt. En mécanique Newtonienne, cette équivalence n’est pas canonique,v dépend du choix de référentiel. Mais en relativité restreinte, il existe une vitesse, celle de lumière, qui est invariante de référentiel, l’équivalencex=ctest donc canonique. L’espace et le temps ne sont donc que deux aspects de la même notion.
Par un raisonnement similaire et une analyse dimensionnelle, on est aussi conduit à constater le postulat suivant :
Postulat 1 (Principe d’équivalence masse-énergie). La masse m d’objets matériels peut être convertie en énergieE0, et réciproquement, suivant la formule d’équivalence entre masse et énergie :
E0=mc2
Les formules usuelles définissant l’impulsion et l’énergie cinétique d’une particule libre, ne sont pas com- patibles avec les tranformations de Lorentz. Les formules correctes sont, pour l’impulsion :
~ p=γm~v et pour l’énergie cinétique
EK = (γ−1)mc2 avec toujours le facteur relativiste γ = q 1
1−vc22
. La façon la plus naturelle de prouver ces formules serait l’étude du Lagrangien de la relativité restreinte, on ne le fera pas ici et on se contentera de constater qu’à la limite newtonienne, v ≪ c, les développements limités de formules relativistes redonnent les formules classiques. On remarquera qu’une particule libre a pour énergie totale la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse, soit
E=EK+E0=γmc2
En physique des particules, on se place souvent dans un référentiel très pratique pour effectuer les calculs, le référentiel du centre de masse. Celui-ci se définit exactement comme en mécanique newtonienne :
Définition 1 (Référentiel du centre de masse). On appelle référentiel du centre de masse d’un système de particules, le référentiel R∗ en translation par rapport au référentiel du laboratoire Rtel que la quantité de mouvement totale du système de particules soit nulle :P
i~pi/R∗ =~0.
Si le système de particules est isolé,R∗ est galiléen.
Propriété 1. La relationinvariante de référentiel galiléenentre énergie et impulsion est E2
c2 −p2=m2c2
2.2. GÉOMÉTRIE DE L’ESPACE-TEMPS 19
Autement dit, si on dispose de deux référentiels galiléensRet R′ alors E/2R
c2 −p2/R= E/2R′
c2 −p2/R′ =m2c2
Cette relation, est aussi appelée équation fondamentale de la dynamique libre de la relativité restreinte (c’est la version relativiste de l’équation newtonienneE= 2mp2 pour une particule libre).
2.2 Géométrie de l’espace-temps
La particularité remarquable de la théorie de la relativité restreinte et qu’elle traite l’espace et le temps sur un pieds d’égalité. On est donc amené à ne considérer qu’une seule entité, l’espace-temps. Comprendre la relativité restreinte revient à comprendre la géométrie de l’espace-temps. Or comme la géométrie dans un espace dérive plus ou moins directement de la géométrie des triangles, il suffit de connaître les lois de la géométrie triangulaire.
Avant d’étudier la géométrie de l’espace-temps, commençons par rappeler quelques trivialités sur la géométrie de l’espace (la géométrie euclidienne). Considérons donc un triangle rectangle dans l’espace :
A B
C y
x
Les propriétés d’un tel triangle sont :
– Le théorème de Pythagore (pour un triangle rectangle) : AB2+BC2=AC2 – L’inégalité triangulaire :
AB+BC≥AC
Il est important de faire la distinction entre coordonnées, différence de coordonnées, et longueur. Supposons que A et C soient deux points de l’espace où se trouvent des particules. Le point B n’étant que le point géométrique, projection deCsur l’axe desx.ABetBCsont des différences de coordonnées. Ces différences sont homogènes à des longueurs mais ce ne sont pas des longueurs physiques. Pour s’en rendre compte, il suffit de changer le système d’axes du repère (qui est arbitraire) pour trouver des valeurs différentes. La seule longueur physique est la distance AC, qui elle est invariante sous changement de repère. Cette remarque peut sembler bête, mais il sera utile de s’y référer pour la discussion du cas spatio-temporel où les choses seront moins intuitives.
Du théorème de pythagore, on déduit l’expression de la longueur infinitésimale dans l’espace,dℓ: dℓ2=dx2+dy2+dz2
Attention à la notation :dℓ2≡(dℓ)26=d(ℓ2).
Ainsi, pour une courbeC, paramétrée par(x(u), y(u), z(u))avecu∈[0,1], la longueur deC est
ℓ(C) = Z
C
dℓ= Z 1
0
s dx du
2
+ dy
du 2
+ dz
du 2
du
En relativité, “la trajectoire dans l’espace-temps” d’une particule s’appelle une une ligne d’Univers.
Du fait de la limite de la vitesse de la lumière, les lignes d’Univers admissibles passant par un point O représentant la position de la particule à l’instant présent, sont confinées entre les bisectrices représentant un déplaçement à la vitesse de la lumière. L’objet à 3 dimensions engendré dans l’espace-temps par ces bisectrices est appelécône de lumière.
x ct
O futur
passé
ailleurs présent ailleurs
Une courbe confinée dans le cône de lumière est dite de genre temps (c’est une courbe qui peut représenter quelque chose de physique), une courbe qui sort du cône de lumière est dite de genre espace (elle ne correspond à rien de physiquement admissible), enfin une courbe sur le cône de lumière est dite de genre lumière (elle correspond à la physique des particules sans masse).
La géométrie des triangles dans l’espace-temps doit refléter ce qui caractérise principalement celui-ci, à savoir que les segments physiques admissibles doivent être de genre temps (ou lumière).
A x
C
B ct
Les triangles rectangles dontABserait plus long queBCsont donc interdits. La façon “naturelle” d’obtenir géométriquement cette interdiction, consiste à changer le signe du théorème de Pythagore (ce qui à pour conséquence de renverser l’inégalité triangulaire). La géométrie de l’espace-temps, dite géométrie minkows- kienne est donc caractérisée par :
– Le théorème de Pythagore-Minkowski (pour un triangle rectangle) : BC2−AB2=AC2 – L’inégalité triangulaire Minkowskienne :
AB+BC≤AC
Ainsi si on avaitAB > BC, le theorème de Pythagore-Minkwoski induirait queAC2 <0 et donc queAC serait imaginaire pur et par conséquent non-physique.
Il faut faire attention au fait qu’il y a en relativité, deux notions de temps différents, et faire bien la dis- tinction entre date, différence de dates et durées. Supposons queAet Ccorrespondent à deux événements, et queB soit la projection de C sur l’axe des x. L’axect représente letemps géométrique, c’est à dire un axe choisi pour repérer les dates. Le choix d’un système d’axes dans l’espace-temps est aussi arbitraire que le choix d’un système d’axes dans l’espace, donc la différence entre deux dates est arbitraire et n’est pas physique (c’est une différence de coordonnées). AinsiCB, bien qu’homogène à une durée, n’est pas une durée physique. Seul AC est une durée physique car indépendant du choix d’axes, on l’appelle le temps propre. Le temps propre est un temps qui s’est physiquement écoulé pour une particule dans son référentiel propre (on rappelle que du fait des transformations de Lorentz, les durées écoulées sont relatives à un choix de référentiel).
2.3. COLLISIONS DE PARTICULES RELATIVISTES 21
Prenons un exemple concret pour interpréter le triangle : Obi-Wan Kenobi quitte la planète Coruscant pour se rendre sur la planète Tatouine. On suppose que son voyage se déroule suivant un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v < c. Les planètes Coruscant et Tatouine sont supposées fixes l’une par rapport à l’autre, et on choisit l’axe des x comme la droite reliant les deux planètes. L’événement A est le départ d’Obi-Wan de Coruscant et l’événement C l’arrivée d’Obi-Wan sur Tatouine. B n’est pas un événement, c’est la projection de C sur l’axe des x. Coruscant et Tatouine étant fixes l’une par rapport à l’autre, on peut leur attribuer un référentiel commun. On peut donc supposer qu’il existe une horloge sur Coruscant qui soit synchrone avec une horloge sur Tatouine. L’axectreprésente alors les dates indiquées par les horloges planétaires synchrones. On suppose de plus qu’Obi-Wan embarque une horloge avec lui (étant un mouvement dans le référentiel des planètes, cette horloge est asynchrone avec les horloges planétaires). Que représente le triangle ?ABest la distance entre Coruscant et Tatouine.BCest la date indiquée par l’horloge de Tatouine à l’arrivée d’Obi-Wan moins la date indiquée par l’horloge de Coruscant à son départ. Il ne s’agit pas d’une durée physique, mais seulement d’un paramètre géométrique lié au choix des axes (ce que l’on peut voir dans le fait que l’on fait la différence entre des dates indiquées par deux horloges différentes, on remarquera que si les deux horloges avaient été asynchrones, on n’aurait même pas eu le droit de faire cette différence). Enfin le temps propreAC est la durée du voyage d’Obi-Wan telle que mesurée par son horloge embarquée.
On pourrait comparer deux durées physiques en faisant revenir Obi-Wan sur Coruscant. SoitD cet événe- ment.AD est alors une durée physique, c’est la durée mesurée par l’horloge de Coruscant entre le départ et le retour d’Obi-Wan. AC+CD est la durée mesurée par l’horloge d’Obi-Wan entre son départ et son retour. Du fait de l’inégalité triangulaire inversée, on aAC+CD < AD. Entre les deux événements que sont le départ et le retour d’Obi-Wan, il s’est écoulé plus de temps sur Coruscant que pour Obi-Wan. Cette dilatation du temps, est appelée dans le cas présent, paradoxe de Langevin.
Du théorème de Pythagore-Minkowski, on déduit que la métrique (le temps propre infinitésimal au carré) est
ds2=c2dt2−dx2−dy2−dz2
Le temps propre d’une ligne d’Univers de genre temps C, paramétrisée par (ct(u), x(u), y(u), z(u)) avec u∈[0,1]est donc
τ(C) = Z
C
ds= Z 1
0
s cdt
du 2
− dx
du 2
− dy
du 2
− dz
du 2
du
L’essence de la théorie de la relativité restreinte est contenue dans la géométrie Minkowskienne, le reste n’est que raffinement.
2.3 Collisions de particules relativistes
La théorie des collisions en relativité restreinte est rigoureusement la même que celle de la mécanique newtonienne (cf. cours de physique newtonienne de L1), à condition d’utiliser les formules relativistes de l’impulsion et de l’énergie.
Postulat 2 (Conservation de l’impulsion). Lors d’une collision de particules, la quantité de mouvement
totale est conservée. X
i
~
pi,in=X
j
~ pj,out
Postulat 3(Conservation de l’énergie totale). Lors d’une collision de particules, l’énergie totale (cinétique et de masse) est conservée.
X
i
(EKi,in+mi,inc2) =X
j
(EKj,out+mj,outc2)
Postulat 4 (Principe de conservation de l’énergie de masse). Lors d’une collision élastique l’énergie de
masse totale se conserve. X
i
mi,inc2=X
j
mj,outc2
Définition 2 (Énergie seuil). Soit un collision inélastique dont les particules filles sont différentes des particules mères. On appelle énergie seuil de la réaction, l’énergie minimale que doivent posséder les particules mères pour engendrer les particules filles (c’est donc l’énergie minimale à fournir pour que la réaction puisse se réaliser). Dans le référentiel du centre de masse R∗, l’énergie seuil est l’énergie de masse des particules filles :
ES∗ =X
j
mj,outc2
L’étude des collisions en relativité restreinte est rendue délicate par le problème du choix du référentiel, surtout si l’on cherche à déterminer les lignes d’Univers des particules. Des effets relativistes (dilatation des durées de vie et contraction des longueurs de vol) rendent très délicate l’étude précise des collisions inélastiques. Ces problèmes seront traités en cours de relativité restreinte.
Chapitre 3
Le modèle standard de la cosmologie
3.1 La gravité
Considérons un homme de massem dans un ascenseur en chute libre de masseM. SoitO le centre de l’ascenseur etP la position de l’homme. Dans le référentiel de la Terre, on a
Md2zO
dt2 =−M g⇒zO(t) =zO(0)−gt2 2 De même on a
md2zP
dt2 =−mg⇒zP(t) =zP(0)−gt2 2 Dans le référentiel de l’ascenseur on a donc
−−→OP(t) =zP(t)−zO(t) =zP(0)−zO(0)
Dans l’ascenseur en chute libre, la gravité est comme effacée, aucune expérience ne permet de la voir se manifester. Ceci ressemble beaucoup à la définition des forces d’inertie (une force d’inertie est une force qui disparaît dans les référentiels galiléens). De cette constatation, Einstein tira l’idée que la gravité devait être de même nature qu’une force d’inertie, à la différence que le raisonnement n’est valable que pour un champ de gravité uniforme E~ =−g~ez. Or le champ de gravitéE~ =−GrM2 ~er n’est qu’approximativement uniforme sur de courtes distances (on dit qu’il est localement uniforme). La gravité est dite alors localement inertielle, et on introduit la notion de référentiel localement galiléen : un référentiel en mouvement de translation rectiligne uniforme ou en chute libre par rapport à un référentiel galiléen connu. C’est le point départ de la relativité générale. Notons que ceci est lié au principe d’équivalence entre masse inertielle (mi~a) et masse pesante (mp~g).
Afin de tirer toutes les conséquences du fait que la gravité est une force localement inertielle, reprenons le cas de la physique newtonienne (ou de la relativité restreinte), en essayant de comprendre le raisonnement épistémologique qui conduit à lier référentiels galiléens et mouvement rectiligne uniforme.
– On définit épistémologiquement parlant, les référentiels galiléens comme les référentiels naturels de la physique. Un référentiel galiléen ne doit donc pas être soumis à une “contrainte” extérieure. Considérons deux de ces référentiels, et plus précisément le mouvement de l’un par rapport à l’autre.
– La physique est gouvernée par un principe de moindre action : la nature va au plus facile.
– Le référentiel galiléen ne subissant aucune contrainte extérieure, le plus facile est d’aller au plus court.
– Le chemin le plus court entre deux points dans l’espace euclidien c’est la droite. La ligne d’Univers la plus courte entre deux événements dans l’espace-temps minkowskien c’est la droite.
– Une droite dans l’espace-temps est un mouvement rectiligne uniforme. Nos deux référentiels galiléens sont donc en mouvement rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre.
Il faut bien noter qu’il s’agit là d’un raisonnement épistémologique et non d’un raisonnement logique ou d’une démonstration mathématique. À la suite de ce raisonnement, on peut alors formaliser les choses, définir les contraintes extérieures comme les forces extérieures (ce qui permet alors de définir les forces d’inertie), écrire mathématiquement le principe de moindre action en introduisant le lagrangien, etc. Voyons comment on peut adapter ce raisonnement au fait que la gravité passe du statut de force extérieure à force localement inertielle :
– Les référentiels localement galiléens sont toujours les référentiels naturels de la physique, ils ne sont soumis à aucune contrainte extérieure.
– On maintient que la physique est gouvernée par un principe de moindre action.
– En l’absence de contraintes, le plus facile est toujours d’aller au plus court.
– Le mouvement de chute de libre entre deux événements est donc un mouvement qui suit la ligne d’Univers la plus courte entre ces deux événements.
– Mais la ligne d’Univers de chute libre est une courbe,zP(t) =zO(0)−gt22 (une parabole ici). Le chemin le plus court entre deux événements dans l’espace-temps (ou entre deux points dans l’espace) est donc courbe. L’espace-temps présente donc une géométrie courbe.
Que veut-on dire par géométrie courbe ? L’exemple le plus simple est la géométrie à la surface d’une sphère. Pour relier deux points sur la surface de la sphère, le chemin le plus court (qui reste sur la surface) est l’arc de grand cercle passant par ces points (les grands cercles d’une sphère sont les cercles en surface qui ont pour centre le centre de la sphère). Cet arc est donc l’équivalent de la droite sur la surface (les “droites courbes” sont appelées géodésiques). On dit que la géométrie présente une courbure positive ou encore que c’est une géométrie sphérique. Il existe un autre cas, avec une courbure négative, appelée géométrie hyperbolique. Encore une fois, c’est la géométrie des triangles qui va fixer les propriétés de ces différentes géométries.
Propriétés Géométrie plane Géométrie sphérique Géométrie hyperbolique
Courbure nulle positive négative
Somme des angles d’un triangle =π > π < π
Périmètre d’un cercle de rayonr = 2πr <2πr >2πr
Deux “droites” (géodésiques) sont parallèles se coupent s’éloignent
orthogonales à une troisième l’une de l’autre
Axiome d’Euclide
Soit une droite (D) et un point M n’ap- partenant pas à cette droite. Par M passe une unique droite pa- rallèle à(D).
Soit une géodésique (D) et un point M n’appartenant pas à cette géodésique. Par M ne passe aucune géodésique parallèle à (D).
Soit une géodésique (D) et un point M n’appartenant pas à cette géodésique. Par M passent plusieurs géodésiques parallèles à(D).
Les propriétés de la géométrie sphérique peuvent être bien représentées par le triangle trois fois rectangle (un des sommets est au pôle et le côté opposé est le quart de l’équateur) :
Un exemple de géométrie hyperbolique est donné par le plan de Poincaré :
3.2. LES MÉTRIQUES DE ROBERTSON-WALKER 25
Sur cette représentation du plan de Poincaré (due à Maurits Cornelis Escher - Circle Limit III, 1959) les arêtes dorsales des poissons sont des géodésiques. L’image est représentée comme à travers une loupe ou un effet de perspective (seule façon de se représenter la géométrie hyperbolique), le cercle limite est en fait l’horizon à l’infini. Les arêtes dorsales des poissons sont donc toutes de même taille.
On notera que puisque c’est la gravité (qui n’est plus une force extérieure, mais une force localement inertielle) qui est la manifestation de la courbure de l’espace-temps, c’est donc la répartition des masses qui fixe cette courbure. C’est là l’essentiel de la théorie de la relativité générale (le reste n’est que mathématiques pour formaliser les choses). Elle affirme donc que contrairement à la théorie Newtonienne où un champ de gravité existe dans l’espace (et dans le temps), le champ de gravité est une illusion, manifestation des propriétés géométriques d’un espace-temps courbe. Ainsi, la gravité n’est pas réellement une interaction entre objets massifs ; chacun des objets courbent l’espace-temps, et les dynamiques de ceux-ci suivent la géométrie induite par cette courbure. La particularité de la théorie d’Einstein est qu’elle est indépendante d’arrière- fond : il n’existe pas un espace-temps plat universel sur lequel se déroule la dynamique gravitationnelle, l’espace-temps est lui-même un objet dynamique naturellement courbe.
3.2 Les métriques de Robertson-Walker
Le postulat fondamental de la cosmologie est, qu’aux très grandes échelles, la matière et l’énergie sont réparties uniformément dans l’Univers. La densité de masse étant uniforme, il existe une courbure cosmique constante qui est la courbure moyenne de l’espace-temps (la courbure présente des fluctuations aux petites échelles, l’espace est plus courbé au voisinage d’une étoile que dans le vide interstellaire). Une analyse mathématique montre, que la métrique cosmique (temps propre infinitésimal au carré) est de la forme :
ds2=c2dt2−R(t)2
(dr)2
1−kr2 +r2(dθ)2+r2(sinθ)2(dϕ)2
k =−1,0 ou+1 est appelé paramètre de courbure, et la fonction R(t) est appelée facteur d’échelle1. Le système de coordonnées est tel que
θ ∈ [0,2π]
ϕ ∈ [0, π]
t ∈ R r ∈
([0,+∞[ sik= 0,−1 [0,1]⊔[1,0] sik= 1 Les métriques de cette forme sont dites de Robertson-Walker.
3.2.1 Le rôle du paramètre de courbure
Considérons le cas des métriques telles quek= 0. La partie spatiale de la métrique est alors dℓ2=R(t)2 dr2+r2(dθ)2+r2(sinθ)2(dϕ)2
| {z }
métrique euclidienne en coordonnées sphériques
Ces solutions correspondent donc à un Univers euclidien, donc de courbure nulle.
Considérons maintenant les solutions aveck= 1.
dℓ2=R(t)2
(dr)2
1−r2 +r2(dθ)2+r2(sinθ)2(dϕ)2
Soit un cercle dont les points sont de coordonnée0< r1<1.∀ron a 1−1r2 >1. Le rayon du cercle est donné par
a(t) =R(t)
Z r1 dr
√ > R(t)r
et son périmètre est
R(t)r1
Z 2π 0
dθ= 2πR(t)r1
On en déduit que
2πR(t)r1<2πa(t) L’Univers est donc sphérique.
Pour les cask=−1,
dℓ2=R(t)2
(dr)2
1 +r2 +r2(dθ)2+r2(sinθ)2(dϕ)2
Soit un cercle dont les points sont de coordonnée0< r1.∀ron a 1+r12 <1. Le rayon du cercle est donné par a(t) =R(t)
Z r1
0
√ dr
1 +r2 < R(t)r1
et son périmètre est
R(t)r1
Z 2π 0
dθ= 2πR(t)r1
On en déduit que
2πR(t)r1>2πa(t) L’Univers est alors hyperbolique.
3.2.2 Le rôle du facteur d’échelle
Le facteur d’échelle R(t) traduit le phénomène de l’expansion de l’Univers, observé dans la fuite des galaxies (cf. cours de cosmologie observationnelle). Considérons un système de coordonnées sur l’Univers telles que l’origine soit notre galaxie. Soit une autre galaxie se trouvant à la coordonnée r1. La distance propre entre la Voie Lactée et cette galaxie est
dt(0, r1) = R(t) Z r1
0
√ dr 1−kr2
=
R(t) arcsinr1 si k=1 R(t)r1 si k=0 R(t)argshr1 si k = -1
Donc siR(t)croît avec t,dt(0, r1)croît de la même façon, et de même pour toute distance dans l’Univers.
Le facteur d’échelle est donc le facteur d’expansion. Ainsi la vitesse propre de fuite des galaxies est donnée par
Vt= ˙dt(0, r1) = ˙R(t) Z r1
0
√ dr
1−kr2 = R(t)˙
R(t)dt(0, r1) =H(t)dt(0, r1) oùH = RR˙ est appelé paramètre de Hubble (ou improprement “constante” de Hubble).
Intéressons-nous aux géodésiques de l’espace-temps de genre lumière (ds2 = 0). On suppose qu’il n’y a pas de mouvement angulaire donc
c2dt2= R(t)2dr2 1−kr2 On a alors
dr dt =c√
1−kr2 R(t) Supposons queR(t)→0, alors
R(t)lim→0
dr dt = +∞
3.3. MATIÈRE, ÉNERGIE ET DYNAMIQUE DE L’UNIVERS 27
Cette singularité lorsque on remonte dans le passé est appelée ironiquement Big-Bang. En réalité cette limite est fausse car elle est déduite de calculs purement relativistes. Or en remontant si loin dans le passé, la reduction des distances est telle, qu’on ne peut plus appliquer la relativité générale, mais une théorie l’unifiant à la mécanique quantique, théorie qui nous est inconnue. Cet instant où la relativité générale seule ne s’applique plus, porte le nom de mur de Planck et se situe à t~ = 10−43 s de l’instant 0 de la limite précédente. Le Big-Bang en tant que tel n’a donc aucun sens physique, c’est le résultat de l’application d’une théorie en dehors de son domaine de validité.
3.3 Matière, énergie et dynamique de l’Univers
Il nous faut maintenant un moyen théorique de déterminerR(t)etk. Nous savons que sur de très grandes distances l’Univers est homogène, regardé de loin il est empli uniformément de matière. L’ensemble peut être considéré comme un fluide parfait. Soit P(t)et ρ(t) respectivement la pression et la densité de masse par unité de volume de ce fluide de galaxies. Les équations d’Einstein de la relativité générale (que l’on ne donnera pas dans le cas général ici), se réduisent alors à
R¨
R =−4πG 3
ρ+3P
c2
+Λ 3 R˙
R
!2
=8πG 3 ρ+Λ
3 −kc2 R2
dites équations de Friedmann. On introduit aussi la somme de ces deux équations 2R¨
R + R˙ R
!2
+kc2
R2 −Λ +8πG c2 P = 0
dite équation de Raychandhuri. Ces équations gouvernent la dynamique de l’Univers.
Gest la constante de gravitation universelle, etΛest appelée constante cosmologique. Son rôle est d’éventuel- lement “fournir” de l’énergie pour accélérer ou ralentir l’expansion de l’Univers. Les observations montrent que l’expansion de l’Univers accélérée et donc queΛ>0. La forme d’énergie qui est responsable de cela nous est totalement inconnue, on l’appelle donc énergie noire (et parfois quintessence car elle serait une cinquième force fondamentale). On se placera néanmoins le plus souvent dans le cadre oùΛ = 0.
Considérons la première équation de Friedmann R¨=−4πG
3
ρ+3P c2
R
Pour la matière baryonique (matière ordinaire), on aρ+ 3P/c2>0, et par conséquentR <¨ 0. Actuellement R >˙ 0. On en déduit que la fonctionR(t)est concave. Une étude mathématique des équations de Friedmann montre que pour k = 0 (Univers plat) R(t) a une croissance logarithmique (limt→+∞R(t) = 0), pour˙ k=−1 on a une croissance continue, et pourk = +1l’expansion se ralentie jusqu’à l’arrêt, puis l’Univers se contracte.
R(t)
Big−Crunch t
Big−Bang
k=0
k=1 k=−1
Reste à déterminerk. De la seconde équation de Friedmann, on tire
On poseρcrit(t) = 3H(t)8πG2 la densité critique. On a alors
ρ > ρcrit ⇐⇒ k= 1 ρ=ρcrit ⇐⇒ k= 0 ρ < ρcrit ⇐⇒ k=−1
Ainsi en mesurant la vitesse d’expansion et la densité de masse de l’Univers, et en la comparant à la den- sité critique, on peut déterminer le paramètre de courbure. Ainsi si la densité de matière est faible l’Univers est plat ou hyperbolique, par contre pour une forte densité de matière, l’Univers est sphérique.
Pour être plus précis sur l’évolution du facteur d’échelle en fonction du temps, on a besoin de considérer l’équation d’état du fluide cosmiqueP =βρc2oùβest une constante caractéristique de ce fluide, déterminée par ses caractéristiques thermodynamiques. On montre que dans l’hypothèse d’un Univers plat (avecΛ = 0), que les équations de Friedmann conduisent à
ρ∝ 1
R3(β+1) R(t)∝t3(β+1)2
Ainsi dans un Univers dominé par le rayonnement (caractérisé par β = 13), la densité de masse du fluide cosmique se dilue enR14, alors que dans un Univers dominé par la matière froide (β = 0), le densité du fluide se dilue comme R13. On voit donc que le rayonnement se dilue “plus vite” que la matière. Réciproquement, en s’approchant du Big-Bang, la densité de rayonnement diverge “plus vite” que la densité de matière.
Ceci conduit à supposer l’existence de deux régimes dynamiques dans l’expansion, au début de son histoire l’Univers est dominé par la rayonnement et l’expansion est telle queR(t)∝t1/2, puis la matière froide devient dominante et l’expansion satisfaitR(t)∝t2/3. Les calculs dans le cas des autres courbures conduisent à des résultats similaires.
Deuxième partie
Aspects quantiques de la physique des
particules
Chapitre 4
Fondements de la mécanique quantique
4.1 Les postulats
4.1.1 États et observables
La pratique de la physique suppose l’intervention de deux entités, le système physique étudié, et l’observa- teur qui l’étudie. La modélisation d’une théorie physique doit donc faire intervenir des objets qui caractérisent ces deux entités. Le système physique va être caractérisé par desétats, c’est à dire des quantités mathé- matiques décrivant les propriétésintrinsèques du système. L’intervention de l’observateur, qui effectue des mesures sur le système, va être caractérisée par desobservables, c’est à dire des quantités mathématiques qui vont décrire les résultats des mesures effectuées sur le système en fonction de l’état de celui-ci. Par exemple en mécanique classique, si l’on ne considère qu’une particule, celle-ci sera caractérisée par sa posi- tion dans l’espace et par son impulsion :(x, y, z, px, py, pz), un état est donc un point deR6. Les observables seront alors des fonctions deR6qui évaluées en un point donnent le résultat d’une mesure sur une particule caractérisée par ce point. Les notions d’observable et d’état sont souvent confondues en mécanique classique du fait que la position et l’impulsion sont aussi des observables : l’observable position suivant l’axexest la fonctionfx telle quefx(x, y, z, px, py, pz) =x, ce que l’on interprète par “si on mesure la position (action de l’observable fx) de la particule qui se trouve dans l’état (x, y, z, px, py, pz) le résultat de la mesure sera x”.
Un autre exemple est l’observable énergie cinétique, qui est la fonctionEK(x, y, z, px, py, pz) = p
2 x+p2y+p2z
2m ;
(métant la masse de la particule).
4.1.2 Expérience des trous d’Young
Afin établir la structure du modèle de la mécanique quantique, considérons l’expérience des trous d’Young.
On dispose d’une source émettant une particule à la fois, envoyée sur écran percé de deux trous. Les particules heurtent ensuite un écran qui fait apparaître une tâche au niveau du point d’impact, mesurant ainsi la position des particules après le passage des trous.
On observe que les points d’impact se répartissent aléatoirement sur l’écran tout en formant une figure d’interférences caractérisée par des franges sombres (peu d’impacts) et des franges brillantes (beaucoup d’impacts). Si on bouche l’un des trous, les impacts se répartissent toujours de façon aléatoire mais sans reproduire de figures d’interférences.
Interprétation :
1. la figure d’interférences étant caractéristique d’un phénomène ondulatoire, on en déduit que les particules ne sont pas que des objets ponctuels mais qu’elles sont associées à une onde, c’est la dualité onde-corpuscule de Broglie. L’état d’une particule sera donc caractérisé par une fonction d’ondeψ(x, y, z).
2. les impacts se répartissant suivant un processus aléatoire, on en déduit que la mesure de la position des particules est gouvernée par une loi de probabilité associée à la figure d’interférences. Il existe donc une loi de probabilitéρ(x, y, z)telle queρ(x, y, z)dxdydzsoit la probabilité de trouver la particule dans une cube de volumedxdydzdont l’un des sommets se trouve au point (x, y, z). Ou en d’autres termes, siD ⊂R3 est une région de l’espace, alorsRRR
Dρ(x, y, z)dxdydzest la probabilité de trouver la particule dans cette région.
3. soitψ1 la fonction d’onde de la particule lorsqu’elle passe par le trou 1 sachant que le trou 2 est bouché, et ψ2 la fonction d’onde dans le cas réciproque. Lorsque aucun des trous n’est bouché, la présence de la figure d’interférences induit que la fonction d’onde n’est niψ1 ni ψ2 maisψ ∝ψ1+ψ2 (il faut deux sources d’ondes — les trous — pour produire des interférences). Les particules étant émises une à une, on en déduit qu’une unique particule se trouve dans un état où elle est passée à la fois par le trou 1 et par le trou 2, c’est une superposition d’états (ou un chat de Schrödinger). On en déduit donc que l’espace des états a une structure d’espace vectoriel (puisque l’on doit pouvoir additionner deux états).
4. soitρ1 la loi de probabilité associée àψ1,ρ2 celle associée àψ2; etρla densité de probabilité associée à ψ∝ψ1+ψ2. On doit avoirρ(x, y, z) = ρ1(x, y, z) +ρ2(x, y, z) + 2 cos(χ12(x, y, z))où le terme cos(χ12) est la modulation nécessaire pour décrire la figure d’interférences. La présence de ce terme est typique de la structure du corps des nombres complexes : ∀z1, z2 ∈C, |z1+z2|2 =|z1|2+|z2|2+ 2 cos(arg(z1z2)).
L’espace vectoriel des états est donc construit sur le corpsC.
En combinant tous ces points, on en déduit qu’un état d’une particule est une fonction ψ de l’espace à valeurs dans C telle que ρ(x, y, z) = R |ψ(x,y,z)|2
R3|ψ(x,y,z)|2dxdydz soit la densité de probabilité de présence de la particule. On doit donc avoirR
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz <∞.D’où
Postulat 1 (Espace des états). L’espace des états d’un système régi par la mécanique quantique est repré- senté par un espace de Hilbert, c’est à dire unC-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien (i.e.
linéaire à droite et anti-linéaire à gauche)1.
L’espace de Hilbert en question étant pour une particule :H=L2(R3, dxdydz)l’espace des fonctions de R3 (l’espace physique) à valeurs dansCet de carré intégrable2, c’est à dire telles queR
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz <
∞. La fonction ψ ∈ L2(R3, dxdydz) est interprétée comme l’amplitude de probabilité de présence de la particule, ainsi la probabilité de trouver la particule dans une portion Ω de l’espace est égale à P(Ω) = R
Ω|ψ(x, y, z)|2dxdydz si on a normalisé la fonction d’onde, i.e. R
R3|ψ(x, y, z)|2dxdydz= 1. Le produit sca- laire dansL2(R3, dxdydz)est
hψ|φi= Z
R3
ψ∗(x, y, z)φ(x, y, z)dxdydz
Reprenons l’expérience des trous d’Young, mais cette fois avec un détecteur de particules au niveau du trou 1. On sait à quel instant la source émet une particule si bien que si le détecteur donne une réponse positive, on sait que la particule est passée par le trou 1, sinon, on sait qu’elle est passée par le trou 2. Il n’y a donc que deux états “fondamentaux” par rapport à cette expérience, l’état dans lequel la particule est passée par le trou 1 que l’on va noté|1i, et |2il’état pour lequel elle est passée par le trou 2. L’espace de Hilbert est donc simplementC2, et du fait de la superposition d’états, on peut avoir un état|ψi=α|1i+β|2i tel que|α|2+|β|2= 1. Le produit scalaire est défini dans ce cas par
∀|ψi= ψ1
ψ2
,|φi=
φ1
φ2
∈C2, hψ|φi= ψ∗1 ψ∗2 φ1
φ2
=ψ1∗φ1+ψ2∗φ2
On place la source de telle sorte qu’il y ait “classiquement” une chance sur 3 pour que la particule passe par le trou 1 et 2 chances sur 3 pour qu’elle pas par le trou 2. Conformément aux résultats précédents, on a donc|ψi=√13|1i+q
2 3|2i.
Résultat de l’expérience : on mesure dans1/3 des cas une particule passant par 1 et dans2/3des cas une particule passant par 2, et sur l’écran final, on n’observe pas de figure d’interférences. Si on change les coefficients de la superposition d’états, les lois de probabilités changent en conséquence, ainsi si on fait en sorte de mettre la source de telle sorte que la particule ne puisse passée que par le trou 1, le détecteur donnera une réponse positive à chaque fois, et négative à chaque fois si on fait en sorte que la particule ne passe que par le trou 2.
Interprétation :
1. l’absence de figure d’interférences indique que le fait de mesurer la position de la particule à la sortie des trous a détruit la superposition d’états.
2. les statistiques des mesures de passage par un trou ou l’autre correspondant à la loi de probabilité de la superposition d’états, on en déduit que le fait de mesurer par quel trou passe la particule projette l’état de celle-ci soit sur|1isoit sur|2isuivant une processus aléatoire telle queP(1) =|h1|ψi|2etP(2) =|h2|ψi|2.
1. il faut de plus que l’espace soit complet pour la topologie induite par le produit scalaire, cette question de la complétude topologique dépasse le cadre de ce cours, nous n’en dirons donc plus rien
2. modulo une relation d’équivalence dont on ne dira rien ici
