Physique des Particules - TD4

UGA - Master 2 Physique Subatomique et Astroparticules P. del Amo S´anchez et I. Schienbein

Physique des Particules - TD4

Probl`eme 1

Consid´erez un processus1 + 2→3 + 4. On d´efinit les variables de Mandelstams,t,etupar : s = (p1+p2)² = (p3+p4)²

t = (p₁−p₃)² = (p₂−p₄)² u = (p1−p₄)² = (p2−p₃)². (i) Montrez ques+t+u=P4

i=1m²_i, o`umiest la masse de la particulei.

(ii) Calculez toutes les ´energiesE_i^Let impulsions~p^L_i dans le syst`eme du laboratoire en les exprimant parsett.

(iii) Calculez l’angle de diffusion dans le laboratoirecosθL. Probl`eme 2

Consid´erez un processus1 + 2→3 + 4dans le syst`eme du centre de masse (CMS).

(i) Calculez les ´energiesE_i^∗des particules individuelles, ainsi que leurs impulsionsp^∗_i ≡ |~p^∗₁|=|~p^∗₂| etp^∗_f ≡ |~p^∗₃^′|=|~p^∗₄^′|. Determinez le comportement asymptotique(s≫m²_i)de ces expressions.

(ii) Montrez que l’angle de diffusionΘ^∗est donn´e par

cos Θ^∗ = s(t−u) + (m²₁ −m²₂)(m²₃−m²₄) pλ(s, m²₁, m²₂)p

λ(s, m²₃, m²₄) avec la fonction de triangleλ(a, b, c) = a²+b²+c²−2ab−2ac−2bc.

(iii) En utilisant le domaine de validit´e de l’angle de diffusion determinez t_min ett_max. Calculez la valeur asymptotique (s ≫ m²_i) detmin pour le cas g´en´eral de masses diff´erentes (mi 6= mi^′) et pourm2 =m4.

(iv) Trouvez la relation entre les variables cin´ematiquesE1,E2,p~1 et~p2dans le syst`eme du labora- toire et le CMS.

Probl`eme 3

Montrez que dans le CMS :

F ≡ 4 q

(p1·p2)²−m²₁m²₂ ^CM= 4p^∗_i√ s dΦ2 ≡ (2π)⁴δ⁽⁴⁾(p1+p2−p3−p4) d³p3

(2π)³2E₃

d³p4

(2π)³2E₄

CM= 1 4π²

p^∗_f 4√sdΩ^∗ o`udΩ^∗ =dΩ3 =dΩ4est l’angle solide autour de~p3resp.~p4.

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Probl`eme 4

Consid´erez une d´esint´egration non-polaris´ee `a trois corpsp→p<sub>1</sub>+p2+p3, par exemple la d´esint´egration β d’un muonµ<sup>−</sup> →e<sup>−</sup>+ ¯νe+νµ. Dans le syt`eme de repos du muon, calculez l’espace de phase `a trois particules en utilisantmµ≫me,ν, c.`a.d. montrez que

Φ3 = 1 32π³

Z ^mµ

2

0

dE1

Z ^mµ

2

mµ 2 −E₁

dE3.

Probl`eme 5

Montrez que l’unitarit´e de la matriceS,SS^†= 1, implique les relations suivantes : a) Tf i−T_if^∗ =i(2π)⁴P

n

δ⁽⁴⁾(ℓf −ℓn)Tf nT_in^∗.

b) Pouri=f, c.`a.d. la diffusion ´elastique en avant(θ = 0)avec 2 particulesaetbdans l´etat initial i,

ImMii = q

λ(s, m²_a, m²_b)σtot

(Th´eor`eme optique).