UTBM - MT12 - le 5 Novembre 2007
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels sur C avec dimCE = 2 et dimCF = 3. Peut- on trouver une application lin´eaire injective de E dans F qui ne soit pas surjective ? Justifier.
[ oui. Si {a1, a2} et une base de E et {b1, b2, b3} est une base de F, il suffit de consid´erer l’application lin´eaire qui envoie a1 sur b1 et a2 sur b2.]
ii) Peut-on trouver une famille F = {f1, f2, f3} de R3 telle que {f1, f2}, {f2, f3} et {f1, f3} soient toutes les trois libres et F soit li´ee ? Justifier.
[ oui. Par ex. {a1 =
1 0 0
, a2 =
0 1 0
, a3 =
1 1 0
}. On constate que 2 `a 2 les vecteurs ne sont pas colin´eaires et a1 +a2 =a3 donc la famille n’est pas libre.]
iii) Soit F = vect{
1 0 0
,
0 1 0
,
1 2 3
} et G = vect{
0 0 1
,
1 2 0
,
1 2 4
},
sous-espaces vectoriels de R3. Quelle est la dimension de F ∩G? Justifier.
[ On v´erifie facilement que {
1 0 0
,
0 1 0
,
1 2 3
} est libre donc F = R3
donc G⊂ F donc F ∩G= G. Or 4.
0 0 1
+
1 2 0
=
1 2 4
} donc dim(G) = 2.]
iv) D´eterminer,sans calculs fastidieux pour ne pas perdre de temps, `a quelles condi- tions sur m∈R
det
m2+ 1 1 m2 m2+ 2 1 m2+ 1 m2+m−1 m2−3 m+ 2
= 0.
[la premi`ere colonne ´egale la somme des deux autres donc le d´eterminant est nul.]
1
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soient les vecteurs de R3 :
u=
a a−1
a
, v=
a 1−a
a
.
1. A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur a ∈ R, les vecteurs u, v sont-ils ind´ependants ?
[Deux vecteurs sont li´es ssi ils sont colin´eaires. Si a = 0, ils sont colinaires.
Si a 6= 0, ces 2 vecteurs sont ind´ependants ssi a−1 6= 1−a. La condition est donc a 6= 0,1]
2. Dans le cas o`u u et v sont ind´ependants, trouver un vecteur w ∈ R3 telle que la famille β ={u, v, w} soit une base de R3.
[ On v´erifie facilement qu’en compl´etant avec
1 0 0
, on a une famille libre, il suffit de calculer le d´eterminant par exemple.]
3. Quelles sont les coordonn´ees de X =
3.a a−1
3.a
dans β?
[ On a X = 2.u+v donc Xβ =
2 1 0
.]
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Exercice 3 (8 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit C ={c1 =
1 0 0
, c2 =
1 0 0
, c3 =
0 0 1
} la base canonique de R3 Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par
f : R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
avec A=
1 1 0 0 2 0
−2 2 3
.
1) Soit B={b1 =
1 0 1
, b2 =
1 1 0
, b3 =
0 0 1
}, une la base de R3. Donner les coordonn´ees dans B des vecteurs f(b1), f(b2), f(b3).
[f(b1) =
1 0 1
donc f(b1)B =
1 0 0
,f(b2) =
2 2 0
donc f(b2)B =
0 2 0
,
f(b3) =
0 0 3
donc f(b3)B =
0 0 3
.]
2
2) En d´eduire la matrice D=Mf,B de f relativement `a la base B.
[Donc D =
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.]
3) SoitP la matrice de M3(R)la matrice de passage de la base canonique `a la base B.
P est la matrice telle que
∀V ∈R3, coordC(V) =P.coordB(V).
Montrer que P est inversible et d´eterminer son inverse.
[Donc P =
1 1 0 0 1 0 1 0 1
. det(P) = 1 donc P est inversible. On trouve
facilement P−1 =
1 −1 0
0 1 0
−1 1 1
]
4) V´erifier que A=P.D.P−1.
5) Calculer D2, D3 et trouver une expression de Dn pour n ∈ N∗ en fonction de n (justifier).
[Donc Dn =
1 0 0 0 2n 0 0 0 3n
.]
6) En d´eduire une expression en fonction de n de An.
(on commencera par exprimer An en fonction de P, D et n, puis on remplacera) [Donc An =P DnP (r´ecurrence). On remplace ensuite pour trouver
An =
1 −1 + 2n 0
0 2n 0
1−3n −1 + 3n 3n
.]
3
