CPGE 1 ; Khôlle N° 4 (limite, continuité)
1. Calculez la limite lim𝑥→+∞ 𝑥2+ 1 − 2𝑥
2. Déterminer la nature de la branche infinie , au voisinage de +∞ , de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 2𝑥²+3𝑥+1
𝑥 −1
3. Soit la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑥²+ 𝑥
𝑥²− 𝑥 ; Déterminer son ensemble de
définition , exprimer 𝑓(𝑥) sans la valeur absolue ; étudier la continuité de 𝑓 sur ℝ 4. La fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥² cos(1
𝑥) est-elle prolongeable par continuité en 0 ? 5. On admet que lim𝑥→0ln (1+𝑥)
𝑥 = 1 ; déduire lim𝑥→+∞𝑥 ln(𝑥+1
𝑥 ) 6. Résolution de l’équation − 𝑥
𝑥+1+ ln(𝑥 + 1) = 1 par la méthode analytique (on admet que :lim𝑥→−1+− 𝑥
𝑥+1+ ln(𝑥 + 1) − 1 = +∞ )
1. Calculez la limite lim𝑥→+∞ 𝑥2+ 𝑥 + 1 + 1 − 𝑥
2. Déterminer la nature de la branche infinie , au voisinage de +∞ , de la fonctions définies par : 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 2𝑥
3. Soit la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑥²
𝑥 −1
Déterminer son ensemble de définition ; exprimer 𝑓(𝑥) sans la valeur absolue ; étudier la continuité de f sur ℝ
4. On admet que lim𝑥→0ex−1
𝑥 = 1 ; déduire lim𝑥→+∞𝑥 (e1x− 1)
5. Résolution de l’équation 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥 − 1 = 0 par la méthode analytique
1. Calculez la limite lim
𝑥→−∞ 9𝑥²+1
𝑥
2. On pose 𝑓 𝑥 = 𝑥3−𝑥²−𝑥+3
𝑥−1
Déterminer la nature de la branche infinie , au voisinage de +∞
Justifier que pour tout réel 𝑥, on a : 𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥2− 1 + 2 Que peut-on en déduire ?
3. Soit la fonction définie par : , 𝑓 𝑥 = 𝑥²− 1 ;
Déterminer son ensemble de définition ; exprimer 𝑓(𝑥) sans la valeur absolue ; étudier la continuité de 𝑓 sur ℝ
4. La fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑥+4−2
𝑥 est-elle prolongeable par continuité en 0 ? 5. Calculer la limite en +∞ de la fonction définie par : 𝑓 𝑥 = 𝑥3(2 + cos x)
6. Résolution de l’équation 𝑥 + 2 𝑒𝑥−1 = 1 par la méthode analytique
