Biologie et Mod´elisation - Introduction
Biologie et Mod´
elisation
Introduction
Automne 2009
S. Mousset
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Table des mati`
eres
1
La mod´
elisation en biologie.
2
Sujets abord´
es durant le cours
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Pourquoi la mod´
elisation ?
La notion de mod`
eles ´
emerge en biologie dans les ann´
ees
1960-70.
La mod´
elisation est devenue une ´
etape cl´
e de la recherche en
biologie.
La mod´
elisation permet de mener une d´
emarche exp´
erimentale
rigoureuse.
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Qu’est-ce qu’un mod`
ele ?
Une repr´
esentation de certains aspects d’un objet ou d’un
ph´
enom`
ene du monde r´
eel.
Utilisant un syst`
eme symbolique :
´
equation math´
ematique
syst`
eme informatique (langage de programmation, base de
donn´
ees. . . )
repr´
esentation g´
eom´
etrique (courbes, surfaces, cartes. . . )
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Quelques mod`
eles que vous avez peut-ˆ
etre d´
ej`
a
rencontr´
es
En biologie :
G´
en´
etique formelle : disjonction des all`
eles, lois de Mendel.
Enzymologie : cin´
etique enzymatique. . .
G´
en´
etique des populations : ´
evolution des fr´
equences
all´
eliques. . .
Biologie mol´
eculaire : interpr´
etation des ´
eletrophor`
eses. . .
et bien d’autres encore. . .
En physique lors de vos ´
etudes secondaires :
M´
ecanique : pendules, ressorts. . .
´
Electronique : circuits LC, RLC. . .
et bien d’autres encore. . .
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Comment ´
elaborer un mod`
ele ?
La mod´
elisation est la d´
emarche qui permet l’´
elaboration d’un
mod`
ele. Cette ´
etape prend en compte :
L’objet et/ou le ph´
enom`
ene `
a repr´
esenter.
Le syst`
eme formel choisi.
Les objectifs du mod`
ele.
Les donn´
ees (relatives aux variables) et connaissances
(relations entre les variables) disponibles ou accessibles par
l’exp´
erience ou par l’observation.
Biologie et Mod´elisation - Introduction La mod´elisation en biologie.
Le travail du mod´
elisateur
Le travail du mod´
elisateur d´
epend de la situation biologique et du
syst`
eme formel choisi. Les tˆ
aches `
a effectuer sont g´
en´
eralement :
Formalise le probl`
eme ≈ ´ecrire le mod`ele.
Manipuler le mod`
ele pour le rendre plus utilisable et ´
etudier
ses propri´
et´
es.
´
Etablir des relations avec d’autres repr´
esentations (graphes,
programmes informatiques. . . ).
Interpr´
eter le mod`
ele et confronter les r´
esultats du syst`
eme
formel avec des donn´
ees r´
eelles (issues de l’exp´
erimentation).
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Table des mati`
eres
1
La mod´
elisation en biologie.
2
Sujets abord´
es durant le cours
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles continus
Plan d´
etaill´
e
2
Sujets abord´
es durant le cours
Mod`
eles continus
Mod`
eles discrets
Mod`
eles stochastiques
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles continus
Mod`
eles continus : EDO dans R
Pour ce cours nous nous int´
eresserons `
a la mod´
elisation de
syst`
emes dynamiqes `
a l’aide d’´
equations diff´
erentielles ordinaires :
Outil math´
ematique simple.
Permettant d’appr´
ehender des ph´
enom`
enes vari´
es.
Analyse et interpr´
etation des r´
esultats ais´
ees.
Le plus souvent, nous essaierons d’illustrer le cours `
a l’aide
d’exemples biologiques et/ou concrets.
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles discrets
Plan d´
etaill´
e
2
Sujets abord´
es durant le cours
Mod`
eles continus
Mod`
eles discrets
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles discrets
Mod`
eles discrets
Dans une deuxi`
eme partie du cours nous nous int´
eresserons aux
mod`
eles discrets.
Lien EDO / suites (mod`
eles continus / mod`
eles discrets)
Mod`
eles de Leslie.
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles stochastiques
Plan d´
etaill´
e
2
Sujets abord´
es durant le cours
Mod`
eles continus
Mod`
eles discrets
Biologie et Mod´elisation - Introduction Sujets abord´es durant le cours
Mod`eles stochastiques
Mod`
eles stochastiques
La derni`
ere partie du cours s’int´
eressera `
a des mod`
eles
stochastiques.
Intervention du hasard.
Pr´
edictions en termes de probabilit´
e.
Simulations.
Biologie et Mod´elisation - Introduction Les outils math´ematiques `a connaˆıtre.
Table des mati`
eres
1
La mod´
elisation en biologie.
2
Sujets abord´
es durant le cours
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La r´
esolution des EDO simples
La r´
esolution des EDO lin´
eaires d’ordre 1 est au programme de TS.
Adresse utile : http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/
Biologie et Mod´elisation - Introduction Les outils math´ematiques `a connaˆıtre.
La notion de voisinage
Lors de l’analyse qualitative des EDO, nous nous placerons souvent
au “voisinage” d’un point particulier. Dans R, un voisinage V
x
0d’un
point x
0
doit avoir les propri´
et´
es suivantes :
V
x
0est un intervalle continu
x
0
∈ V
x
0∃ ∈ R
+∗
|
]x
0
− ; x
0
+ [
⊂
V
x
0.
On consid`
erera tr`
es souvent un voisinage de x
0
pour lequel est
tr`
es petit.
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La notion de diff´
erentielle
D´
efinition
Si g est une fonction de x , on
appelle “diff´
erentielle de g” la
quantit´
e
dg =
dg
dx
dx .
Exemple
g(x ) = ln x
⇒
dg =
1
x
dx
La quantit´
e dg repr´
esente la variation de g relative `
a une variation
de x , dx (diff´
erentielle de x ).
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La formule de Taylor
Soit f une fonction continue et d´
erivable n fois dans un voisinage
V de a, alors dans ce voisinage V f (a + x ) peut s’´ecrire
f (a + x )
=
n
X
k =0
x
k
k !
f
(k )
(a)
+
1
n!
Z
a+x
a
f
(n+1)
(t )t
n
dt
|
{z
}
o(x
n−1
)
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Les d´
eveloppements limit´
es d’ordre n
Un d´
eveloppement limit´
e d’ordre n au voisinage du point a se
d´
eduit de la formule de Taylor.
f (a + x ) = f (a) + xf
0
(a) + . . . +
x
n
n!
f
(n)
(a) + o(x
n
)
Le plus souvent, nous nous limiterons au d´
eveloppement limit´
e
d’ordre 1, c’est `
a dire de la tangeante `
a la courbe repr´
esentative de
f au point x = a. C’est ce que nous appellerons “la lin´
earisation”.
Biologie et Mod´elisation - Introduction Les outils math´ematiques `a connaˆıtre.
Un peu d’alg`
ebre lin´
eaire
Dans la partie du cours consacr´
e aux syst`
emes discrets
Calcul matriciel simple
Biologie et Mod´elisation - Introduction Les outils math´ematiques `a connaˆıtre.
