Algèbre tensoriel X3PM040 Anisotropie et composites M2 Mécanique et Fiabilité des Structures

(1)

Marc François

Algèbre tensoriel

X3PM040 Anisotropie et composites

M2 Mécanique et Fiabilité des Structures

(2)

0 Rappels de conventions du

calcul indiciel

(3)

0.1 Convention d’Einstein

Tout indice répété deux fois est un indice muet, sommé.

Tout indice n’apparaissant qu’une fois est un indice franc, non

sommé.

Les deux peuvent cohabiter :

Un indice ne peux pas apparaitre plus de deux fois

<latexit sha1_base64="LNKlY00FohWf7B39gbZf28jepvE=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="MrwPgEU/lraQT3+xDxq/X4rGrnk=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="0/qbSWEd+hwWXTQAtw6AjNTlQy0=">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</latexit>

(4)

0.2 Symbole de Kronecker δ

Définition :

Ex. l’ identité du second ordre I a pour composantes

Ex. une base est orthonormée si :

ij

⇢

= 1 si i = j

= 0 si i 6= j

~e

_i

.~e

_j

=

_ij

<latexit sha1_base64="v/NUcNu9SO35h7YZa+BCrofVYzI=">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</latexit> <latexit sha1_base64="AlsNehkbsQtmUb+IREzEnEQtXaQ=">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</latexit>

(5)

0.3 Symbole de Levi-Civita

Le symbole de Levi-Civita (ou de permutation circulaire) :

Il sert pour le produit vectoriel, le déterminant,

le rotationnel…

Remarque

Nous verrons que ces 3 conventions sont associées au calcul

tensoriel, plus précisément au principe d’objectivité.

⇧

_ijk

_{= 1 si (i, j, k) 2 {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}}

=

_{1 si (i, j, k) 2 {(1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3)}}

= 0 sinon

(6)

(7)

1.1 Définition

Wikipedia

Un tenseur est un objet très général, défini intrinsèquement à

partir (…) de l'espace euclidien, généralement tridimensionnel

(…) et qui ne dépend pas d'un système de coordonnées

particulier.

Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant

du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup

de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes

de coordonnées choisis.

Principe d’objectivité

Un calcul physique ne peut pas dépendre de la base choisie

pour le calcul (c.a.d. l’observateur).

(8)

1.2 Produit tensoriel, base canonique

Soit une base orthonormée de l’EV. Un tenseur générique A

s’écrit comme :

— désigne l’objet tenseur, indépendamment de toute base

— ⊗ est le produit tensoriel

— chaque indice varie entre 1 et le nombre de 

dimensions n

— le nombre d’indices p est l’ordre du tenseur

~e

_i

(i, j, k, · · · )

A

(9)

1.4 Composantes en base canonique

On écrit les composantes dans une table ; on indique de

préférence la base sil y a a plusieurs.

Vecteurs :

Tenseur du second ordre :

Tenseurs d’ordre supérieur (peu adapté…) :

Ne pas confondre le tenseur avec la matrice (notation à

éviter) de composantes .

~u



u

₁

u

_{2 {~e}

i

}



11

12

21 _{22 {~e}

i

⌦~e

j

}



A

₁₁₁

A

₁₁₂

A

₁₂₁

A

₁₂₂

A

ij

<latexit sha1_base64="SueHIAqRUqvCzwcrrIb1SAF3BdA=">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</latexit>

(10)

1.5 Exemples de tenseurs connus

Le vecteur déplacement

(vecteur=tenseur du premier ordre).

Il dépend du vecteur position et

du temps :

c’est un champ de vecteurs.

Le tenseur des petites déformations est un tenseur du

second ordre :

de composantes :

Par construction il est symétrique :

~

X

t

"

_ij

= "

_ji

~u = u

_i

~e

_i

u

_i

( ~

X, t)

<latexit sha1_base64="UP2cFzhnmfuhht/FL9MQZCR9zqc=">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</latexit> <latexit sha1_base64="I6ve6K2Np4Acd3BgB/9yUPtma7Y=">AAAMLXicpVZLb9NAEJ4WCqXh0cKRi0WExCly+qS3PlK1UQ8NSpq26ku2s0mtOnbkR2gV5c6VK/wIfg0HJMQV+BfMjNdRaJ2sKbYSz87ON7Mzszs7Zsexg1DXv01M3rs/9eDh9KOZ3OMnT5/Nzj2vB17kW2Lf8hzPPzSNQDi2K/ZDO3TEYccXRtt0xIF5uUnzB13hB7bn1sLrjjhtGy3XbtqWESLr4KQrrN5h/3w2rxeKC8WFxSVNL6yuri6vrCChzy8szy9qxYLOTx7kU/Hmpj7ACTTAAwsiaIMAF0KkHTAgwPcYiqBDB3mn0EOej5TN8wL6MIPYCKUEShjIvcT/Fo6OJdfFMekMGG2hFQd/PiI1eI0YD+V8pMmaxvMRaybuKN091klru8avKXW1kRvCBXJVuEQyK458CaEJb9kHG33qMIe8s6SWiKNCK9eGvApRQwd5RDdw3kfaYmQSZ40xAftOsTV4/hdLEpfGlpSN4DevcgbtaVBjbiBjFbCFCP8X8UcRbrAO8snF73uObZu9dXGuh/xNXDt9kwiY+PaY21fg9hRIn9eWjq6kYiuZsNVUbFW54nIqrqzElVJxJSVuNxW3q8QdpeKOlLgK7IyM6tkQ10eqx7Iqfemep+tL4jFuVwa88z22kHV/VjFD23IdJleOxuDM04j4AZ6qFqNUPsXadv5B310iF1sp/ZcV9f7awkxUFTa6XE+olgVcmSj22fSqYpSu+S7Riu2popXVnjpu67d2dRPH60rcRipuI4N/abitDOdvHeNyu9o1M1fK2xWomakClVNOfnOoVtIZ35N3msE3WXLOPe4MLvDb4gxFcKU4KTdvEboBHa7ne0PWtmQ9oR0R35XjtNZG6KwpPd8egdzOkGWHTzLRFJEr7gVCzrQzqEzkSwn5TXyFzB3JCZRxZCUcl9HGjfXFe74xpL3Msjb3C5QRwf0FrYc6koB1hbIm+8ixeaSye476qQek3uc8ZQV5nOtn2pNnQ5rOFJrIn/qgW4r32LgcdLkbTSgLKaHMW31wPhOMPJnYQyeNsjaaqM8Xithqv9Pzaxuym56Gl/AK3qAfK7CG9a8C+9xHfoRP8Dn3Jfc19z33IxadnJCYF/DXk/v5B/0cbfU=</latexit> <latexit sha1_base64="9pepm0iHygrZvXvlKkQ6xVz8fFc=">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</latexit>

t

<latexit sha1_base64="SbHCYBz5c2bptVb56i6ZosmGgQk=">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</latexit>

(11)

1.6 Produit tensoriel de deux tenseurs

Le produit tensoriel a les propriétés classiques d’un produit,

sauf la commutativité.

On en déduit l’expression des composantes pour un produit

tensoriel de deux tenseurs :

Calcul pratique du produit tensoriel de deux vecteurs :

v

₁

v

₂

v

₃

~u

_{⌦ ~v =}

2

4 u

_u

1 ₂

v

_v

1 ₁

u

1 _.

v

2 .

_.

.

3

5

<latexit sha1_base64="Dzi/k0rfQVDZ/xCv40e59uXHsRU=">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</latexit> <latexit sha1_base64="W61lIhL+gCPWH+UUsavPMAI5RPs=">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</latexit> <latexit sha1_base64="WsYFH7fj0UjCA6hWeucVxD2/XV4=">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</latexit>

sous Matlab :

E = u’*u;

(12)

Le produit tensoriel associe à deux tenseurs d’ordre p et q le

tenseur d’ordre p+q.

On peut obtenir des tenseurs d’ordre plus élevé :

(13)

1.8 Simple contraction

L’opération de contraction revient à eﬀectuer un produit scalaire

entre les termes les plus proches :

La simple contraction de deux vecteurs

par distributivité du produit scalaire

correspond à leur produit scalaire.

~u.~v

=

(u

_i

~e

_i

).(v

_j

~e

_j

)

=

u

_i

v

_j

(~e

_i

.~e

_j

)

=

u

_i

v

_{j ij}

(14)

Simple contraction entre un tenseur du second ordre et un du

premier ordre (vecteur) :

Le calcul correspond à celui d’un produit matrice-vecteur. Le

résultat est un vecteur.

Ex. le tenseur identité identité contracté avec un vecteur

".~n

= "

_ij

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_j

).n

_k

~e

_k

= "

_ij

n

_k

~e

_i

(~e

_j

.~e

_k

)

= "

_ij

n

_k

~e

_{i jk}

".~n

= "

_ij

n

_j

~e

_i

(".~n)

_i

= "

_ij

n

_j

<latexit sha1_base64="TwQTuR9SHDm8QNOYWv6UrZG/rH4=">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</latexit>

(15)

Simple contraction entre deux tenseurs du second ordre :

est un tenseur du second ordre. Le les composantes de A.B sont

obtenu par le produit des matrices des composantes.

Simple contraction entre deux tenseurs d’ordre quelconque.

Le résultat s’obtient toujours en sommant les indices centraux.

P. ex. pour deux tenseurs du 4e ordre :

On remarque que la simple contraction de deux tenseurs d’ordre

n et m est un tenseur d’ordre n+m-2.

A.B = A

_ij

B

_kl

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_j

).(~e

_k

_{⌦ ~e}

_l

)

= A

_ij

B

_kl

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_l

)

_jk

= A

_ik

B

_kl

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_l

)

(A.B)

_il

= A

_ik

B

_kl

(16)

Exemple d’utilisation

Le tenseur des contraintes donne une relation linéaire entre

la force et l’élément de surface orienté :

On peut aussi écrire

ou

À cause de l’équilibre des moments c’est un tenseur symétrique.

Ses composantes ont un sens physique :

d ~

f = . ~

dS

=

d ~

f

~

dS

~n

d~

S = ~ndS

d ~

f

<latexit sha1_base64="R9QlfQDcAL5v2m8FpCTF8qFDkM0=">AAAMRXicpVZLb9NAEJ4WCqXhkcIRIUVESJwqByHBBamPVG3UQ4OSpq36iBx7nbp17MiP0srKiQt/hSv8CH4D/wAO3BBXmBmvo9A4WVNsJZ6d3e+bndnd2en0HTsINe3rzOyNm3O3bs/fWSjcvXf/QXHxYSvwIt8QO4bneP5eRw+EY7tiJ7RDR+z1faH3Oo7Y7ZytUf/uufAD23Ob4WVfHPX0rmtbtqGHqGoXnxwGdrent2P7dPDm0PJ1Izattj2IzUb7dNAulrUljZ/SuFCRQhnkU/cW5z7AIZjggQER9ECACyHKDugQ4HsAFdCgj7ojiFHno2Rzv4ABLCA2wlECR+ioPcP/LrYOpNbFNnEGjDbQioM/H5EleIYYD8f5KJO1EvdHzEzaSdwxc9LcLvHbkVw91IZwgloVLh2ZF0e+hGDBa/bBRp/6rCHvDMkScVRo5qURr0Jk6KOOZBP7fZQNRqZxLjEmYN8ptjr3f+ORpKW2IcdG8J1nuYD2StBkbSBjFbCFCP9f4o8ibDIH+eTi9x3HtsfeutgXo34N507fNAIdfGPWDhS4bQXS57llo+uZ2HoubCMT21DOuJaJqylx1UxcVYnbysRtKXH7mbh9Ja4OmxOjejyi9VGKeayKL9vzbL40HtN2ZcA732MLefdnA1doQ86jw5nDHJ55apE+wFPVZZTKp4Rt8x/4rhO5xEr1v6yo99c6rkRDYeOc8wnlsoAzE8U+H68qRtnM14lWYk8Vrbz21HFbGdvVFrZXlLjVTNxqDv+ycOs5zt8KxmU821m5M+V4BrJyZaBaxsm3RnIlnfFteafpfJOl59zjyuAEv11eoQguFCfl6i1CN6DD+Xx7xNq6zCe0I5K7chprcwJnU+n5xgTkRo5Vdvgkk0wRueBaIOSVdoaZiXypot7CV8i1o3ECxzgyE05bUfPK/JI9b46w13iszfUCrYjg+oLmQxVJwFyhzMk+amxuqey2kZ9qQKp92hkzKGPfINeePB5hOlYwkT+tYbWU7LFpa3DO1WgqGSgJ5bq1huczxciTiTV05WrFPC60XixVtKXKW628vCqr6Xl4DE/hOfrxCpYx/9VhB3nfw0f4BJ8LXwo/Cj8Lv5KhszMS8wj+egq//wBEjneV</latexit>

(17)

1.9 Double et n-contraction

On étend la règle des contractions de proche en proche. Le

nombre de «.» correspond au nombre de contraction.

La double contraction entre deux tenseurs du second ordre

correspond à leur produit scalaire :

Si ces tenseurs sont symétriques, on a aussi :

D’un point de vue pratique :

: " =

_ij

"

_ji

: " =

_ij

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_j

) : "

_kl

(~e

_k

_{⌦ ~e}

_l

)

def

=

_ij

"

_kl

(~e

_j

.~e

_k

)(~e

_i

.~e

_l

)

: " =

_ij

"

_ij

: " =

2

4

11 ₂₁

12 ₂₂

13 ₂₃

31

32

33

3 5 :

2

4 "

_"

11 ₂₁

"

_"

12 ₂₂

"

_"

13 ₂₃

"

₃₁

"

₃₂

"

₃₃

3

5

(18)

Un exemple pour des tenseurs d’ordre supérieur :

Un exemple de triple contraction :

Règle : si A et B sont d’ordres m et n alors la p-contraction  

A... (p fois)B est d’ordre m+n-2p. Il faut que m≥p et n≥p.

[A : . B]

ij

= A

ipqr

B

rqpj

(19)

Si on contracte n fois deux tenseurs d’ordre n on définit le

produit scalaire pour les tenseurs d’ordre n.

Ex. tenseurs des contraintes et des déformations (sym.).

L’énergie élastique :

La norme euclidienne d’un tenseur :

L’angle (attention, dans un espace à 9 dimensions…) entre les

deux tenseurs est :

1.10 Produit scalaire pour les tenseurs

"

W

_e

=

1

2 : " =

1

2 ij

"

ij

k k =

p : = p

ij ij

cos( , ") =

: "

k kk"k

(20)

Le produit scalaire avec les termes de base canonique donne les

composantes du tenseur :

Généralisation :

Cet algèbre tensoriel constitue une extension de l’algèbre

vectoriel.

Pour un vecteur

Pour un tenseur du

second ordre

si le tenseur est symétrique

<latexit sha1_base64="VKLBJElnLAlTGS8DkmPLzuAivAk=">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</latexit>

(21)

Exemples : le produit scalaire possède le même sens physique

que la simple contraction pour les vecteurs : il mesure la

contribution des deux éléments. Par exemple :

— la puissance, en 1D ou en 3D (mécanique point) :

— en mécanique du solide rigide

- la puissance volumique (mécanique des milieux continus)

: ˙" =

_ij

˙"

_ij

<latexit sha1_base64="30xCjLPhsSczQQwNq6W/3TZujKE=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="o0p9agBD0+pjVfSPURY+Uwfyihs=">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</latexit>

(22)

1.11 Applications : calculs intrinsèques

L’utilisation de l’opérateur ⊗ entre deux tenseurs permet

beaucoup de simplifications.

Exemple : comment calculer le tenseur correspondant à un

projecteur sur une direction donnée par u (normé) ?

On sait que, si alors

L’écriture intrinsèque associée est :

Elle ne dépend pas de la base. Donc, le projecteur sur une

direction u quelconque est :

~u = ~e

₁

P = ~e

₁

_{⌦ ~e}

₁

P

_[~

_u]

_{= ~u ⌦ ~u}

P

_ij

= u

_i

u

_j

P

_[~

_e

₁

_]

2

4 1 0 0

_{0 0 0}

0 0 0

3

5

(23)

Projecteur sur un plan :

Cas particulier du plan

Expression intrinsèque :

Symétrie par rapport au plan :

Cas particulier du plan

Expression intrinsèque :

~u

?

~e

?

₃

P

_[~

_e

?

3 ]

2

4 1 0 0

_{0 1 0}

0 0 0

3

5 P

_[~

_u

?

_]

= I ~u ⌦ ~u

P

_ij

=

_ij

u

_i

u

_j

~u

?

S

_[~

_u

?

_]

= I

2~u ⌦ ~u

S

_ij

=

_ij

2u

_i

u

_j

S

_[~

_e

?

3 ]

2

4 1 0

_{0 1}

0 ₀

0 0

1

3

5 ~e

?

₃

(24)

Tenseur des contraintes pour une traction selon

Cas particulier de la direction

Expression intrinsèque :

La méthode est bien plus rapide que de changer de base le

tenseur du cas particulier précédent…

~u

~e

₁

2

4 _{0 0 0}

0 0

0 0 0

3

5

<latexit sha1_base64="0t2D1VK9OUpzu8g/5UfuQLrEzoE=">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</latexit>

(25)

Déformation dans une direction

Cas particulier de la direction

Généralisation, pour normé :

Cette valeur correspond à l’allongement relatif ΔL/L mesuré

dans la direction

~u

~e

₁

"(~e

₁

) = ~e

₁

.".~e

₁

= " : (~e

₁

_{⌦ ~e}

₁

) = "

₁₁

"(~u) = ~u.".~u = " : (~u

_{⌦ ~u)}

"(~u) = u

_i

"

_ij

u

_j

~u

L

E.I.

~u

E.F.

L+ΔL

~u

(26)

Calcul d’une composante (ici la 11) d’un tenseur dans une

base avec un tenseur exprimé en base :

Pratiquement, si l’on pose

ou encore :

~e

_i

~

E

_i

⌃

₁₁

=

: ~

E

₁

_{⌦ ~}

E

₁

=

_ij

(~e

_i

_{⌦ ~e}

_j

) : ( ~

E

₁

_{⌦ ~}

E

₁

)

⌃

₁₁

=

_ij

(~e

_i

. ~

E

₁

)(~e

_j

. ~

E

{

₁

)

On n’utilise qu’une partie de la matrice de changement de base

c’est donc plus rapide que de changer de base.

~

E

₁

= (x

₁

, x

₂

, x

₃

)

_~

_e

_i

⌃

₁₁

=

⇥

x

₁

x

₂

x

₃

⇤

.

2

4

11 ₂₁

12 ₂₂

13 ₂₃

31

32

33

3 5 .

2

4 x

_x

1 ₂

x

₃

3

5 ⌃

=

2

4

11

12

13

3 5 :

2

4 x

1 x

2 x

1 x

3

5

(27)

2 Changement de base

orthonormée

(28)

2.0 Décomposition orthogonale de l’identité

Le théorème de la décomposition orthogonale de l’identité

indique qu’un vecteur est somme de ses projections

orthogonales :

On le voit bien en composantes :

<latexit sha1_base64="6+e43IVM0bXM64PGM+edbPYhLHk=">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</latexit>

(29)

On nomme «l’ancienne base» et la «nouvelle base» .

Soit la matrice de passage

Remarque : .  

Action sur les vecteurs de base :

2.1 Changement de base orthonormée des

vecteurs

~e

_i

E

~

_i

~e

i

Théorème de décomposition

orthogonale de l’identité :

P

_ij

= ~e

_i

. ~

E

_j

~

E

_i

= ( ~

E

_i

.~e

_j

)~e

_j

=) ~E

i

= P

ji

~e

j

~

E

_i

= P

_ij

T

~e

_j

~e

_i

= (~e

_i

. ~

E

_j

) ~

E

_j

=) ~e

i

= P

ij

E

~

j

P

_ij

= cos(\

~e

_i

, ~

E

_j

)

<latexit sha1_base64="lQ1qTNTAKE2KOR9+JCguXwgTa5E=">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</latexit>

<latexit sha1_base64="jmTZrvhauGM9v2cDcza+9Yv3GBM=">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</latexit>

~e

₁

~e

₂

~e

₃

(30)

P

ij

est une matrice orthogonale :

ou encore .

Attention P est une matrice, mais qui ne correspond pas aux

~e

_i

= P

_ik

E

~

_k

= P

_ik

P

_lk

~e

_l

~e

_i

.~e

_j

= P

_ik

P

_lk

~e

_l

.~e

_j

ij

= P

ik

P

lk jl

ij

= P

ik

P

jk

ij

= P

ik

P

_kj

T

=) P

1 li

ij

= P

1 li

P

ik

P

T

kj

P

_lj

1 =

_lk

P

_kj

T

=) P

1 lj

= P

T

lj

P

1 _{= P}

T

det(P.P

T

_{) = det(I) = 1}

det(P )

2 _{= 1}

det(P ) = ±1

(31)

Action sur les composantes :

Aspects pratiques

Dans le cas où l’on a plus d’une base, il faut indiquer

celle-ci (d’autant plus que l’on a des valeurs numériques !).

~u

= U

_j

E

~

_j

= U

_j

P

_kj

~e

_k

~u.~e

_i

= U

_j

P

_kj

~e

_k

.~e

_i

u

_i

= P

_ij

U

_j

~

U

= u

_j

~e

_j

= u

_j

P

_jk

E

~

_k

~

U . ~

E

_i

= u

_j

P

_jk

E

~

_k

. ~

E

_i

U

_i

= P

_ij

T

u

_j

~u



u

₁

u

_{2 {~e}

i

}

~u



U

₁

U

_{2 { ~E}

i

}

(32)

Soit un tenseur du second ordre :

on identifie la formule classique qui est

«dangereuse» car ∑ et σ sont les matrices de composantes d’un

seul et même tenseur σ dans deux bases diﬀérentes…

La notation la plus sûre serait de spécifier la base, en conservant

2.2 Changement de base orthonormée des

tenseurs d’ordre quelconque

=

_pq

~e

_p

_{⌦ ~e}

_q

=

_pq

P

_pi

P

_qj

E

~

_i

_{⌦ ~}

E

_j

= ⌃

_ij

_E

~

_i

_{⌦ ~}

_E

_j

=) ⌃

ij

= P

_ip

T

P

_{jq pq}

T

⌃ = P

t

_{. .P}

par définition

(33)

Le changement de base inverse :

On voit la continuité avec la formule vue pour les tenseurs du

premier ordre ( ).

Par extension (les démonstrations sont similaires), les relations

entre les composantes d’un tenseur d’ordre quelconque sont

obtenues en appliquant autant de fois la matrice de changement

de base que l’ordre du tenseur. Par ex. pour un tenseur du 4

e

ordre :

où sont les composantes dans l’ancienne base et

les composantes dans la nouvelle base.

ij

= P

ip

P

jq

⌃

pq

u

_i

= P

_ij

U

_j

a

_ijkl

= P

_ip

P

_jq

P

_kr

P

_ls

A

_pqrs

A

_ijkl

= P

_ip

T

P

_jq

T

P

_kr

T

P

_ls

T

a

_pqrs

A

_ijkl

a

_ijkl

(34)

Attention pour un tenseur d’ordre 4 cela fait 4x3

8 _{= 26244}

multiplications…

Nous verrons des formules plus rapides pour les tenseurs

d’élasticité (formules de Bond).

(35)

3 Rotations et symétries de

tenseurs

(36)

3.1 Différence entre rotation et changement

de repère

La rotation (ou translation) est physique, le changement de

repère ne l’est pas. Bien que mathématiquement proches, ce

sont des concepts diﬀérents.

4 Changement de base

(37)

3.2 Rotation

La matrice de rotation défini les tournés des tenseurs de base :

Elle contient donc les vecteurs tournés exprimés en colonne

dans la base :

R(~e

j

) = R

ij

~e

i

, R

ij

2

4 _R(~e

_j

_).~e

_i

3

5 R(~e

1 ) R(~e

2 ) R(~e

3 )

~e

₁

~e

₂

~e

₃

~e

i

<latexit sha1_base64="bHwU4xH9hmiakfWUGrk1AXuiAkA=">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</latexit> <latexit sha1_base64="0HApcilkLX8U7/LT7gYzztuxcK0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="elrAo0Z37PnIkxkToqshNqfphk4=">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</latexit>