Algèbre linéaire (Al1, Al2)
— Une difficulté dans certains exercices est de choisir entre le point de vue « nu- mérique » (matrices) et le point de vue « géométrique » (espaces vectoriels, applications linéaires). Souvent l’un de ces deux points de vue est nettement préférable à l’autre (mais ce n’est pas toujours le même suivant les exercices), il faut donc être capable de transcrire un énoncé vectoriel sous forme matricielle ou, au contraire, un énoncé matriciel en termes d’applications linéaires.Certains rapports de concours regrettent que les candidats se précipitent trop fréquemment sur les matrices.
— Ne jamais oublier qu’en algèbre linéaire on ne manipule que des sommes (ou des combinaisons linéaires)finies, même si elles peuvent parfois être indexées par un ensemble d’indices infini.
— La représentation géométrique en dimension 3 (les sev sont à deux exceptions près des droites ou des plans « passant » tous par 0E) aide parfois à voir ce qui se passe, en particulier pour les exercices sur les projecteurs, les sommes directes, les sev supplémentaires. Il n’est donc pas idiot de s’entraîner à dessiner une droite et un plan, même au tableau, et de dessiner la projection d’un vecteur sur le plan parallèlement à la droite et réciproquement.
— La dimension d’un espace de dimension finie a une signification concrète : com- bien de scalaires sont nécessaires (et suffisants !) pour décrire un élément de l’espace ?
— A part sa définition, il faut se souvenir que le produit matriciel est le produit des lignes de la première matrice par les colonnes de la seconde. Il est donc tout- à-fait intéressant d’écrire concrètement le produit matricielAB en écrivant la matriceAen bas à gauche et la matriceB en haut à droite.
— Le théorème d’isomorphisme entre tout supplémentaire du noyau et l’image est un outil essentiel, aussi important que sa conséquence en dimension finie (théorème du rang) ; attention : le théorème du rang ne dit pas que le noyau et l’image d’un endomorphisme sont supplémentaires (c’est faux en général).
— Il ne faut pas se précipiter sur des bases : l’expression analytique d’un problème (avec les composantes des vecteurs, les coefficients des matrices. . .) est souvent
compliquée et obscurcit les choses. Si on doit néanmoins travailler dans une base, il faut la choisir bien adaptée au problème. Une technique souvent utile : décomposition l’espace en somme directe de sous-espaces adaptés au problème, vérification d’une propriété sur chacun de ces sous-espaces, puis extension par linéarité à l’espace tout entier.
— Un argument souvent utilisé en algèbre linéaire : on veut montrer qu’une ex- pression 1 (linéaire enx) est égale à une expression 2 (linéaire en x). Il suffit pour cela de montrer que ces deux expressions coïncident sur une base.
I Liste ccp
EXERCICE 59 algèbre
Soitnun entier naturel tel quen≥2.
SoitE l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K(K=R ouK =C) de degré inférieur ou égal àn.
Soitf l’endomorphisme deE défini par :∀P ∈E,f(P) =P−P0. 1. Démontrer quef est bijectif de deux manières :
(a) sans utiliser de matrice def, (b) en utilisant une matrice def.
2. SoitQ∈E.TrouverP tel que f(P) =Q.
Indication :siP ∈E, quel est le polynômeP(n+1)?
3. [Question faisable seulement avec Al4]f est-il diagonalisable ? EXERCICE 60 algèbre
Soit la matriceA= 1 2 2 4
!
etf l’endomorphisme deM2(R)défini par : f(M) = AM.
1. Déterminer une base de Kerf. 2. f est-il surjectif ?
3. Trouver une base de Imf.
4. A-t-onM2(R) =Kerf ⊕ Imf EXERCICE 64 algèbre
Soitf un endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimensionn.
1. Démontrer que :E=Imf⊕kerf =⇒Imf =Imf2. 2. (a) Démontrer que : Imf =Imf2⇐⇒kerf = kerf2.
(b) Démontrer que : Imf =Imf2=⇒E =Imf⊕kerf.
II Exercices ccp « ancienne liste »
Algèbre ancienne liste
1. Démontrez que siAetB sont deux matrices carrées d’ordrenalorsABet BA ont même trace.
2. Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même endomor- phisme ont même trace.
3. Démontrez que siAetB sont semblables alors, pour toutk∈N, Ak et Bk ont même trace.
Algèbre ancienne liste
SoitE un espace vectoriel surRouC.
Soientf etg deux endomorphismes deE tels quef ◦g=Id.
1. Démontrer que Ker(g◦f) =Kerf. 2. Démontrer que Im(g◦f) =Img.
3. Démontrer queE=Kerf ⊕Img.
III Autres exercices
Exercice 1. Les énoncés suivants sont-ils équivalents à « la famille(ui)i∈I est liée » ? (i) Un desui s’exprime comme combinaison linéaire des autres.
(ii) Chaqueui s’écrit comme combinaison linéaire des autres.
(iii) Il y a une sous-famille finie ((ui)i∈J, oùJ ⊂I,J finie) qui est liée.
(iv) on peut trouver deux vecteurs liés dans la famille.
Exercice 2(Etude de l’indépendance linéaire de familles).
1. Soit(Pi)i∈I une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts.
Démontrer que cette famille est libre. A quelle condition est-elle une base de K[X]?
On a le droit, au concours, d’écrire qu’une famille de polynômes de degrés deux à deux distincts est libre. On parle parfois de famille de polynômes à degrés
« étagés ».
2. Démontrer que la famille Xk(1−X)n−k
0≤k≤n est une base deKn[X].
3. (Posé à l’oral) Soita1, a2, a3 trois réels distincts. La famille(f1, f2, f3), oùfi : x7→sin(x+ai)est-elle libre ?
4. Démontrer que les familles (x 7→ cosnx)0≤n≤N et (x 7→ cosnx)0≤n≤N sont libres et engendrent le même s.e.v. de C∞(R,R)(on note N un entier naturel non nul).
Exercice 3 (Construction d’une base pour un espace de fonctions, oral Mines). On considère deux réels a et b, a < b. On note E l’espace des fonctions continues affines par morceaux sur[a, b], à valeurs réelles (on dit que f est affine par morceaux continue sur [a, b] lorsqu’il existe un entier naturel non nul n et des réels xi (0 ≤i ≤n) vérifiant a =x0 < x1 < · · · < xn =b tels que la restriction de f à chaque segment[xi, xi+1]soit affine, c’est-à-dire de la formex7→αix+βi). Pour tout c∈[a, b], on notefc l’élement suivant deE :fc : x7→ |x−c|.
1. Démontrer que la famille(fc)c∈[a,b] est libre (utiliser par exemple un argument de dérivabilité).
2. On note gd : x 7→ max(0, x−d). Démontrer que, pour tout d ∈ [a, b], gd
appartient àVect(fc)c∈[a,b] (écriregdexplicitement comme combinaison linéaire d’un petit nombre defc bien choisis).
3. Soithun élément deE nul ena. Montrer quehest combinaison linéaire desgd
(d∈[a, b]).
4. Montrer que toute fonction constante est combinaison linéaire desfc(c∈[a, b]).
5. Déduire des deux questions précédentes que la famille(fc)c∈[a,b]est une base de E.
Exercice 4. On considère, pour toutpla suiteu(p) définie par : u(p)n =δn,p= 1sin=p , 0 sinon Quel est l’espace vectoriel engendré dansKN par la famille u(p)
p∈N?
Exercice 5. Soit (α0, . . . , αp−1) une famille donnée d’éléments de K. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire :
∀n∈N un+p+αp−1un+p−1+· · ·+α1un+1+α0un= 0 ?
Exercice 6 (Oral Mines). Soit F, G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectorielE. Montrer queF∪Gest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si. . . ou. . . (la cns était donnée à l’oral des Mines, mais on peut la trouver soi-même).
Exercice 7(Classique : centre de L(E), deMn(K)).
1. Soit f un endomorphisme du K-espace vectoriel E tel que, pour tout x, la famille(x, f(x))soit liée. Vérifier quef est une homothétie.
2. SiE est de dimension finie, en déduire le « centre » de L(E), c’est-à-dire l’en- semble endomorphismes qui commutent avec tous les endomorphismes.
Indication : soituun tel endomorphisme. On pourra remarquer que sipest une projection sur une droite vectorielle, alorsp◦u=u◦p.
En dimension finie, ce raisonnement ne devient pas faux, mais demande des résultats d’une autre nature : lemme de Zorn. . .
3. En utilisant la base canonique deMn(K), déterminer le « centre » deMn(K).
Exercice 8 (Oral Mines). SoitE un espace vectoriel de dimension finie. Quels sont les endomorphismes deEqui ont la même matrice dans toutes les bases deE?
Exercice 9(Noyaux itérés). Les questions 1 et 2 sont à connaître (résultats souvent utilisés)
Soitf un endomorphisme d’un espace de dimension finiennon nulle. On définit, pour tout entier naturelp:
Fp= ker(fp) et Gp= Im(fp) (fp désigne l’itérée d’ordrepdef :f0= Idet,fp+1=f◦fp).
1. Démontrer que, des deux suites de s.e.v. (Fp) et (Gp), l’une est croissante et l’autre décroissante (pour l’inclusion).
2. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel r tel que Fr = Fr+1, et démontrer qu’alors, pour tout entier naturelpsupérieur ou égal àr,Fp=Fp+1. 3. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel s tel que Gs = Gs+1, et démontrer qu’alors, pour tout entier naturelpsupérieur ou égal às,Gp=Gp+1. Y-a-t-il un lien entreret s?
4. Démontrer queGs etFrsont supplémentaires dans E.
5. SoitHk+1un supplémentaire dans Fk+2 deFk+1. Démontrer que la restriction de f à Hk+1 est injective, que f(Hk+1) est un sous-espace vectoriel de Fk+1
et qu’il est en somme directe avecFk. En déduire que la suite (αk), où αk = dimFk+1−dimFk, est décroissante.
Exercice 10 (Polynômes de Newton). Kest un sous-corps deC.
1. On définit l’endomorphisme∆ deK[X]de la manière suivante : (∆P)(X) =P(X+ 1)−P(X)
Déterminer le degré de∆P en fonction de celui deP. 2. Déterminer le noyau de∆.
3. En considérant ses restrictions auxKn[X](n≥0), démontrer que∆est surjec- tif.
4. Démontrer qu’il existe une unique suite(Nn)n∈Nde polynômes telle queN0= 1 et, pour tout entier natureln:
Nn+1(0) = 0 et ∆Nn+1=Nn
LesNn sont lespolynômes de Newton.
5. Démontrer que, sin≥1 :
Nn= X(X−1). . .(X−n+ 1) n!
Les polynômes de Newton sont à la dérivation discrète, i.e. à∆, ce que les polynômes de la base canonique sont à la dérivation, i.e.D.
Exercice 11 (Utilisations classiques de la base canonique). On considère un entier naturelnnon nul. La matriceEi,j est la matrice carrée d’ordrendont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient eni-ème ligne etj-ième colonne, égal à1.
1. Calculer le produitEi,jEk,l de deux matrices de la base canonique deMn(K).
En déduire que, siφest une forme linéaire surMn(K)telle queφ(AB) =φ(BA) pour toutes matricesAetB, alors il existeλdansKtel que formeφ=λtr, où trest la trace.
2. Soitf une forme linéaire sur Mn(K). Démontrer (en utilisant de nouveau la base canonique) qu’il existe une unique matrice A de Mn(K) telle que, pour toute matriceM deMn(K),f(M) = tr(AM).
Exercice 12. Soit A une sous-algèbre de Mn(K). En considérant les propriétés de l’application M 7→ AM (de A dans lui-même), démontrer que, pour toute matrice inversibleAdeA,A−1est dans A.
ainsi, l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure inversible est triangulaire supé- rieure, l’inverse d’une matrice diagonale inversible est diagonale. . ..
Exercice 13. Soit J la matrice carrée dans Mn(K) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Calculer ses puissances.
Utiliser le résultat pour calculer les puissances de la matrice deMn(K):
α β . . . β β α . . . β ... ... . .. ... β β . . . α
Exercice 14 (résultats classiques sur le rang).
1. Démontrer que, pour toutes matrices A et B de même format,
|rg(A)−rg(B)| ≤rg(A+B)≤rg(A) + rg(B)
2. Démontrer que
∀(A, B)∈ Mp,q(K)× Mq,r(K) rg(AB)≤inf(rg(A),rg(B))
Exercice 15. Soit A une matrice carrée nilpotente de rangr et d’indicep(Ap = 0, Ap−1 6= 0). Démontrer, en utilisant par exemple l’exercice sur les noyaux itérés, que p≤ r+ 1. En déduire que, si A est une matrice carrée d’ordren (i.e. n lignes et n colonnes) et siAest nilpotente, alorsAn = 0.
Les trois exercices suivants montrent l’intérêt qu’il peut y avoir, même si un énoncé est donné matriciellement, à le traduire en termes d’applications linéaires. Intérêt déjà vu
lors de la démonstration de
rg(A+B)≤rg(A) +rg(B)
Exercice 16. On considère la matrice
A=
0 1 0 . . . 0 ... . .. . .. . .. ... ... . .. . .. ...
0 . .. 1
1 0 . . . 0
∈ Mn(K)
CalculerA2, A3, . . . , An. Plutôt que d’effectuer des produits matriciels, on aura intérêt à regarder comment l’endomorphisme canoniquement associé àAtransforme les vecteurs de la base canonique deKn.
Exercice 17. Si σ∈Sn, on définit la matricePσ∈ Mn(K)par (Pσ)i,j= 1 si i=σ(j), 0sinon Si(σ, σ0)∈(Sn)2, calculerPσPσ0.
Exercice 18. SoitA∈ M2n(K)telle queai,i=αipour touti∈J1, nK,ai,2n+1−i=βi
pour tout i ∈ J1, nK, ai,j = 0 sinon. Montrer que A est semblable à une matrice
« diagonale par blocs », de la forme
? ?
? ?
? ?
? ? . ..
. ..
? ?
? ?
Exercice 19. ProjecteursSoitE unK-espace vectoriel de dimension finie (K=R ouC). Soitp1, . . . , pmdes projecteurs tels quep1+. . .+pm=IdE. Démontrer que
E=Im(p1)⊕ · · · ⊕Im(pm)
exercices divers. . .
Exercice 20 (Centrale). SoitE un espace vectoriel de dimension finie,f etg dans L(E). Montrer que Im(f) ⊂ Im(g) si et seulement s’il existe h dans L(E) tel que f =g◦h.
Exercice 21(Ulm, Lyon, Cachan). SoitA, B, C trois matrices deMnK). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existeX ∈ Mn(K)telle queC=AXB.
On pourra traduire l’énoncé en termes d’endomorphismes.
Exercice 22 (Préparatoire au suivant). SoitA∈ Mn(K)une matrice de rangr.
Déterminer la dimension de l’espace{M ∈ Mn(K) ; AM= (0)}par deux méthodes : 1. Changer de contexte : intrepréter la question en termes d’endomorphismes.
2. Utiliser la matriceJr
Exercice 23 (Centrale, Mines). Soit V = {M ∈ Mn(R) / AM A = 0} avec A∈ Mn(R)de rangr. Montrer queV est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
Exercice 24 (Centrale, ens, X). On veut démontrer que deux s.e.v. de même di- mension d’un espace de dimension finie admettent un supplémentaire commun.
5
1. SiF =Vect(f)etG=Vect(g)sont deux droites vectorielles d’un plan vectoriel E, construire une droite H deE telle que
F⊕H =G⊕H =E
2. De la même manière, siF etGsont deux sous-espaces de même dimension d’un espace vectorielE, et siE=F⊕G, construire un supplémentaire commun àF etGdansE.
3. On suppose encore queF etGsont deux sous-espaces de même dimension d’un espace vectorielE, et queE=F+G, mais la somme n’est plus supposée directe.
En utilisant par exemple deux sous-espacesF1et G1tels que (F∩G)⊕F1=F et (F∩G)⊕G1=G construire un supplémentaire commun àF etGdansE.
4. Conclure dans le cas général.
5. On envisage une méthode plus rapide, mais non constructive. SoitF etGdeux sous-espaces de même dimension d’un espace vectorielE. Montrer que, siF 6=E, il existex∈E\ {0E}tel que
Vect(x)∩F =Vect(x)∩G={0E}
On considèremla dimension maximale d’un sous-espaceHdeEtel queF∩H= G∩H ={0E}. Vérifier quemest bien définie, et conclure.
Exercice 25 (Centrale, X). On a démontré que, pour toute forme linéaire φ sur Mn(K), il existe une unique matriceAdansMn(K)telle que
∀M ∈ Mn(K) φ(M) = tr(AM)
En déduire que tout hyperplan de Mn(K) contient au moins une matrice inversible (on admet qu’un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle).
Exercice 26 (Oral X). Montrer que l’ensemble des suites complexes périodiques est un sous-espace vectoriel deCN, en donner une base.
Exercice 27 (Ulm, Lyon, Cachan). Déterminer les matrices A∈ GLn(C)telles que Aet A−1 soient dansMn(R+).
Exercice 28. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer qu’il existe deux projecteursp1 etp2et un automorphismef deE tels que u=p1◦f et u=f◦p2
A quelle condition peut-on choisirp1=p2?
