Avec des distributions

Exercices sur les L

Exercice 0. Soit

f_α,β(x) := 1 x^αln(x)^β

d´efinie sur [e,+∞). Pour quelles valeurs de (α, β) cette fonction est-elle dans L^p([e,+∞)?

Exercice 1. Soit Ω⊂Rⁿ un ouvert born´e.

1. Montrer que si 1 ≤ p < q ≤ +∞, on a L^q(Ω) ⊂ L^p(Ω) avec injection continue. Montrer que l’inclusion r´eciproque n’est jamais vraie.

2. Que dire dans le cas desl^p(N)?

3. Soitf ∈L^∞(Ω). Montrer que

p→+∞lim kfkL^p=kfk_∞ .

4. Soitf ∈ ∩_1≤p<∞L^p(Ω). On suppose qu’il existe C >0 tel que pour tout 1≤p <+∞, on a kfkL^p≤C. Montrer quef ∈L^∞.

5. Soit Ω = (0,1) et f(x) = logx. Montrer que f ∈ ∩_1≤p<∞L^p(Ω) mais f /∈L^∞.

Exercice 2. Soit Ω ⊂ Rⁿ un ouvert. Soit 1 ≤ p < q < +∞ et soit f ∈L^p(Ω)∩L^q(Ω).

1. Montrer que pour toutr∈]p, q[,f ∈L^r(Ω) et kfkL^r ≤ kfk^θ_Lpkfk^1−θ_Lq

o`u θv´erifie ¹_r = ^θ_p+^1−θ_q .

Exercice 3. Soit E un sous-espace vectoriel ferm´e de L¹ tel que E ⊂

∪_1<q≤∞L^q. On veut montrer que E s’injecte continument dans un L^p avec p >1. SoitEn:={f ∈E∩L¹⁺¹ⁿ, kfk

L^{1+ 1}n ≤n}.

1. Montrer queE=∪nEn.

1

2. Montrer queEn est ferm´e dansEpour la normek k_L1. 3. Montrer que (E,k k_L1) s’injecte continument dans L¹⁺ⁿ¹⁰.

Avec des distributions

Exercice 4

1. Soit I un intervalle r´eel et H¹(I) := {f ∈L²(I), f⁰ ∈L²(I)}. On muni H¹(I) de la normekfk_H1 :=kfk_L2(I)+kf⁰k_L2(I). Montrer queH¹(I) est un espace de Banach. Comment munirH¹ d’une structure hilbertienne?

Montrer que toute fonction deH¹(I) est continue surI.

2. Soitf ∈H¹(I) o`uI est born´e. Montrer que f est continue sur I. Mon- trer que l’injection de H¹([0,1]) dans (C([0,1]),k k∞) est compacte (on commencera par montrer qu’elle est continue).

3. Plus g´en´eralement, on noteW^1,p(I) l’espace des fonctions deL^p(I) telles que la d´eriv´ee au sens des distributions est dans L^p. Ecrire ce que cela signifie et montrer que si I ⊂ J alors W^1,p(J) ⊂ W^1,p(I). On peut montrer le th´eor`eme suivant : si u∈W^1,p(I), il existe ˜u∈ C(I) telle que u= ˜upresque partout dansI et on a la “formule num´ero 1 de l’analyse” :

∀(x, y)∈I, Z y

x

u⁰(t)dt= ˜u(x)−u(y)˜ .

Exercice 5 Soit 1 < p <+∞et I =]0,+∞[. On suppose que f ∈ L^p(I) et f⁰∈L^p(I). Montrer quef tend vers 0 au voisinage de +∞.

On pourra commencer par traiter le casp= 1.

Exercice 6 On note

H₀¹(]0,1[) :={f ∈L²(]0,1[), f⁰ ∈L²(]0,1[), f(0) =f(1) = 0}.

Soit

λ1:= inf

f∈H₀¹(]0,1[)

R1 0 |f⁰|² R1

0 |f|² 1. Montrer queλ1≥2.

2. Montrer que l’infimum est atteint.

3. Soitf un minimiseur. Montrer quef v´erifie au sens des distributions :

−f⁰⁰=λ1f . On pourra consid´erer la fonctionnelleF(φ, ) :=

R1

0|(f+φ)⁰|² R1

0|f+φ|² . 4. En d´eduire la valeur deλ1 et les minimiseurs associ´es.

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