U P M C - Paris 6 LM260-CNED
Math´ematiques 2008/2009
Feuille d’Exercices 1
Suites num´eriques
Exercice 1.1.—Calculer lim
x→0
(exp(2x)−1) sinx 1−cosx et lim
x→0
xln(1 + 2x) exp(x2)−1.
Exercice 1.2.—a) SoitIun intervalle deR,f etgdeux fonctions d´efinies surI `a valeurs r´eelles eta∈I.
1. Montrer queef ∼eg⇐⇒ lim
x→a(f −g)(x) = 0.
2. On suppose de plusf >0 au voisinage deaet lim
x→af(x) = 0 ou lim
x→af(x) = +∞. Montrer que f ∼ag implique ln(f)∼aln(g).
3. D´eterminer un ´equivalent en 0 et en +∞de ln(ex−1).
Exercice 1.3.—D´eterminer un ´equivalent au point consid´er´e des fonctions suivantes : a)x7→x√
1 +x−xen 0, b)x7→sin(x)cos(x) ln(1 +x) en 0, c)x7→x e1/x−cos(1/x) en +∞.
Exercice 1.4.—Calculer lim
x→0
(exp(2x)−1) sinx 1−cosx et lim
x→0
xln(1 + 2x) exp(x2)−1.
Exercice 1.5.—Indiquer avec une br`eve justification si chacun des ´enonc´es suivants est vrai pour deux suites de r´eelsU = (un)n∈N etV = (vn)n∈N.
1. Si U est croissante et convergente, elle est major´ee.
2. Si U est major´ee et convergente, elle est croissante.
3. Si U est d´ecroissante et positive, elle converge.
4. Si U est croissante et non major´ee , alors, lim (un) = +∞.
5. Si U tend vers 0,U V tend vers 0.
Exercice 1.6.— On veut montrer que la suite (un)n∈N∗ d´efinie par un= 1 + 1
2+· · ·+ 1 n ne converge pas dansR. Montrer que (un)n∈N∗ n’est pas une suite de Cauchy et conclure.
Exercice 1.7.— (Moyenne de Cesaro)Soit (un)n∈Nune suite tendant versl(aveclun nombre r´eel ou +∞ou−∞).
1. On pose, pour tout n∈N,vn= 1 n+ 1
n
X
k=0
uk. Montrer que limn→+∞vn=l.
2. Montrer que la r´eciproque n’est pas vraie en g´en´eral.
Exercice 1.8.—Etudier la suite d´´ efinie paru0= 1 etun+1=√ 2un.
Exercice 1.9.—Etudier la suiteun d´efinie paru0= 0 et∀n≥1,un+1=3un−2 2un−1
Exercice 1.10.— Trouvez un exemple de suitesun telle que u2n converge sans que la suite un
converge.
Exercice 1.11.—Soitun une suite de nombres complexes convergeant vers un nombre complexe l.
1. Montrez que la suiteun est born´ee.
2. En d´eduire, sans utiliser les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites des produits de suites, que la suiteu2n tend versl2.
Exercice 1.12.—Pourn≥0, on posean=
p=2n+1
X
p=1
1
pn2+p. Trouvez, `a l’aide d’un encadrement, la limite de la suitean.
Exercice 1.13.— Soitan la suite d´efinie paran =
n
X
k=1
(−1)k+1
k . On d´efinit les suites un et vn
parun =a2n et vn =a2n+1. Montrez que les suites un etvn sont adjacentes. En d´eduire quean
converge.
Exercice 1.14.—Soientun etvn deux suites de nombres complexes convergeant respectivement versl etl0.
1. Montrez que la suitewn=unvn converge versll0. 2. Si l6= 0, montrez que u1
n converge vers 1l. 3. Traitez le cas o`u l= 0.
Exercice 1.15.—Soit (un)n≥0une suite de nombres r´eels strictement positifs. On d´efinit la suite (vn)n≥0par :
∀n≥0, vn= un+1
un . On suppose que la suite vn converge vers une limite l.
1. On supposel <1. Montrez que la suite un tend vers 0. Montrez que la suiteUn =Pn k=0un
converge.
2. On supposel >1. Montrez que la suiteun diverge.
3. On supposel= 1. Montrez `a l’aide d’exemples qu’on ne peut rien dire ni sur la convergence de un.
Exercice 1.16.—Montrer que si la fonctiong est continue positive et d´ecroissante sur ]0,+∞[, alors on a :
Z n+1
1
g(x)dx≤
n
X
k=1
g(k)≤g(1) + Z n
1
g(x)dx.
1. En d´eduire la convergence de la suitevn= 1 +1
2 +· · ·+ 1
n−logn.
2. En d´eduire le comportement de la suite d´efinie parun= 1
√n
n
X
k=1
√1 k.
Exercice 1.17.— (classique)Soient aet b deux r´eels tels que 0< b < a. On d´efinit les suites (an)n≥0 et (bn)n≥0 par :
a0=a, b0=b et
∀n≥1, an= an−1+bn−1
2 et bn=p
an−1bn−1.
Montrez que pour toutn≥0,an≥bn. En d´eduire que les suitesan et bn convergent vers une mˆeme limite lqu’on appelle moyenne arithm´etico-g´eom´etrique deaet b.
Exercice 1.18.— (classique)On consid`ere les deux suites de nombres r´eels (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗
d´efinies par :
un= 1 + 1
1!+· · ·+ 1
n! et vn =un+ 1 nn!. 1. Montrer que :
a. la suite (un)n∈N∗ est croissante ; b. la suite (vn)n∈N∗ est d´ecroissante ; c. pour toutn≥1,un ≤vn;
d. limn→+∞(vn−un) = 0.
2. En d´eduire que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ sont convergentes et de mˆeme limite. Cette limite est le nombre r´eele.
3. En utilisant queeest compris entre un et vn, montrer que eest irrationnel (on effectuera un raisonnement par l’absurde, en supposant quee= p
q avecpet qdansN∗.
Exercice 1.19.—Trouver un ´equivalent simple aux suites suivantes : a) Un = 1 − cos(1
n), b) Un = ln
sin(1 n)
, c) Un = 1
n−1 − 1 n+ 1, d)Un =√
n+ 1−√ n−1
Exercice 1.20.— Soit a > 0. On pose Un = an(Ln(n+ 1)−Ln(n)) pour n > 0. Donner un
´
equivalent simple de la suiteUn et en d´eduire son comportement asymptotique.
