Chapitre 19 : Fractions et puissances

Chapitre 19 : Fractions et puissances

1) Nombres et fractions :

L’ensemble des nombres entiers (comme 12) fait partie de l’ensemble des nombres décimaux (comme 12,0), qui fait lui-même partie de l’ensemble des nombres fractionnaires (comme 12

1 ).

Rappels :

● La barre de fraction s’écrit sur la grosse interligne.

● On obtient la même fraction en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre (différent de 0) :

3 4 =

3 x 2 4 x 2 = 6

8 et 2 8 =

1 x 2 4 x 2 = 1

4

● On transforme facilement un entier en une fraction : 5 = 5 1

2) Multiplication et division de fractions :

● Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. (Il est inutile d’avoir les mêmes dénominateurs).

2 3  4

5 = 2  4 3  5 =

8

15 3  4

5 = 3 1  4

5 =

3  4 1  5 =

12 5

● Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

2 3 : 7

5 = 2 3  5

7 = 2  5 3  7 =

10

21 3 : 7

5 = 3

1 : 7 5 = 3

1  5 7 = 15

7 Attention à ne surtout pas changer la première fraction !

Le résultat est souvent demandé sous forme de fraction irréductible, c’est- à-dire qu’on ne peut plus simplifier.

Pour simplifier une fraction, on commence par regarder son signe en éliminant deux à deux les signes – (le quotient de deux nombres négatifs est positif). Puis on divise si c’est possible le numérateur et le dénominateur par 2, 3 ou 5 ou un autre nombre.

Remarque : La calculatrice donne la fraction irréductible.

3) Addition et soustraction de fractions :

Pour ajouter ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on ajoute ou soustrait les numérateurs en gardant le dénominateur.

1 8 +

2 8 =

3 8 1

8 + 3 4 =

1 8 +

3 x 2 4 x 2 = 1

8 + 6 8 =

7

8 5 + 3

2 = 5

1 + 3 2 =

5 x 2 1 x 2 + 3

2 = 13

2

Si les dénominateurs n’ont rien en commun, on les multiplie : 1

4 + 2 3 =

1 x 3

4 x 3 + 2 x 4 3 x 4 = 3

12 + 8 12 =

11 12

Surtout on n’ajoute pas les dénominateurs !

4) Les priorités opératoires (rappel) :

2  3 = 3 + 3 = 6 donc 1 + 2  3 = 1 + 3 + 3 = 7

On ne peut pas toujours faire les opérations dans l’ordre où elles sont écrites, il y a des priorités opératoires.

● sans parenthèses, on RECOPIE les additions et les soustractions sans les calculer et on fait toutes les multiplications et divisions. Quand il ne reste que des additions et des soustractions, on les fait dans l’ordre où elles sont écrites, de gauche à droite.

● Quand il y a des parenthèses, on fait d’abord les calculs entre parenthèses

Exemple : 2  (4 + 5) = 2  9 = 18

● Quand il y a une fraction, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur et on divise en dernier. La barre de fraction remplace des parenthèses.

Exemple : 6 + 2 3 + 1 =

8 4 = 2

Attention avec la calculatrice, si on utilise le signe :l pour la division représentée par la barre de fraction, il faut rajouter des parenthèses au numérateur et au dénominateur pour que la division soit effectuée en dernier :

on tape (6 + 2) : (3 + 1)

Remarque : tous ces calculs peuvent se faire avec des nombres négatifs : - 2 + 3 = 1

- 2 – 3 = - 5 - 2 x (- 3) = 6 - 2 x 3 = - 6

6

- 2 = - 3 et - 6 - 2 = 3 Attention, 1 + 23 ≠ 9 !

5) Les puissances :

2³ = 2 x 2 x 2 = 8 et 10³ = 10 x 10 x 10 = 1000.

3 s’appelle l’exposant.

10^-3 = 1

10³ un exposant négatif correspond à un dénominateur.

10⁰ = 1 et 10¹ = 10

Pour multiplier, on ajoute les exposants et pour diviser, on les soustrait : 10³ x 10² = 10³⁺² = 10⁵ (En effet, 10³ x 10² = 1000  100 = 10⁵)

10⁵

10² = 10^5-2 = 10³ (En effet, 10⁵

10² = 100 000

100 = 10³)

Avec des parenthèses, on multiplie les exposants :

(10³)² = 10^{3  2} = 10⁶ En effet, (10³)² = 10³  10³ = 10⁶

Tous ces résultats sont vrais pour d’autres nombres que 10.

Annexe : extrait du programme officiel : 2.1. Nombres entiers et rationnels

Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire

Dans le cadre du socle commun, l’addition, la soustraction et la multiplication « à la main » de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour l’addition et la soustraction, il s’agit uniquement des cas où un calcul mental est possible.

Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée.

Fractions irréductibles.

- Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée.

2.3. Écritures littérales Puissances.

- Utiliser sur des exemples les égalités : a^m.aⁿ = a ^m+n;

a^m/aⁿ = a ^m-n (a^m)ⁿ = a^mn (a^b)ⁿ = aⁿbⁿ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

où a et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers relatifs.

Comme en classe de quatrième, ces résultats sont construits et retrouvés, si besoin est, en s’appuyant sur la signification de la notation puissance qui reste l’objectif prioritaire.

La mémorisation de ces égalités est favorisée par l’entraînement à leur utilisation en calcul mental.