Examen Final du 1 er Semestre

(1)

1 Module : Statistique et Probabilités E.S.S.A. d’Alger le 30/01/2020

Niveau : 1^ère année Année Universitaire : 2019/2020

Durée : 2 heures

Examen Final du 1

^er

Semestre Nom et Prénom :

⁄ 20

Matricule :

Section et Groupe :

Exercice 1.

Le Tableau I suivant donne la répartition de 100 personnes interrogées, selon deux caractères 𝑋 et 𝑌 :

 𝑋 désigne le revenu mensuel exprimé en milliers de dinars

 et 𝑌 désigne le nombre de départs en vacances durant une année.

Tableau I 𝒀

𝑿 0 1 2 3 4 [10,15[ 4 4 6 1 0 [15,20[ 6 7 5 2 0 [20,25[ 4 4 6 5 1 [25,30[ 0 5 7 6 2 [30,35] 1 8 6 5 5

1. Le nombre de personnes percevant un salaire au moins égal à 20 mille dinars et parties au moins deux fois en vacances est ……….

2. Parmi les personnes percevant un salaire compris entre 20 mille et 25 mille dinars, le pourcentage de celles qui sont parties au moins une fois en vacances est ……….

3. Donner les distributions marginales en fréquences (valeurs des fréquences en fractions irréductibles) Distribution marginale de 𝑋 Distribution marginale de 𝑌

𝑋 𝑌

Fréquence Fréquence

4. Donner la distribution du nombre de départ en vacances parmi les personnes percevant un salaire d’au moins égal à 30 mille dinars (valeurs des fréquences en fractions irréductibles)

𝑌 Fréquence

5. Donner les formules des coefficients suivants ainsi que leurs valeurs (2chiffres après la virgule):

(2)

2

Coefficient Formule Valeur

Covariance de 𝑿 et 𝒀

Coefficient de corrélation linéaire de 𝑿 et 𝒀

6. 𝑋 et 𝑌 sont-ils statistiquement indépendants ? justifier

...

Exercice 2.

Le tableau suivant comporte les valeurs de 𝑋: « Dépense de santé par habitant » et 𝑌: « Espérance de vie » de 7 états européens.

Etat Autriche Belgique France Allemagne Luxembourg Pays-Bas Suisse 𝑋 (en 1.000 US-Dollar) 4,55 4,06 4,12 4,50 4,76 5,10 5,64 𝑌 (en années) 81,1 80,5 82,2 80,8 81,1 81,3 82,8 1. Donner les formules utilisant les données brutes des coefficients suivants ainsi que leurs valeurs :

Covariance de 𝑿 et 𝒀

Coefficient de corrélation linéaire de 𝑿 et 𝒀

2. Par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de 𝑌 en fonction de 𝑋 dont l’équation est 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, est telle que

paramètre Formule Valeur

𝒂

𝒃

(3)

3 3. Effectuer un test de Ficher (au seuil 0.05) pour la validation (ou non) de cet ajustement et conclure sur

l’adéquation de cet ajustement

………

4. En utilisant cette droite d’ajustement, peut-on faire une bonne prévision de l’espérance de vie dans un état dont la dépense de santé par habitant est de 6.000 US-Dollar ? Calculer cette prévision

………

……….

………

……….

Tableau du test de Fisher pour l’ajustement linéaire

𝑚 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 161,448 18,513 10,128 7,709 6,608 5,987 5,591 5,318 5,117 4,965 𝑚 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 4,844 4,747 4,667 4,6 4,543 4,494 4,451 4,414 4,381 4,351

𝑚 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 4,325 4,301 4,279 4,26 4,242 4,225 4,21 4,196 4,183 4,171

𝑚 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 4,16 4,149 4,139 4,13 4,121 4,113 4,105 4,098 4,091 4,085

𝑚 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 4,079 4,073 4,067 4,062 4,057 4,052 4,047 4,043 4,038 4,034

𝑚 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 4,03 4,027 4,023 4,02 4,016 4,013 4,01 4,007 4,004 4,001

𝑚 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 3,998 3,996 3,993 3,991 3,989 3,986 3,984 3,982 3,98 3,978

𝑚 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 𝐹_1,𝑚⁻¹(0.95) 3,976 3,974 3,972 3,97 3,968 3,967 3,965 3,963 3,962 3,96

(4)

4 Exercice 3. Déterminer le nombre de numéros à 7 chiffres tels que :

1. Les 7 chiffres soient tous distincts.

………

2. Le produit des 7 chiffres soient divisible par 2.

………

3. Le numéro soit formé de deux 1, deux 3 et trois 5.

………

4. Les 7 chiffres forment une suite strictement croissante.

………

5. La somme des chiffres du numéro soit égale à 9.

………

(5)

1

Examen Final du 1

^er

Semestre Corrigé 2019/2020 Exercice 1.

1. Le nombre de personnes percevant un salaire au moins égal à 20 mille dinars et parties au moins deux fois en vacances est 𝟒𝟑.

𝟎. 𝟓

2. Parmi les personnes percevant un salaire compris entre 20 mille et 25 mille dinars, le pourcentage de celles qui sont parties au moins une fois en vacances est 𝟖𝟎%.

𝟎. 𝟓

3. Donner les distributions marginales en fréquences (valeurs des fréquences en fractions irréductibles) Distribution marginale de 𝑋

𝟏 𝒑𝒕

Distribution marginale de 𝑌

𝟏 𝒑𝒕

𝑋 [𝟏𝟎, 𝟏𝟓[ [𝟏𝟓, 𝟐𝟎[ [𝟐𝟎, 𝟐𝟓[ [𝟐𝟓, 𝟑𝟎[ [𝟑𝟎, 𝟑𝟓] 𝑌 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 Fréquence 𝟑

𝟐𝟎

𝟏 𝟓

𝟏

𝟒 Fréquence 𝟑

𝟐𝟎 𝟕 𝟐𝟓

𝟑 𝟏𝟎

𝟏𝟗 𝟏𝟎𝟎

𝟏 𝟐𝟎 4. Donner la distribution du nombre de départ en vacances parmi les personnes percevant un salaire d’au

moins égal à 30 mille dinars

Y 0 𝟏 𝟐 𝟑 4

Fréquence 𝟏

𝟏 𝒑𝒕

𝟐𝟓

𝟖 𝟐𝟓

𝟔 𝟐𝟓

𝟏 𝟓

5. Donner les formules des coefficients suivants ainsi que leurs valeurs (2 chiffres après la virgule):

Covariance de 𝑿 et 𝒀 𝐂𝐨𝐯(𝑿, 𝒀) = ∑ ∑ 𝒇_{𝒊 𝒋}

𝟓

𝒋=𝟏

(𝒙_𝒊− 𝝁_𝑿)

𝟓

𝒊=𝟏

(𝒚_𝒋− 𝝁_𝒀)

𝟏 𝒑𝒕 𝟐. 𝟗𝟑 𝟏 𝒑𝒕

Coefficient de corrélation linéaire de 𝑿 et 𝒀

𝒓_𝑿,𝒀=𝐂𝐨𝐯(𝑿, 𝒀)

𝝈𝑿 _𝒀

𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟑𝟔 𝟎. 𝟓

6. 𝑋 et 𝑌 sont-ils statistiquement indépendants ? justifier 𝑿 et 𝒀 ne sont pas indépendants car 𝐂𝐨𝐯(𝑿, 𝒀) ≠ 𝟎.

𝟏 𝒑𝒕 Exercice 2.

1. Donner les formules utilisant les données brutes des coefficients suivants ainsi que leurs valeurs :

Covariance de 𝑿 et 𝒀 𝑺_{𝑿 𝒀}= (𝟏

𝟕∑ 𝑿_𝒊𝒀_𝒊

𝟕

𝒊=𝟏

) − 𝑿̅ 𝒀̅

𝟎. 𝟕𝟓 𝟎, 𝟐𝟐 𝟎. 𝟓

Coefficient de corrélation

linéaire de 𝑿 et 𝒀 𝑹_𝑿𝒀 = 𝑺_{𝑿 𝒀}

𝑺_𝑿 𝑺_𝒀

𝟎. 𝟐𝟓 𝟎, 𝟓𝟕 𝟎. 𝟓

𝝈

(6)

2 2. Par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de 𝑌 en fonction de 𝑋 dont l’équation est

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, est telle que

paramètre Formule Valeur

𝒂 𝑺_{𝑿 𝒀}

𝑺_𝑿^𝟐

𝟏𝒑𝒕 𝟎. 𝟖𝟑 𝟎. 𝟕𝟓

𝒃 𝒀̅ − 𝒂 𝑿̅

𝟎. 𝟓 𝟕𝟕. 𝟓𝟑 𝟎. 𝟐𝟓

3. Effectuer un test de Ficher (au seuil 0.05) pour la validation (ou non) de cet ajustement et conclure sur l’adéquation de cet ajustement

Calculer de la statistique de Fisher :

𝑭_𝑪𝒂𝒍 = (𝒏 − 𝟐) 𝑹_{𝑿 𝒀}^𝟐

𝟏 − 𝑹_{𝑿 𝒀}^𝟐 = 𝟐, 𝟑𝟔𝟖.

𝟎. 𝟓

qui n’est pas strictement supérieure à 𝑭_𝟏,𝟓^−𝟏(𝟎. 𝟗𝟓) = 𝟔, 𝟔𝟎𝟖

𝟎. 𝟓

d’où cet ajustement linéaire n’est pas adéquat.

𝟎. 𝟓

4. En utilisant cette droite d’ajustement, peut-on faire une bonne prévision de l’espérance de vie dans un état dont la dépense de santé par habitant est de 6.000 US-Dollar ? Calculer cette prévision

Vu que cet ajustement n’est pas adéquat, il ne peut pas faire une bonne prévision avec l’équation de la droite obtenue par l’ajustement précédent.

𝟎. 𝟓

La prévision de la valeur de l’espérance de vie pour un état dont la dépense de santé par habitant est de 6.000 US-Dollar, est

𝟎, 𝟖𝟑 ∗ 𝟔 + 𝟕𝟕, 𝟓𝟑 = 𝟖𝟐. 𝟐𝟏 𝐚𝐧𝐧é𝐞𝐬.

𝟎. 𝟓

Exercice 3. Déterminer le nombre de numéros à 7 chiffres tels que : 1. Les 7 chiffres soient tous distincts.

𝐀^𝟕_𝟏𝟎 = 𝟏𝟎!

(𝟏𝟎 − 𝟕)!= 𝟔𝟎𝟒𝟖𝟎𝟎.

𝟏𝒑𝒕

2. Le produit des 7 chiffres soient divisible par 2.

𝟏𝟎^𝟕− 𝟓^𝟕= 𝟗𝟗𝟐𝟏𝟖𝟕𝟓.

𝟏𝒑𝒕

3. Le numéro soit formé de deux 1, deux 3 et trois 5.

𝐏_𝟕(𝟐, 𝟐, 𝟑) = 𝟕!

𝟐! 𝟐! 𝟑!= 𝟐𝟏𝟎.

𝟏𝒑𝒕

4. Les 7 chiffres forment une suite strictement croissante.

𝐂_𝟏𝟎^𝟕 = 𝟏𝟎!

𝟕! 𝟑!= 𝟏𝟐𝟎.

𝟏𝒑𝒕

5. La somme des chiffres du numéro soit égale à 9.

𝐂̅_𝟕^𝟗= 𝐂_𝟏𝟕^𝟗 = 𝟏𝟕!

𝟗! 𝟖!= 𝟐𝟒𝟑𝟏𝟎.

𝟏𝒑𝒕

(7)

Nom et Prénoms : Section:

Sujet N° 1

Exercice 1.

La série statistique suivante est issue de l’observation d’un caractère 𝑋: « Tension artérielle » sur 25 patients âgés de 18 à 69 ans.

110 112 114 120 125 125 128 128 132 132 140 140 142 143 144 148 150 150 160 160 163 164 168 171 172

1. La population étudiée est ……… Le type du caractère est ………..

2. Compléter le tableau suivant :

Tension artérielle Effectif Fréquence Effectif cumulé Fréquence cumulée

[𝟏𝟏𝟎, 𝟏𝟓𝟎[ 16 0.64 16 0.32

[𝟏𝟓𝟎, 𝟏𝟕𝟐] 9 0.36 25 1

3. Le type de distribution représentée dans ce tableau est ………

4. La formule de la moyenne arithmétique de cette distribution est donnée par 𝜇_𝑋 = et sa valeur est égale à ………..

5. La classe médiane est la classe ………

6. Tracer le polygone des effectifs cumulés

(8)

7. En déduire de ce graphe (sans calcul) la valeur de de la médiane : ………..

Exercice 2.

La distribution statistique discrète d’un certain caractère 𝑋 est représentée dans le diagramme des effectifs suivant :

1. Dessiner sur ce graphe le polygone des effectifs.

2. Le mode de cette distribution est égal à ……….

3. Compléter le tableau suivant :

𝑿 1 7 8 20

Effectif cumulé Fréquence cumulée 4. La médiane est égale à ……….

(9)

Sujet N° 1 (Corrigé)

Exercice 1.

1. La population étudiée est l’ensemble de patients 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭. Le type du caractère est quantitatif. 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 2. Compléter le tableau suivant :

Tension artérielle Effectif Fréquence Effectif cumulé Fréquence cumulée

[110,150[ 16 0.64 16 0.64

[150,172] 9 0.36 25 1

𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭

3. Le type de distribution représentée dans ce tableau est quantitatif groupé. 𝟎. 𝟓 𝐩𝐭𝐬

4. La formule de la moyenne arithmétique de 𝑋 basée sur cette distribution est donnée par ∑ 𝒇_𝒊^𝒂^𝒊^+𝒂^𝒊+𝟏

𝟐

𝟐𝒊=𝟏 𝟎. 𝟓 𝐩𝐭 et sa valeur est 141,16. 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭

5. La classe médiane est la classe [𝟏𝟏𝟎, 𝟏𝟓𝟎[. 𝟎. 𝟓 𝐩𝐭 6. Tracer le polygone des effectifs cumulés 𝟏 𝐩𝐭

7. En déduire de ce graphe (sans calcul) la valeur de de la médiane : 141. 𝟎. 𝟓 𝐩𝐭 Exercice 2.

La distribution statistique discrète d’un certain caractère 𝑋 est représentée dans le diagramme des effectifs suivant :

(10)

1. Dessiner sur ce graphe le polygone des effectifs. 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 2. Le mode de cette distribution est égal à 7. 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭𝐬 3. Compléter le tableau des effectifs cumulés :

𝑿 1 7 8 20

Effectif cumulé 10 30 45 50 𝟎. 𝟓 𝐩𝐭 Fréquence cumulée 1

5 3 5

9

10 1 𝟎. 𝟐𝟓 𝐩𝐭 4. La médiane est égale à 𝟕. 𝟏 𝐩𝐭