N prend la valeur 0 U prend la valeur 1 TantQue U≤ 10
U prend la valeur 3U+2 N prend la valeur N+1 FinTantQue
Afficher N
saisir N
U prend la valeur 1 Pour I allant de 1 à N U prend la valeur 3U+2 FinPour
Afficher U
mathsbdp.fr Devoir de Mathématiques n°1 TS
Ex1. Soit la suite définie pour tout entier naturel par
= 3 + 2= 1
1. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
= 1 ; = 5 ; = 17
− = 4 ≠ − = 12 donc non arithmétique
= 5 ≠ = = 3,4 donc non géométrique
2. Écrire un algorithme en langage courant qui affiche le terme de rang après avoir saisi .
3. Utilise la calculatrice pour donner les valeurs de
= 1457 et
!= 39 365
4. Complète l’algorithme ci ci-contre afin qu’il renvoie le plus petit entier tel que
> 10 ;
! = 39365 et = 118 097 > 100 000 donc = 10
5. On donne la suite & définie par & = + 1 .
Montrer que la suite & est géométrique ; on précisera son premier terme et sa raison.
& = + 1 ⟺ = & − 1
& = + 1
= 3 + 2 + 1
= 3 + 3
= 3 & − 1 + 3 = 3&
donc & suite géométrique de raison ( = 3 et de premier terme & = + 1 = 2
6. En déduire l'expression de & en fonction de , puis celle de .
& suite géométrique donc & = & × ( = 2 × 3
= & − 1 = 2 × 3 − 1
Ex3. & suite géométrique de raison 2 et de premier terme & = 0,001 .
& = & × ( ! = 0,001 × 2 ! = 0,512
* = & + & + ⋯ + & = & 1 × 1−( 1−(
20= 0,001 × , , = 1048,575
Ex3. On considère la suite définie par 0 = - avec - ∈ ℝ et par la relation de récurrence
1 = 0 avec 0 1 = 41 − 1. a) Exprimer 2 en fonction de -.
= 4- − 1
= 4 4- − 1 − 1 = 16- − 4 − 1 = 16- − 5
b) On choisit - = 5 ; calculer 2.
= 4 − 1 = 19 ; = 4 − 1 = 76 − 1 = 75 ;
2 = 4 × 75 − 1 = 299
Ex4.
Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel , 2 ≥ + 1 .
①Soit 4 la propriété : 2 ≥ + 1
②Initialisation : 2 = 1 et 0+1=1 donc 2 ≥ 0 + 1 donc 4 vraie
③Hérédité : on suppose 4 vraie pour ≥ 0
Montrons que 4 est vraie, c’est-à-dire que 2 ≥ + 2 .
4 vraie donc 2 ≥ + 1
On multiplie l’inégalité par 2 ; on obtient : 2 ≥ 2 + 2
or entier naturel donc ≥ 0 ; en additionnant de part et d’autre + 2 , on obtient 2 + 2 ≥ + 2
On a donc 2 ≥ 2 + 2 ≥ + 2 donc 4 vraie.
④Conclusion : 4 vraie
et 4 héréditaire
donc par récurrence, pour tout entier naturel on a 2 ≥ + 1
Ex5. Soit la suite définie par : = 4
= − + 3
a) = − 0 + 3 = 4 − 0 + 3 = 7
= − 1 + 3 = 7 − 1 + 3 = 9
b) − = − + 3 ≤ 0 pour ≥ 3 car − + 3 ≤ 0
⟺ 3 ≤
⟺ ≥ 3
donc la suite est décroissante à partir de ≥ 3
BONUS Déterminer l’entier naturel tel que : 20 + 21 + 22 + ⋯ + = 4 760
