Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1
Calculs algébriques (fiche 1) Equations
exercice 1 ♣
1. Résoudre (dansIR) l’équationsx2−3x+ 2 = 0. On proposera différentes méthodes.
2. Toujours dans IR, quelles sont les solutions de l’équation x3 −3x2+ 2x = 0. Même question pour l’équation x3−6x2+ 11x−6 = 0 sachant que3est solution (
Indication 1 : essayer de mettrex−3 en facteur dans lepolynôme).
exercice 2 ♣
Résoudre les systèmes suivants (une solution éventuelle est un couple de réels) : ( u+v = 3
u−v = −1 ;
( u+v = 3 uv = 2 exercice 3 ♣
Résoudre les systèmes suivants (une solution éventuelle est un triplet de réels) :
x+ 2y−z = 1 x−y+z = 2 xyz = 0
;
x+ 2y−z = 1 x−y+ 2z = 2 3x−y+z = 3 Sommation
exercice 4 ♣
Si les ai, lesbi,α etβ sont des nombres complexes, on a (compléter) :
n
X
i=1
(α·ai+β·bi) =. . .
Calculer
30
X
k=1
(4k−3).
Indication 2 :
n
X
k=1
k= n(n+ 1) 2 exercice 5 ♣
Les ai étant des nombres complexes, établir que :
n
X
i=1
ai=
n
X
j=1
an+1−j.
Quel nom pourrait-on donner au procédé qui nous fait passer du terme de gauche à celui de droite ?
1. Licence Sciences L1, MaIE1A
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exercice 6 ♣(Double indices)
Les aij sont des nombres complexes pour1≤i≤pet1≤j ≤n. Combien y-a-t-il de nombresaij? SoitS la somme de tous ces nombres. Expliquer pourquoi :
S =
p
X
i=1
n
X
j=1
aij
=
n
X
j=1 p
X
i=1
aij
!
Indication 3 : placer les aij dans un tableau.
exercice 7 ♣ Calculer :
a:= 105+ 104+ 103+ 102+ 10 + 1 + 1 10 + 1
102 + 1 103 + 1
104 ; 1
104 + 1 105 + 1
106 + 1 107 + 1
108 + 1 109 ; 24+ 23+ 22+ 2 + 1 + 1
2+ 1 22 + 1
23. Donner une majoration de log10(a).
Indication 4 :
n
X
k=0
ak= 1−an+1
1−a sia∈Cl eta6= 1.
exercice 8 ♣ Calculer :
n
X
k=0
22k+1.
exercice 9 ♣(Télescopage)
Les xi étant des nombres complexes, exprimer simplement la somme
n
X
i=1
(xi+1−xi). On proposera différents raisonnements.
En déduire la valeur de
100
X
k=1
1 k(k+ 1). Indication 5 : trouver aetb tels que 1
k(k+ 1) = a k+ b
k+ 1.
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