Equations différentielles d'ordre 1 - Cours + TD

Cours Equations différentielles (1)

Définition : Une équation différentielle d’ordre n est une équation reliant une fonction f (n fois dérivable) à ses n premières dérivées. Elle s’écrit :

( t ^, f ⁽ t ^), f

′

⁽ t ^), f

′′

⁽ t ^),... )

=

⁰

E

. (1)

• L’ordre de l’équation diff. est l’ordre maximal des dérivées qui apparaissent dans l’éq. (1).

• Une solution de l’équation diff. (1), sur un intervalle I de R = toute fonction vérifiant l’éq.(1) pour tout

t

∈

I

• Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle c’est trouver l’ensemble de toutes les fonctions f satisfaisant cette équation. Cet ensemble s’appelle aussi solution générale de l’équation diff.

Notations : La fonction inconnue est souvent notée y et ses premières dérivées y’(t) et y’’(t) sont notées et ₂

( )

2

dt t f

d

(Ce sont des fonctions de t, pas des nombres !).

) d (t df t

Exemple :

1 ( )

2 2

t e C i dt R di dt

i

L d

+ + = ou

i e

i C R i

L

′′+ ′+

1

=

Equations différentielles linéaires du premier ordre

)

( ) ( ) ( ) ( )

( t y t b t y t c t

a

′ + = (2)

où a, b et c sont des fonctions continues sur un intervalle I, avec a(t) ∫ 0 sur I.

L’équation homogène associée à (2) est l’équation sans second membre:

a ( t ) y

′

( t )

+

b ( t ) y ( t )

=

0

. Exemples :

t y

′−

3 y

=

sin( t )

: équation avec second membre

t y

′−

3 y

=

0

: équation sans second membre (éq. homogène associée) Théorème 1: Résolution de l’équation différentielle de premier ordre HOMOGÈNE

Si a et b sont des fonctions dérivables sur un intervalle I, avec a(t) ∫ 0, alors l’ensemble des solutions sur I (ou la solution générale) de l’équation diff. homogène :

0 ) ( ) ( ) ( )

(t ×y′ t +b t ×y t =

a , est

y ( t )

=

k e

^−F(t)

où k est un réel quelconque et F est une primitive sur I de la fonction

) (

) (

t a

t t

→

b

.

Cas particulier : Si

a (t )

et

b (t )

sont des fonctions constantes, l’éq.diff. s’écrit : ,avec c=const et la solution générale est : .

) ( )

(t c y t y′ =

t

e

c

k t y ( ) =

Théorème 2: Résolution de l’équation différentielle de premier ordre NON HOMOGÈNE

La solution générale de l’équation non homogène

a ( t ) y

′

( t )

+

b ( t ) y ( t )

=

c ( t )

est donnée par la somme entre

• la solution générale

y

₁

( t )

=

ke

^−F(t) de l’équation homogène associée

a ( t ) y

′

( t )

+

b ( t ) y ( t )

=

0

et

• une solution particulière

y

₂

( t )

de l’équation avec second membre :

y ( t ) = y

₁

( t ) + y

₂

( t )

La solution particulière

y

₂

( t )

de l’équation avec second membre est cherchée :

• en fonction de la forme des coefficients de l’éq.

a (t )

et

b (t )

(cas des coefficients constants) et

• en fonction de la forme du second membre

c (t )

: si

c (t )

polynôme ou fonction trigonométrique ou exponentielle, on cherche une solution particulière de même forme.

Solutions d’une équation différentielle avec conditions initiales : on fixe les constantes.

TD Equations différentielles (1)

Equations différentielles de premier ordre ^HOMOGÈNES Exercice 1 : Résoudre, dans R, les équations différentielles :

a) y′+2y =0 ; b)

y

′−

4 y

=

0

; c)

2 y

′+

3 y

=

0

; d)

( 1 + t

²

) y ′ + 2 ty = 0

; e)

y

′−

2 ty

=

0

Exercice 2 : Déterminer la fonction

f : I

→

R

, (

I

un intervalle) telle que la tangente à son

graphique en chaque point

( t , f ( t ) )

soit de pente 3t²f(t).

Equations différentielles de premier ordre NON HOMOGÈNES

Exercice 3 : Résoudre, dans R, l’équation différentielle : y′−ay =b

Exercice 4 : Pour les équations suivantes, déterminer une solution particulière de l’équation non homogène sous forme de polynôme de premier degré. Déterminer la solution générale de l’équation homogène associée et en déduire la solution générale de l’équation donnée.

a) y′−2y=−4t ; b) 2y′+ y =t; c) y′−y =1−t ; d) y′−4y=2t−1

Exercice 5 : Pour les équations suivantes, déterminer une solution particulière de l’équation non homogène sous forme de polynôme de 2^ème degré. Déterminer la solution générale de l’équation homogène associée et en déduire la solution générale de l’équation donnée.

a) y′(t)= y(t)+t² +t ; b) 2y′(t)−y(t)=−t² +5t ; c) 5y′(t)−2y(t)=2t² −6t+4 Exercice 6 : Pour les équations suivantes, déterminer les réels αet β tels que la fonction

) 3 sin(

) 3 cos(

)

(t t t

g =α +β soit une solution particulière de l’équation non homogène. Déterminer la solution générale de l’équation homogène associée et en déduire la solution générale de l’équation donnée.

a) y′(t)−2y(t)=13sin(3t); b) 2y′(t)− y(t)=−15cos(t)−16sin(3t) ; c) 2y′(t)+3y(t)=5cos(3t) Exercice 7 : On considère l’équation différentielle : y′(t)−2y(t)=e^{2 t} (*)

a) Montrer que la fonction h(t)=te^2t est une solution particulière de l’équation non homogène (*).

b) Résoudre l’équation homogène associée et en déduire la solution générale de l’équation (*).

c) Déterminer la solution de l’éq. (*) vérifiant la condition initiale

y(0)= -1

.

Problème 1 (Circuit RC): Un condensateur de capacité C se décharge dans un circuit de résistance R et d’inductance nulle. La tension u(t)du courant dans ce circuit vérifie l’équation différentielle :

0 ) 1 ( )

( + =

′ u t

t R u

C .

a) Déterminer la tension u(t)du courant dans un circuit.

b) Sachant qu’à l’instant t=1s, la tension n’est plus que le 5^ème de sa valeur initiale, montrer que

) 5 ln(

1 R=C

Problème 2 (Circuit RL): Un circuit série comprend un générateur de force électromotrice

e(t)

et une bobine de résistance

R

et d’inductance

L

.

i) Déterminer l’intensité i(t)du courant dans le circuit, sachant qu’elle vérifie l’équation différentielle : )

( ) ( )

(t Ri t e t i

L ′ + = ,

dans les cas : a) e(t)= E =5=const. ; b) e(t)=Ecos(ωt) ( E=5V ,R=10Ω, L=1H ) ii) Déterminer la solution i(t)qui vérifie la condition initiale

i(0)= 0

.

ii) Déterminer le moment à partir duquel l’intensité est supérieure à 0,1A. t₁