TD n°2 : Physique des plasmas (session du 21/09/10)
Exercice 1 :
Référentiel du laboratoire et du centre de masse – Mouvement relatif.
On considère deux particules, 1 et 2, qui effectuent une collision élastique.
On assimile les particules à deux masses ponctuelles m1 et m2. On désigne par rr1 et rr2
21 rr
leur position et par vr1 et vr2
leur vitesse en fonction du temps. A chaque instant, la particule 1 exerce une force F12
r
sur la particule 2 et la particule 2 exerce une force F21 r
sur la particule 1.
On noteF12 F21 r r =− .
1) Exprimer rr1 et rr2
en fonction de R r
, position du centre de gravité et de rr rr1 rr2
−
= , la
position relative des particules 1 et 2.
2) Montrer que le centre de gravité est animé d’une vitesse vrg
constante.
3) En combinant les équations du mouvement des particules 1 et 2, montrer que le mouvement relatif est identique au mouvement d’un mobile fictif de masse
2 1
2 1
m m
m m
= +
µ en collision avec un centre de force immobile.
Correction :
a) Position du centre de masse :
2 1
2 2 1 1
m m
r m r R m
+
= +
r r r
m r m R m r m r
m r m m
m
r m r r R m
m r m R m r m r
m r m m
m
r r m r R m
r r r r r r
r r r
r r r r r r
r r r
2 1
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2 1 1
) (
) (
− +
= + ⇒
+ + =
+
= +
+ +
= + ⇒
− + =
−
= +
b)
[ ]
cste v
F m F
m dt
r m d dt
r m d m m dt
R vd
g =
⇒
= + +
=
+
= + r
r r r
r r
1 0 1
21 12 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
c)
2 21 2
2 1
2 1
2 21 2 1
1 2
2 2 21
2 2 2
2 12 2 1 2 2
1 2 12
1 2 1
dt F r d
m m
m m
dt F m r m R m d m
dt F r m d
dt F m r m R m d m
dt F r m d
r r
r r r
r r
r r r
r r
=
= +
⇒
−
=
− +
=
=
+ +
=
µ µ
Le mouvement relatif est identique au mouvement d’un mobile fictif de masse
2 1
2 1
m m
m m
= + µ qui évoluerait autour d’un point avec le vecteur position rr rr1 rr2
−
= sous l’action d’une force d’interaction F12
r
(potentiel central).
Exercice 2 :
Mouvements collectifs.
1) Quelle est la condition sur νei et ωp pour que les ondes plasmas déterminent le comportement du plasma ?
2) Montrer que le l.p.m des collisions électrons-ions est proportionnel à Te2 ?
3) Vérifier que
Λ
= lnΛ
p
ei ω
ν
4) Pour quels types de plasmas, les ondes plasmas déterminent-elles le comportement du plasma ?
Correction :
a)
p
ei ω
ν <<
b)
2 2 / 3
e e
e ei
th
ei T T
n V T
l ≈ ∝ ∝
ν c)
ei e
e B
B e
e
D e
e p
T n
n e
T k
T k e m
n e r
m n
e ν
ε
πε ε
λ
ω ε Λ∝ Λ∝
≈
Λ
≈ Λ
Λ 4 ln ln
ln ln
32 12
2 0
0 2 12
0 2
0 12
0 2
d) Plasmas cinétiques.
Remarque :
o Aux échelles de temps ωp−1, la dynamique du plasma est dominée par des phénomènes collectifs de charge d’espace.
o Aux échelles de temps νei−1, les phénomènes de collisions dominent.
