TD n°3 : Physique des plasmas (session du 06/10/09)

(1)

TD n°3 : Physique des plasmas (session du 06/10/09)

Exercice 1 :

Estimation de la distance d’un pulsar.

Partie 1 : propagation d’une onde électromagnétique transverse dans un plasma.

a) En utilisant un modèle à deux fluides, établir la relation de dispersion d’une onde électromagnétique transverse dans un plasma. On fera apparaître une pulsation de coupure caractéristique. Vous détaillerez les équations et les approximations utilisées.

b) En déduire la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

c) Application numérique : calculer la fréquence caractéristique dans le cas de l’ionosphère (n=10¹²m⁻³

).

Partie 2 : estimation de la distance d’un pulsar.

Un pulsar émet un large spectre de radiation électromagnétique qui est détecté par la Terre par une antenne accordée autour de 80 MHz. La dispersion en vitesse de groupe par le plasma interstellaire fait que chaque pulsation d'onde EM détectée sur Terre à un glissement en fréquence d’environ MHz s

dt

df =−5 / .

d) En supposant

ω

² >>

ω

²_pe et en négligeant le champ magnétique dans l'espace interstellaire montrer que :

2 3

fpe

f x c dt df ≈−

Avec

π ω

2

pe

fpe = et x la distance du pulsar.

e) En supposant que la densité moyenne de l'espace interstellaire est n_e₀ =2.10⁶m⁻³, à quelle distance se trouve le pulsar ?

(Exprimer la distance en parsec : 1 parsec⁼³^.¹⁰¹⁶

[ ]

^m ⁾

(2)

Correction :

Nous allons considérer les ondes dans un plasma en utilisant le modèle à deux fluides. Nous supposons que le plasma est formé d’ions (indice i) une fois chargés et d’électrons (indice e).

Les équations de base sont : Equations fluides :

( )

⁼⁰

∇

∂ +

∂

k k

k n u

t

n r r

k =i,e

( ) ^∑

≠

+

∧ + +

−∇

=



 



 + ∇

∂

l k

kl k

k k k k

k k k

k u u p n q E u B R

t m u

n . . ( )

r r r r

r r r

k =i,e Le terme R_kl tient compte des collisions coulombiennes entre différentes espèces avec :

lk k

l kl k k

kl n m u u R

R = (r −r )=−

ν

Avec

ν

_kl la fréquence de collisions entre l’espèce k et l.

Equation d’état :

(

⁻

)

₌₀

dt n p d _k _k^γ^k

e i k = ,

Equations de Maxwell :

t E B

∂

−∂

=

∧

∇ r r r

t E j c

B ∂

+ ∂

=

∧

∇

r r r r

0 2

µ

1

a) Nous commençons par définir un état d’équilibre qui décrit le milieu dans lequel les ondes vont se propager :

0 0

0 n n

n_e = _i =

0 0

0 = _i =

e u

ur r

0 0

0 = B =

E r r

Les quantités décrivant l’onde sont considérées comme de faibles perturbations de l’équilibre.

Ondes électromagnétiques transverses :

• Nous supposerons que la fréquence de l’onde est telle que seuls les électrons peuvent réagir à l’onde. Les ions ne jouent aucun rôle dans la propagation de l’onde.

• Nous supposerons un plasma non-collisionnel R_kl =0.

• De plus nous allons négliger le terme de pression p_e =0 dans l’équation de Newton, ce qui rend superflue l’équation d’état. C’est l’hypothèse du plasma froid.

(3)

L’onde est transverse c'est-à-dire que le champ électrique est perpendiculaire au vecteur d’onde.

Les équations fluides étant non-linéaires, nous allons les linéariser et de plus, nous allons simplifier le problème en passant de l’espace

( )

^x,^t à l’espace de Fourier

( ) ^ω

^,^k

Une petite perturbation à l’équilibre donne

1

0 e

e

e n n

n = + avec 1

0 1 <<

e e

n n

1 e

e u

ur r

= E1

E r r =

B1

B r r =

En remplaçant ces grandeurs dans les équations de base et en ne gardant que les termes d’ordre 1, on obtient le système d’équations linéarisées :

( )

1 ⁰ 0

1 + ∇ =

∂

e e

e n u

t

n r r

1 0 1

0 en E

t m u

n_e _e ^e _e

r r

−

∂ =

∂

t E B

∂

−∂

=

∧

∇ ₁ ¹

r r r

t E u c

en

B _e _e

∂ + ∂

−

=

∧

∇ ₁ ₀ ₀ ₁ 1₂ ¹

r r r

r µ

On passe dans l’espace de Fourier.

L’onde étant transverse, on a en utilisant l’équation de Poisson : 0

. ₁ ₁

0 =− =

− ik E en_e r r

ε

Nous n’avons pas de perturbation de densité associée à l’onde électromagnétique transverse (n_e₁ =0

)

et l’équation de continuité n’est pas utile.

Le système algébrique obtenu est donc :

1

1 E

m u e

i

e e

r r

− ω =

1

1 i B

E k i

r r

r∧ =−ω

−

2 1 1 0 0 1

1 i E u c

en B

k

i _e _e

r r r

r∧ =−µ + ω

−

(4)

En combinant ces équations, nous arrivons à l’équation suivante :

( )

² ¹

0 0 2 1 2

1 E

m n e E c

k k

e

e r

r r r







 −

=

∧

ω

ε

( )

² ¹

0 0 2 1 2

2 1

1 E

m n e E c

k k E k

e

e r

r r r r







 −

=

−

⋅

ω

ε

1 0

2 0

0 2 2

2  =







 + − E

m n c e

k

e

e r

ε ω

Pour éviter la solution trivialeE₁ =0 r

, il faut que le facteur multiplicatif soit nul c'est-à- dire :

2 2 2 2

c pe

k

ω

= +

Avec

e e

pe m

n e

0 0 2 2

ω = ε la pulsation plasma électronique

2 2 2 2

c pe

k

ω

= + est la relation de dispersion des ondes électromagnétiques transverses dans un plasma.

e e

pe m

n e

0 0 2 2

ω = ε se comporte comme une fréquence de coupure. Il n’y a pas d’onde qui se propage en dessous de la pulsation plasma (on a des ondes évanescentes).

b) Vitesse de phase :

c k c

c k v k

pe pe

ph >

= −

= +

= 2 2

2 2 2

ω ω ω ω

ω

Vitesse de groupe :

c k c

v_g = − ^pe <

∂

= ∂ ₂

2

1

ω

ω ω

c) AN : f =9.02MHz

(5)

d) L’espace interstellaire peut être modélisé par un plasma de faible densité où l’onde électromagnétique a une relation de dispersion du type :

e)

2 2 2 2

c pe

k

ω

= +

et

₂

2

1

ω

ω ω

pe

g c

v k = −

∂

= ∂

Une impulsion émise par un pulsar à une distance x de la terre arrive après un temps :

( )

2 2

1 )

f c f

x v

f x t

g pe

−

=

En inversant cette équation, on remarque que les fréquences les plus basses seront retardées par rapport aux fréquences élevées.











−











 −

= ₃

2 2 / 3 2 2

1 1

f f

f c f x df

dt pe

pe

2 3 2

2 3 / 3 2 2

1

pe pe

pe

f f x c f

f f

f x c dt

df ≈−−









−











 −

−

= Car

ω

>>

ω

_pe

f) AN : L≈600parsec

(6)

Exercice 2 :

Etude des ondes électrostatiques dans le cas d’un système faisceau-plasma.

On considère un plasma composé d'ions et d'électrons qui est parcouru par un faisceau d'électrons de densité n_b₀et qui possède une vitesse fluide à l’équilibreu_b₀.

L'objectif est d'étudier les ondes électrostatiques dans le système faisceau plasma.

1) Calculer la fonction diélectrique

ε ( ) ω

^,^k en supposant que les ions sont froids et immobiles, les électrons du plasma et du faisceau sont froids (p_e = p_b =0) et que la densité à l'équilibre est telle que :

0 0

0 e b

i n n

n = + avec n_b₀ <<n_e₀

où n_i₀, n_e₀ sont respectivement les densités d'équilibre ionique, électronique du plasma et n_b₀ la densité du faisceau.

Indications :

• Ecrire les équations fluides pour les électrons du plasma et du faisceau séparément.

• En déduire une relation de la forme j E r r

σ

.

= avec

σ

la conductivité longitudinale.

• On écrira la susceptibilité diélectrique longitudinale

χ ( ) ω

^,^k ^par

χ

=

σ

ⁱ

ωε

0 .

• La fonction diélectrique

ε ( ) ω

^,^k est définie par

ε ( ) ω

^,^k =¹+

χ ( ) ω

^,^k ^.

2) Discussion qualitative de la relation de dispersion des ondes ES dans ce système.

Correction :

Nous allons montrer avec cet exercice comment un modèle fluide peut nous permettre de modéliser une instabilité due à un faisceau. On va écrire la même méthode que précédemment mais en écrivant des systèmes d’équations différents pour le faisceau et pour les électrons du plasma. On fera l’approximation du plasma froid. Les ions sont considérés comme immobiles et vont servir uniquement à la neutralité du plasma satisfaisant la relation :

0 0

0 e b

i n n

n = +

(7)

1) En partant des équations de continuité et de mouvement (on se placera à une dimension) :

( )

₌₀

∂ +∂

∂

x u n t

n r

E x en

u u t nm_e u

r r r r

−

=



 





∂ + ∂

∂

On peut linéariser pour le plasma (équilibre :n=n_e₀,u =0,E =0

) :

1 0

0

1 =

∂ + ∂

∂

x n u t

n _e

e e

r

1 0 1

0 en E

t m u

n_e _e ^e _e

r r

−

∂ =

∂

Et pour le faisceau (équilibre :n=n_b₀,u =u_b₀,E =0

) :

) 0

( ₀ ₁ ₁ ₀

1 =

∂ + +∂

∂

x u n u n t

n_b _b r_b _b r_b

1 1

0

1 eE

t u u t

m_e u^b _b ^b r r r r

−

=



 





∂ + ∂

∂

Plasma :

Ex exprimant les grandeurs perturbées dans l’espace de Fourier, on obtient :

1 0

0

1 − _e ⋅ _e =

e n ik u

n

i r r

ω

1

1 E

m u e

i

e e

r r

−

ω

=

Afin de trouver la fonction diélectrique, on utilisera

σ ( ) ω

^,^k qui satisfait la relation :

( ) ( ) ( )

^k ^k ^E ^k

j₁

ω

,

σ ω

, ^r₁

ω

,

r =

A partir des équations perturbées, on peut déterminer cette fonction en calculant le courant perturbé :

1 2 0 1 0 2 1 0

1 E

E i m i

n u e

en

j ^pe

e e e

e

r r r

r

ω ω ε

ω

⁼

=

−

=

Avec

ω ω σ ε

i

pe 2

= 0

(8)

Ce qui donne la susceptibilité :

2 2

0

ω

ω ωε σ

χ

p ^pe

i =−

=

Faisceau (on omettra les signes vecteurs par la suite) :

(

0 1 1 0

)

⁰

1− ⋅ _b _b + _b _b =

b ik n u n u

n i

ω

( )

0 1 0 1

1 0

0 0

b b b b

b b

b ku

u n kn

u ikn ku

i − − = ⇒ = −

ω ω

De plus,

( ) (

0

)

1 1

0 1

b e

b b

e m i ku

u eE eE

u iku u

i

m − =− ⇒ =− −

ω ω

En utilisant les vitesse et densité perturbées, on peut alors déterminer le courant perturbé qui nous permettra de calculer

σ

^:

( )

_









+ −

−

= +

−

=

0 0 1 0 1 0 0

1 1 0 1

b b b b b b b

b b b

b ku

u u u kn

n e u

n u n e

j

ω

0 1

0 0

0 1

b b

b en u ku

ku u ku

en =− −







 + −

−

=

ω

ω ω

( ) (

0

)

² ¹

0 2

0 0

1

0 E

i ku m

n e ku ku

i m en eE

e b b b

b e

b = −

−

= −

ω ω ω ω

ω

(

0

)

² ¹

2

0 E

i ku

b pb

= −

ω ω ω ε

2 0 2

0 ( _b )

b pb

p =i =− −ku

⇒

ω

ω ωε

χ σ

A cet instant, on peut mentionner que le seul paramètre commun entre le plasma et le faisceau concerne le champ électrique. Pour écrire la relation de dispersion totale du système, on peut logiquement dire que le champ électrique est produit par la somme des courants du plasma et du faisceau donc :

( ) ( ) ( ) ( )

b p tot b

p tot

tot p

p k j k k E k

j

χ χ χ σ σ σ

ω ω

σ ω

ω

+

= + ⇒

=

⇒

=

+ , , ,

, ₁ ₁

1

r r r

(9)

La fonction diélectrique

^ε ( ) ^ω

^,^k est donc :

( )

₂

0 2 2

2

) 1 (

,

b pb pe

k ku

− −

−

=

ω

ω ω

ω ω ε

Et donc la relation de dispersion

ε ( ) ω

^,^k ⁼⁰^: ) 1

( ₀ ²

2 2

2

− = +

b pb pe

ω

ku

ω ω

ω

2) Discussion qualitative

La relation de dispersion obtenue permet d’analyser les solutions possibles.

Si l’on suppose que n_b₀ <<n_e₀ (ce qui est souvent le cas dans la réalité) on a également

ω

²_pb <<

ω

²_pe. On peut normaliser la relation de dispersion par

ω

²_pe^{soit ;}

( )

¹

~ ) (~

~ , 1

~

2 0

2 =

+ −

=

ω δ ω

ω

^k

ω

H

Avec

pe b pe

pb pe

ku

ω ω ω

δ ω ω ω

ω

2 0 ⁰

2 1,~

~= , = << =

Lorsqu’on obtient une solution avec une partie imaginaire positive, on a une instabilité car :

( ⁱ )^t ⁱ ^t

i t

i _R _I _R _I

e e

e

u₁

≈

⁻^ω

=

⁻ ^ω ⁺^ω

=

⁻^ω ⁺^ω De la fonction ^H^~

( ) ω

^,^k , on note que l’instabilité aura lieu pour :

pe b

pe

ku ku

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

≈

= ⇒

≤

≈

⇔

≈

0 0

0

~

~ 1

En tenant compte de cette remarque, il faut donc chercher une solution de ^H^~

( ) ω

^,^k ^proche de ω~≈1, posons donc

γ

ω~=1+ avec γ <<1

(10)

En remplaçant dans ^H^~

( )

ω^,^k ^:



 



− −



 



=



 



− +



 



=



 



=

⇒

=

2 3 2 1 , 2

2 2 2

13 3

13 2

13 1

2 3

i i

eⁱ ⁿ

γ δ γ δ

γ δ δ

γ δ

^π

La solution 







− +



 





2 3 2 1 2

13

δ

i

est instable.

TD n°3 : Physique des plasmas (session du 06/10/09)