TD - Cours n°4 : Physique des plasmas (session du 12/10/10)

TD - Cours n°4 : Physique des plasmas (session du 12/10/10)

Exercice 1 : Chauffage par résonance cyclotronique électronique (RCE).

Considérons un plasma d’argon de densité électronique n_e =10¹⁸m⁻³ et une température électronique de 10 eV, celle des ions et des neutres est de 300K avec une pression gazeuse totale de 10⁻⁴torr. La colonne cylindrique (axe z) de plasma se trouve située dans une machine linéaire limitée à ses deux extrémités par des miroirs magnétiques.

On veut chauffer ce plasma (déjà créé par d’autres moyens) en utilisant la résonance cyclotronique électronique (RCE) dans la zone de champ magnétique uniforme. A cette fin, on utilisera une fréquence

π ω

2 du champ électromagnétique telle que ^pe 10f_pe

2 =

π

ω où f_pe est la fréquence des électrons du plasma et on supposera que la description des trajectoires individuelles peut être appliquée au fluide d’électrons.

a) Déterminer l’intensité du champ magnétique requise pour qu’il y ait chauffage du plasma par RCE dans la région où celui-ci est uniforme.

b) Déterminer le rapport R du miroir de façon à ce que la perte de particules, dans le cas d’une distribution des vitesses initialement isotrope, soit inférieure à 20%.

c) Compte tenu de b), Tracer un graphique approximatif de B(z).

d) Sachant qu’un effet non-linéaire (instabilité dite paramétrique) dû à l’action du champ électrique HF risque d’apparaître si x_e, l’amplitude d’oscillation des électrons dans le champ HF (encore appelé paramètre d’excursion ), dépasse le dixième de la longueur de Debye des électrons, déterminer le seuil de l’intensité du champ électrique pour l’apparition de la non-linéarité (négliger les collisions dans ce calcul).

e) Calculer approximativement la fréquence de collisions électron-neutre du plasma initial. Ce type de collision nuira-t-il au chauffage cyclotronique ?

Correction :

a) π

ω 2

pe

fpe = et

0 2 0

ω ε

e e

pe m

e

= n AN : f_pe =9GHz.

π ω

2

ce

fce = et

e

ce m

B

= e

ω ^{AN : f}ce ^B

106

8 . 2 ×

= d’où B=3.2T.

b) On sait que

ce B

r V

ω^⊥0

= . Dans le cas présent, _{( )} = =10 e

T

T_eV k^{B e} eV et la vitesse V_⊥ du fluide d’électrons étant la même suivant les deux axes perpendiculaires à B, soit :

e B

eV k T

m _⊥²₀ = 2

1 AN : V_⊥ =1.87×10⁶m/s et r_B =3.3×10⁻³ mm.

c) Le coefficient de réflexion d’un miroir magnétique est donné par : 1− ⁻1

= R

C_r avec

0 max

B R= B

Comme nous voulons C_r ≥0.8 soit R=5, il faut que B_max= 16 T. Il sera nécessaire d’utiliser des bobines supraconductrices.

d) Topologie magnétique d’une machine linéaire à confinement magnétique e) Le paramètre d’excursion, en l’absence de collisions (ω >>ν ) est donné par

2 0 eω

E m

E x = e

Longueur de Debye :

2 0

e n

T k

e B D

λ = ε AN : λ_D =2.3×10^−5m.

Le seuil d’apparition de l’instabilité, par hypothèse, fixé par :

D

xE ≥^0.1λ ^{AN :} E₀ ≥^4.2MV/m f) Fréquence de collisions : ν =0.64×10⁶s^{−1 soit} =^1.1×¹⁰⁻⁶

ω

ν .

Il faut donc un très grand nombre de périodes du champ HF avant qu’il y ait une collision de sorte que celles-ci ne devraient pas affecter significativement le chauffage de type RCE.

Exercice 2 : Diffusion ambipolaire.

Considérons une longue colonne cylindrique d’un plasma d’hélium dont le diamètre est de 20 mm et la pression du gaz est de 0.9 torr. La température des ions et des atomes neutres, déterminée par élargissement Doppler de raies d’émission, est de 500 K. La température électronique est de 56500 K. La densité électronique mesurée sur l’axe est de n_e =10¹⁷m⁻³. On suppose une distribution des vitesses des électrons maxwellienne

a) Vérifier que dans ces conditions, le régime de diffusion est ambipolaire.

b) Calculer approximativement les valeurs du coefficient de diffusion libre des électrons (D_e) et celui de diffusion ambipolaire (D_a) puis les comparer et discuter.

c) A l’instant t=0, on supprime le champ électrique entretenant la décharge. Décrire l’évolution du plasma pour t>0. Déterminer le temps caractéristique de décroissance de la densité électronique sur l’axe (on supossera que Te ne décroît pas de façon significative durant ce laps de temps).

Correction : a)

• Régime de diffusion :

Il faut vérifier tout d’abord que le plasma est bien en régime de diffusion plutôt qu’en chute libre, c'est-à-dire, que le libre parcours moyen l, est plus petit que le rayon du tube de décharge , R. Nous savons que

ν^th

≈V

l où

12

2 







=

e e B

th m

T

V k . La fréquence moyenne, approximative de collisions électrons-neutres pour le transfert de quantité de mouvement dans l’hélium à la « pression réduite » p₀ est ^{9 1}

0

10 4 .

2 × ⁻

= s

p

ν (avec p₀=0.49 dans les

conditions de cette colonne à plasma).

AN : l≈1.1×10⁻³ m de sorte que l<<R Le plasma est bien en régime de diffusion.

• Diffusion ambipolaire :

Pour déterminer si la diffusion est ambipolaire plutôt que libre, nous utilisons le critère suivant :

1 7

2 10

) 0

(r= Λ > cm⁻

n (diffusion ambipolaire)

Comme la densité électronique sur l’axe est n_e0 =10¹¹cm⁻³ et 0.42 405

.

2 ≈

=

Λ R

cm (colonne en configuration cylindrique).

On a : n(r =0)Λ² =1.7×10¹⁰cm⁻¹ >10⁷cm⁻¹

Le critère est vérifié (sauf peut être très prés de la paroi où n est beaucoup plus faible sur l’axe).

Remarque : on pourrait montrer que la recombinaison en volume dans l’hélium n’est plus négligeable si la pression est supérieure à 5 torr et n_e0 >10¹²cm⁻³.

b)

• Calcul du coefficient D_e :

eν

e B

e m

T

D = k AN : D_e ≈730m²s⁻¹

• Calcul du coefficient D_a :

Nous savons que T_e >>T_i. Dans ces conditions, une expression approchée simple de Da est :

i e B

a e

T

D ≈ k µ AN : µ_i =1.6m²s⁻¹V^{−1 donc} D_a ≈^7,8m²s⁻¹

Et nous avons doncD_a <<D_e. La diffusion libre des électrons est plus rapide que celle des ions et des électrons diffusant de concert.

c) Cette situation correspond à une post-décharge temporelle en régime de diffusion. De ce fait, la densité des particules chargées en un point donné décroît de façon exponentielle en fonction du temps suivant la relation :

Dt

e t r n t r

n( , )= ( , =0) ^−ν

Où τ_D =ν_D⁻¹ est le temps caractéristique de décroissance par diffusion, ici de nature ambipolaire. Ce régime persiste au moins jusqu’à ce que la densité décroisse à 1/e de sa valeur initiale, du fait d’une densité initiale suffisamment élevée. Il nous faut donc calculer νDa. Nous savons que :

Λ2

= ^a

i

ν D ^{et comme} ν_i =ν_Da alors ₂

= Λ^a

Da

ν D ^{AN :} ν_Da =⁴⁵¹×¹⁰³s^−1.

D’où τ_D =ν_Da⁻¹ ≈^2.2µs. Nous pouvons conclure qu’au-delà de 10 à 20 fois le temps τ_D^, soit 20 à 40µs, la densité de particules chargées est devenue négligeable.

Eléments théoriques sur le miroir magnétique :

Moment magnétique : un invariant dans l’approximation du centre de guidage :

Considérons le cas où il n’y a pas de champ E appliqué. Nous allons négliger le champ E induit par l’inhomogénéité de B dans le repère de la particule : ceci est conforme à

l’approximation à l’ordre 0 du centre de guidage. Dans ces conditions, l’énergie cinétique totale de la particule , W_T =W_⊥ +W_//, est constante. Il s’ensuit que :

( )

( )



 



=  W

dt V d

dt m W d dt

d

z 2

// 2

1

α (1)

Et par ailleurs :

( )



 

 + 

=



 



=  ^{⊥ ⊥ ⊥}

⊥ B

W dt B d dt dB B W B

B W dt W d dt

d (2)

Sachant que :

z F_z B^z

∂

− ∂

= µ ⁽³⁾

B W_⊥ µ = ⁽⁴⁾ On obtient :

dz dB B W dt dz z B B V W

dt m d dt m dV

V_z ^{z ⊥ z} =− ^{⊥ z}

∂

− ∂

=



 



=  _//² 2 1

α

α (5)

En utilisant (1) et (5) on obtient :

dt dB B V W

dt m

d _{⊥ z}

⊥ =−



 



−  ²

2 1

α (6)

En tenant compte de (2) et (6) :

dt dB B W B W dt B d dt dB B

W_{⊥ z ⊥ ⊥ z}

=



 



+  (7)

Ce qui impose :

( )

=



 



 _⊥ µ

dt d B W dt

d (8)

C'est-à-dire que le moment magnétique µ est indépendant de t (on parle d’invariant adiabatique).

Analyse du miroir magnétique d’un point de vue énergétique :

L’énergie cinétique totale est conservée dans l’approximation du centre de guidage.

On a W_T =W_⊥ +W_// et

( )

( )

dt W d

dt d

// .

De plus, nous pouvons écrire le travail élémentaire effectué par la particule dans le champ B en terme d’énergie cinétique parallèle à B:

//

// dB

dW

Fdz ≈ =−µ (

z F_z B^z

∂

− ∂

= µ ^d’où F_zdz≈−µdB//) (9) Comme

B W _⊥

µ = , nous pouvons écrire :

//

//

// dB

B dB W

dW_⊥ =µ = ^{⊥ (10)} Ou encore :

µ

=

= ^⊥

⊥ //

// B

W dB

dW (11)

Ce résultat signifie que si B_// augmente, il faut W_⊥ augmente de façon à ce que le moment magnétique soit conservé. Lorsque la particule entre dans la zone miroir, son énergie W_// va décroître, puis s’annuler pour augmenter de nouveau quand elle aura été « réfléchie ». Comme W⊥ augmente dans le col et que le rayon de Larmor

c B

r W ω^⊥

= , la question se pose de savoir si rB ne va pas croître au point où la particule toucherait la paroi. En fait, la valeur, de r_B dans la zone miroir diminue car la valeur de B y augmente plus rapidement.

Cône de pertes du miroir magnétique d’une machine linéaire :

Considérons la configuration typique d’une machine linéaire à confinement magnétique (exercice 1). Déterminons les conditions qui font que les particules incidentes vont sortir de la machine, c'est-à-dire « passer à travers le miroir ».

La particule traverse la zone uniforme avec une vitesse V₀ r

(faisant un angle α₀ avec l’axe du champ B) pour atteindre la zone miroir avec une vitesse V

r

(faisant un angle α avec le champ B). Décrivons la vitesse d’une particule suivant ses composantes parallèle et perpendiculaire au champ B. Ainsi dans la région de champ uniforme on V₀ =V_0// +V_0⊥

r r r

avec

2 0 2

//

0

0 = V +V ⊥

V .

Dans l’hypothèse où le champ B varie lentement suivant z et en l’absence de champ E appliqué, nous savons que m V₀² =cste

2 1

α (seul le rapport W//

W_⊥

peut varier) et que le moment magnétique µ est en première approximation constant.

On peut ainsi établir une relation entre la vitesse dans la région à champ uniforme et celle dans le miroir :

0 2 2 0

0 0 2 2

0 sin

2 sin 1

2 1

B V m B

V

m α α

µ = ^α = ^α (12)

α

0sin V

V_⊥ = dans la région du miroir de sorte que :

0

sin 0

sin B

α B

α = (13)

Il y a réflexion de la particule dans la mesure où 2

α >π . La relation (13) montre que si α

Est suffisamment petit, la valeur de B0

B pourra ne pas être assez grande pour avoir sinα =1^. Ce qui est certainement toujours vrai pourα₀ =0^.

Notons α_0m, la valeur minimum de l’angle α₀ pour laquelle il y a encore réflexion des particules au maximum du champ B_max. Si l’on définit le rapport du miroir par :

0 max

B

R= B (14) La valeur α_0m s’obtient pour sinα =1 et donc :

m R

sinα₀ = 1 ⁽¹⁵⁾

L’angle α_0m définit un cône à l’intérieur duquel les particules quitteront le plasma en bout de machine. On peut remarquer que l’efficacité d’un miroir magnétique à réfléchir les particules chargées est indépendante du module de la vitesse de la particule aussi bien que de sa charge et de sa masse.

Pourcentage des particules incidentes réfléchies par un miroir magnétique :

Nous voulons calculer

inc r

Cr

Γ

= Γ , la fraction du flux incident Γ_inc qui est réfléchie par le

miroir, sachant qu’il y a réflexion si α₀ >α_0m. En coordonnées sphériques nous pouvons écrire :

0 0

0^dσ(α )cosα

inc =nV Γ

avec ^dσ =^r2dΩ=^sinα₀^dα₀^dϕ (angle solide élémentaire)

∫

∫

Γ =

= Γ

2

0

0 0 0 2

0 2

0 0 0 2

0

sin cos 2

sin cos 2

0

π π

α

α α α π

α α α π

d r

nV

d r

nV

C ^m

inc r

r (16)

En simplifiant on obtient :

C_r R1 1−

= (17)