TD n°1 : Physique des plasmas (session du 22/09/09)

TD n°1 : Physique des plasmas (session du 22/09/09)

Exercice 1 :

Rappel d’électrodynamique : mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique

E

r

et

B r

.

L’électron est au repos au potentiel V =0 au temps t=0 et se trouve à la positionx= y= z=0. Calculez sa trajectoire.

Correction :

Les équations du mouvement s’écrivent : dt v

r dr r

=

) (E v B₀ m

e dt

v d

e

r r r

× +

−

=

Avec e>0

.

Avec les conditions initiales :

0 ) 0

( =

r 0 ) 0

( =

v

Le champ magnétique est donné par Br B er_z

0

0 =

,

et le champ électrique par

y

y e

L e V

E

Er r r

− 0

=

−

=

.

On sépare le mouvement en vitesse de dérive et une vitesse cyclotronique :

c

D v

v vr r r

+

= Avec :

x z

y

D e

LB e V

LB e V B

B

v E r r r

r r r

0 0 0

0 2

0

0 =− × =−

= ×

vrc

est la vitesse cyclotronique, solution de :

c c c

e

c v B v

m e dt

v

dr =− r × r = r ×Ωr )

( ₀

B0

m e

e c

r r =− Ω

Par conséquent :

y c

x c

c t v t e v t e

vr r r

) cos(

) sin(

)

( = _⊥ Ω +ϕ + _⊥ Ω +ϕ

v⊥et ϕ sont déterminés par les conditions initiales :

x D

y x

c e

LB v V

e v

e v

vr r r r

0

) 0

cos(

) sin(

) 0

( = _⊥ ϕ + _⊥ ϕ =− =

0 0

2 LB v = V

⇒

=

⇒

⊥

ϕ π

Sachant que ) cos( )

sin(α +π2 = α et que ) sin( )

cos(α+π2 =− α , on trouve :

( )

[

ct ex ct ey

]

LB t V

vr r r

) sin(

1 ) cos(

) (

0

0 Ω − − Ω

=

La position s’obtient en intégrant la vitesse :

∫

+

=r ^tv t dt t

r

0

' ') ( ) 0 ( )

( r

r

( ) ( )

[

c c x c y

]

c

e t e

t LB t

t V

rr r r

1 ) cos(

) sin(

) (

0

0 Ω −Ω + Ω −

= Ω

Exercice 2 :

Rappel de théorie cinétique des gaz : distribution Maxwellienne des vitesses.

On décrit la distribution des vitesses des particules (ions et électrons) dans un plasma (ou dans un gaz) par une fonction f(v) qui est une densité de probabilité. La valeur moyenne d’une fonction quelconque de la vitesse A(v) est donc :

∫

=

∫

v d v f

v d v f v A v

A 3

3

) (

) ( ) ( )

( (1)

a) La fonction de distribution maxwellienne à une dimension (par exemple la direction x), pour des particules de masse m et de température T, s’écrit comme :







−

= exp ₂² )

(

t x t

x

m v

v v

v n

f π ⁽²⁾

Où n est la densité de particule (ⁿ⁼

∫

^{f(v)d3v) et vt = 2k}_m^{BT , avec kB} la constante de Boltzmann.

On définit la vitesse thermique comme :

m T v_T = k^B (3)

Pour la fonction de distribution décrite par l’équation (2). Calculer les grandeurs suivantes :

〉

〈

〉

〈

2 x x

v v

L’énergie cinétique moyenne 〈 ²〉 2 1

mvx

b) La fonction de distribution maxwellienne à trois dimensions (3D), pour des particules de masse m et de température T, s’écrit comme :







−

= exp ₂² )

(

t t

m v

v v

v n

f π ⁽⁴⁾

Pour la fonction de distribution décrite par l’équation (4). Calculer les grandeurs suivantes :

〉

=〈

〉

〈

〉

〈

v2

v v

L’énergie cinétique moyenne 〈 ²〉 2 1mv L’écart quadratique moyenne 〈v²〉

c) La vitesse d’une particule étant de v = v²_x +v²_y +v²_z , on peut introduire la fonction de distribution des modules de vitesse g_m(v)=g_m(v)telle que g_m(v)dv est la densité de particules entre

[

^v,^v+^dv

]

.

En partant de la fonction de distribution (4) calculer : )

(v

g_m . Quelle est la vitesse la plus probable ? Indication :

∫

∞ − +



 



 +

Γ

=

−

0

2 1 2

2 1 2

) 1 exp(

n

n n

dx x

x α α

Avec la fonction Gamma définie par :

∫

∞

− >−

= Γ

0

1 ; 1

)

(m x^m e^xdx m

) 1 ( ) 1 ( )

( = − Γ −

Γ m m m

Pour n entier positif,

n n n

n !

)!

1 ( )

( = − =

Γ et Γ(1)=1 (Γ )= π 2

(1 )

Correction :

a) Les moments de la fonction de distribution de vitesse Maxwellienne à une dimension sont facilement calculables :

0 exp

2

exp 2

2 2 2 2

2 =















−

 =







−

=

〉

〈

∫

₋⁺_∞^∞

∫

₋⁺_∞^∞

t x t x t

x t x t

x

x v

d v v v dv v

v v v

v v

π π

Par symétrie de la fonction Maxwellienne.

b)















−

 =







−

=

〉

〈

∫

₋⁺_∞^∞

∫

₋⁺_∞^∞

t x t x t

x t

x t x t

x

x v

d v v v v

v dv v

v v v

v v ₂

2 2

2 2 2

2 2

2 exp exp

π π

Et par une intégration par partie, on obtient :

m T v k

v_x〉 =v^t = _T = ^B

〈 ²

2 2

2

L’énergie cinétique moyenne est donc :

2 2

1 ₂ k T

mv_x〉 = ^B

〈

b) Pour la fonction Maxwellienne en 3D :

=0

〉

〈v

π π π π

π π

t t

t t t t

v dx v

x x

v d v v v v

v v 2

) 2 2 ( 1 ) ( ) 4 exp(

) ( exp 4

)

( ₀ ³²

2 3

3 4 2

2 3

3  Ω= − = Γ =









−

=

〉

〈

∫

^∞

∫

T k v

m dv

dv v dv

v v v v

v v m v

mv _{x y z x B}

t z y x t

z y x

2 3 2

exp 3 )

2 ( 1 2

1 ₂

2 2 2 2 3

2 2 2

2 = 〈 〉 =











 + +

+ −

= +

〉

〈

∫

_π

On a donc :

m T v₂ 3k^B

=

〉

〈

c) La fraction de particules entre

[

^v,^v+^dv

]

est :

( )

_v^{v d dv m}_{k T} ^v _v^{v dv}

v dv v

d v f dv

v g

t B

t t

m 



 



−







= 











  Ω







−

= Ω

=

∫ ∫

^{2 22}

2 / 3

4 2

2 2

4 exp

4 2 exp

) ( )

( π π

π

π π

Pour la calculer la vitesse la plus probable, on dérive g_m(v) par rapport à v :

t t

m v v

v v v dv

v

dg ( ) =0⇒2 −2 =0⇒ =

2 3

Exercice 3 :

Gaine de plasma, longueur de Debye et notion d’écrantage.

Un « demi-plasma » occupe initialement le demi-espace gauche (x≤0). Lorsqu’on laisse les électrons se mouvoir, ils ont tendance à occuper l’espace situé à droite x>0 de la frontière initiale (interface plasma-vide) du fait de l’agitation thermique. Si on suppose qu’une couche électronique d’épaisseur x se déplace d’une distance x, il se forme un champ E

r

au bord du plasma.

a) Que vaut le champ électrique

b) Que vaut l’énergie potentielle à la distance x ?

c) Pour quelle valeur de x cette énergie est égale à l’énergie thermique ?

Correction :

a) Le problème est unidimensionnel.

ex E n en dx

E dE ^{e e}

0 0

0 ε ε

ερ _{⇒ =− ⇒ =}

=

∇r r

b) La force d’interaction dérive d’un potentiel.

2 0

2

0 2

2e x U n

e x eE n

U

F _p ^e _p ^e

ε

ε ^{⇒ =}

−

=

−

=

−∇

r =

d) On en déduit la longueur de Debye :

2 2 0

2 1

e n

T x k

T k U

e B B

p

=ε

= ⇒

2 0

e n

T k

e B D

λ = ε

La longueur de Debye λ_D est l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasi- neutralité et les phénomènes d’écrantage électrique.

Exercice 4 :

Quasi-neutralité, fréquence plasma

Dans un plasma d’hydrogène infini homogène, la quasi-neutralité implique quen_e0 =n_i0 =cste. Supposons qu’on établisse un défaut de quasi-neutralité sur une couche infinie d’épaisseur L où à l’intérieur de la couche ( x <L/2) on a

, 0

0 _{i i}

e n n

n = = (Pour x >L/2, on a n_e0 =n_i0.

a) Calculer le champ électrique maximal dans la couche. Calculer la différence de potentiel entre x=0 et x=L 2. Application numérique : L = 1mm et n_i0 =10²⁰m⁻³. Commenter.

b) Ecrire l’équation du mouvement pour un électron de masse m_e se trouvant en ) 2

0

(t L

x = = avec une vitesse initiale nulle. Que représente le terme

e i

m n e

0 0 2

ε ^.

c) Nous allons effectuer le calcul complet de la fréquence plasma. Pour cela, on se place dans le cadre de petites oscillations de plasma autour de l’équilibre sous la forme d’ondes planese^i(ωt−kx). En utilisant les équations de quantité de mouvement, les équations de continuité pour les électrons et les ions ainsi que l’équation de Poisson, vous démontrerez que la fréquence plasma peut s’écrire sous la formeω²_p =ω²_pe +ω²_pi.

Correction :

a) Le problème est symétrique par rapport à l’axe Oy et par conséquent le champ E r

est nul sur cet axe. On obtient donc

en x x E

c x

E

c x E

E

i x

x

x

0 0 0

0 0

0 0

) 0

( ε ε

ρ ερ

ερ

=

=

= ⇒

= ⇒

=

+

=

= ⇒

∇r r

Calcul du potentiel électrique :

V V

AN

L Edx en

dl E

V ⁱ

L

5

0 2 0 2

/

0

10 . 26 . 2 :

8

−

=

∆

−

=

−

=

−

=

∆

∫

^r

∫

_ε

On remarque que les grandeurs sont considérables pour une couche de seulement 1 mm d’épaisseur. Ceci est dû à l’amplitude de la force électrique où, avec des densités de charges relativement faible, on obtient des champs électriques énormes. Il est donc difficilement imaginable d’avoir un plasma où les différences de potentiel sont à ce point élevées et dans la mesure où le plasma est constitué d’électrons et ions il va évoluer rapidement de manière à satisfaire à la quasi-neutralité.

b) L’équation du mouvement d’un électron soumis à la force de cette couche peut s’écrire :

0

0

0 2 0

2 2

2

0 2 0 2

2

>

=

= +

⇔

−

=

−

=

= ω ε

ε ω

e i p

p i

x x

e

m e n

dt x x x d

e eE n

dt F x m d

Solution harmonique :

) sin(

) cos(

)

(t A t B t

x = ω_p + ω_p

Les conditions initiales nous donnent A=L/2,B=0 )

2cos(

)

( L t

t

x = ω_p

La particule a donc un mouvement harmonique de fréquence

π ω

2

f = p . Cette grandeur s’appelle la fréquence plasma électronique. L’onde correspondante (onde Langmuir) peut se propager dans des plasmas non-magnétisés.

c) Calcul complet de la fréquence plasma : Pour chaque espèce α :

) .(

0 ) (

) .(

) .(

0

Continuité v

t n n

Newton E

t q m v

Poisson E

=

∇

∂ +

∂

∂ =

∂

=

∇

α α α

α α

εα

ρ

r r r r r r

Perturbation du système :

1 1

1 0

E E

v v

n n n

=

= +

=

Linéarisation :

0 ) (

0 ) (

) (

1 0 1

1 0 1

1 1

1 1

0 1 1 1

=

∇

∂ +

∂

=

∇

∂ +

∂

∂ =

∂

−

∂ =

∂

− −

=

∇

i i i

e e e

i i

e e

i e

v t n

n

v t n

n

E t Ze m v

E t e

m v

e Zn E n

r r r r r r

r r r r

ε

( ) 0 ( ) 0

0 1 1 2 0

1 2 1

2 0 1

2 ∇ − − =







−

∂ +

⇒ ∂

− =

∇

∂ +

∂

ε ⁱ

e e

e e e

e

e n Zn

m n e t n m

E n e

t

n r r

r

(1)

( ) 0 ( ) 0

0 1 1 2 0

1 2 1

2 0 1

2 ∇ − − =





 + 

∂

⇒∂

=

∇

∂ +

∂

ε ⁱ

e e

i i i

i

i n Zn

m n Ze t

n m

E n Ze

t

n r r

r

(2)

En posant α =n_e1 −Zn_i1 et en effectuant (1) – Z×(2) :

2 0

2 + =

∂

∂ α ω α

t p avec

i i e e pi pe

p m

e Z n m

e n

0 2 2 0 0

2 0 2 2 2

ε ω ε

ω

ω = + = +

Exercice 5 :

Loi de Saha et taux d’ionisation

Dans un plasma à l’équilibre thermodynamique (particules et radiation) le taux d’ionisation du gaz est décrit par l’équation de Saha. Pour un plasma d’hydrogène, le taux d’ionisation

n n n

y= nⁱ = ^e (avec n=n_i +n₀ et n₀ est la densité de neutres) en fonction de la température T est donné par :



 



−



 



= 

− h k T

T k m n y y

B H B

e χ

π exp

1 2 1

2 / 3 2 2

Avec h la constante de Planck et χ_H l’énergie d’ionisation de l’hydrogène.

Représenter graphiquement le taux d’ionisation en fonction de la température pour trois densités n=10¹⁶,10¹⁹,10²⁰m⁻³ ? Pour ces trois valeurs de densité, à quelle température T on a y =1/2 ?

Correction :

La loi de Saha décrit le taux d’ionisation d’un plasma à l’équilibre thermodynamique et s’exprime comme :



 



−



 



= 

− h k T

T k m n y y

B H B

e χ

π exp

2 1 1

2 / 3 2 2

Afin d’obtenir le taux d’ionisation, on peut résoudre cette l’équation polynomiale suivante :

2 0 4

1

2 2

2 a a a

y a

ay y y a

y = ⇔ + − = ⇒ − ± +

−

Où 1 2 ^3/2exp 0

2 >



 



−



 



= 

T h k

T k m a n

B H B

e χ

π

On obtient deux solutions. On note que le taux d’ionisation est compris entre 0 et 1. Ce qui restreint les solutions. L’expression du taux d’ionisation sous sa forme la plus abordable est :

2

2 4 a a y−a+ +

La solution analytique à ce problème n’est pas possible. On adopte donc une résolution numérique. Les valeurs sont données dans le tableau suivant :

n [m-3] 10¹⁶ 10¹⁸ 10²⁰ T [K] 6000 7200 9000

On remarque ainsi qu’à une température de 1eV (11400 K), les trois cas considérés sont presque entièrement ionisés. C’est bien inférieur à l’énergie d’ionisation de l’Hydrogène.

En fait la loi de Saha est dérivée pour le cas où on n’a un équilibre, c'est-à-dire quand on autant d’atomes qui s’ionisent ou d’ions qui se recombinent pendant le même laps de temps. Ceci s’exprime comme :

〉

= 〈

〉

〈 _{ion e e rec e}

n v n v

n σ σ

[ ]

^m2

σ correspond à la section efficace, ^ne

[ ]

^m−3 à la densité d’électrons et ^v

[ ]

^{m/s à leur}

vitesse. Le produit 〈σv〉 représente en quelque sorte la probabilité de passer un état à un autre par unité de temps. En élevant la température, la probabilité d’ionisation est plus élevée que celle de la recombinaison.

Ceci explique donc le fait que l’on ait bien une température de transition inférieure à l’énergie d’ionisation pour les différentes densités.

En augmentant la densité, on augmente aussi la probabilité pour un électron de rencontrer un ion et donc se recombiner. Ainsi, plus on aura un plasma dense et plus la température devra être élevée afin de totalement l’ioniser.