Continuité Équations

(1)

Continuité Équations

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

Blaise Pascal

septembre 2016

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 9 septembre 2016 1 / 27

(2)

Sommaire

1. Continuité 1.1 Définition

1.2 Continuité et limites de suites 1.3 Lien entre continuité et dérivabilité

2. Fonctions et équations : l’analyse au secours de l’algèbre

(3)

Sommaire

(4)

Dans tout ce paragraphe,f désigne une fonction etI un intervalle inclus dans son domaine de définition.

Soita∈I.

Définition 1

f est continue enasignifie que lim

x→af(x) =f(a).

f est continue surI signifie que pour touta∈I,f est continue ena.

Idée

Graphiquement, la courbe représentative d’une fonctioncontinuepeut se tracer

« sans lever le crayon ».

(5)

Soita∈I.

Définition 1

x→af(x) =f(a).

Idée

(6)

Soita∈I.

Définition 1

x→af(x) =f(a).

Idée

(7)

Soita∈I.

Définition 1

x→af(x) =f(a).

Idée

(8)

x y

a

Cf

x y

• a A

Cf

(9)

x y

a

Cf

f est continuea.

x y

• a A

Cf

(10)

x y

a

Cf

f est continuea.

x y

• a A

Cf

f n’est pas continue en a.

(11)

Remarque

On peut définir la notion de continuité à droite

(respectivement à gauche) lorsque dans la définition on remplace « limite » par « limite à gauche » (respectivement limite à droite).

Par exemple la fonction partie entière, représentée ci-dessous, est continue à droite en touta entier, mais pas à gauche.

x y

0 1

1

•

@

(12)

Exercice 1

Soitf la fonction définie surRparf(x) =

(x+ 2 si x61

−2x+ 5 si x >1

1.

Tracer la courbeC_f représentant la fonctionf.

2.

La fonctionf est-elle continue en 1 ?

Exercice 2





 xcos

1 x

six6= 0

0 six= 0

Étudier la continuité de la fonctionf en 0.

(13)

Exercice 1

(x+ 2 si x61

−2x+ 5 si x >1

1.

Tracer la courbeC_f représentant la fonctionf.

2.

La fonctionf est-elle continue en 1 ?

Exercice 2





 xcos

1 x

six6= 0

0 six= 0

Étudier la continuité de la fonctionf en 0.

(14)

Propriété 1 (admis)

Les fonctions affines, polynômes, sinus, cosinus sont continues surR.

Les fonctions 1

xⁿ (n∈N^∗)sont continues sur

−∞; 0

et sur

0 ; +∞ . Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. La fonction racine carrée est continue sur

0 ; +∞ . La fonction exponentielle est continue surR.

La fonction logarithme népérien¹est continue sur

0 ; +∞ .

Remarque

La somme et le produit de deux fonctionsuetv continues surIest continue surI.

Le quotient de deux fonctionsuetv continues surI (avecv qui ne s’annule pas surI) est continue surI.

Siuest continue surI et siv est continue suru(I)alors la composéev◦u est continue surI.

(15)

Propriété 1 (admis)

Les fonctions affines, polynômes, sinus, cosinus sont continues surR. Les fonctions 1

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. La fonction racine carrée est continue sur

0 ; +∞ .

Remarque

(16)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.

La fonction racine carrée est continue sur

0 ; +∞ .

Remarque

(17)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

La fonction exponentielle est continue surR. La fonction logarithme népérien¹est continue sur

0 ; +∞ .

Remarque

(18)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

. La fonction exponentielle est continue surR.

0 ; +∞ .

Remarque

(19)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Remarque

1. que vous ne connaissez pas encore . . .

(20)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Remarque

La somme et le produit de deux fonctionsuetvcontinues sur Iest continue surI.

(21)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Remarque

(22)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Remarque

(23)

Propriété 1 (admis)

−∞; 0

et sur

0 ; +∞

.

Remarque

(24)

Sommaire

(25)

Méthode

Soit(un)une suite définie par la donnée deu0 et la relation de récurrence un+1=f(un).

Si on sait que(un)converge vers un réell et si f est continue enl alors : d’une part : lim

n→+∞un+1=l d’autre part : lim

n→+∞f(un) =f(l)







doncl=f(l) (par unicité de la limite)

Il reste à résoudre l’équationl=f(l). On dit quel est un point fixe def.

(26)

Méthode

n→+∞f(un) =f(l)







(27)

Méthode

n→+∞f(un) =f(l)







(28)

Exercice 3

Soit(un)la suite définie paru0= 2et, pour tout entiern>0, par u_n+1=√

4u_n−3.

1.

À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite(un).

2.

Démontrer, par récurrence, que pour toutn∈N,16u_n6u_n+163.

3.

Démontrer que la suite(un)est convergente, puis déterminer sa limite.

(29)

Sommaire

(30)

Théorème 1

Sif est dérivable surI alorsf est continue surI.

Démonstration

Soita∈I.

Dire que la fonctionf est dérivable enasignifie que la fonctionT, définie pour touthdifférent de 0, aveca+hdansI, parT(h) = f(a+h)−f(a)

h a pour

limitef⁰(a)quandhtend vers 0.

Pour touth6= 0, on a alorsf(a+h) =f(a) +hT(h). Comme lim

h→0T(h) =f⁰(a)alors lim

h→0hT(h) = 0et donc lim

h→0f(a+h) =f(a). Posonsx=a+h. Le résultat précédent devient alors lim

x→af(x) =f(a). C’est-à-diref est continue ena.

Attention !

La réciproque est fausse !

La fonctionvaleur absoluefournit un contre-exemple : elle est continue en 0, mais non dérivable en 0.

(31)

Théorème 1

Démonstration

Soita∈I.

h a pour

Pour touth6= 0, on a alorsf(a+h) =f(a) +hT(h). Comme lim

h→0T(h) =f⁰(a)alors lim

h→0f(a+h) =f(a). Posonsx=a+h. Le résultat précédent devient alors lim

x→af(x) =f(a). C’est-à-diref est continue ena.

Attention !

(32)

Théorème 1

Démonstration

Soita∈I.

h a pour

Pour touth6= 0, on a alorsf(a+h) =f(a) +hT(h).

Comme lim

h→0T(h) =f⁰(a)alors lim

h→0f(a+h) =f(a).

Posonsx=a+h. Le résultat précédent devient alors lim

x→af(x) =f(a).

C’est-à-diref est continue ena.

Attention !

(33)

Théorème 1

Démonstration

Soita∈I.

h a pour

Pour touth6= 0, on a alorsf(a+h) =f(a) +hT(h).

Comme lim

h→0T(h) =f⁰(a)alors lim

h→0f(a+h) =f(a).

Posonsx=a+h. Le résultat précédent devient alors lim

x→af(x) =f(a).

C’est-à-diref est continue ena.

Attention !

(34)

Remarque

Ce théorème dit aussi que sif n’est pas continue ena, alors elle n’a aucune chance d’être dérivable ena...

La dérivée d’une fonction continue n’est pas forcément continue.

(35)

Remarque

Ce théorème dit aussi que sif n’est pas continue ena, alors elle n’a aucune chance d’être dérivable ena...

La dérivée d’une fonction continue n’est pas forcément continue.

(36)

Exercice 4





 x²sin

1 x

six6= 0

0 six= 0

1.

Démontrer quef est dérivable en 0.

2.

On a demandé à une calculatrice formelle de dériver cette fonctionf pour x6= 0.

Voici une copie d’écran :

1 Recopier et compléterf⁰(x) =

. . . six6= 0 . . . six= 0.

2 On souhaite prouver quef⁰ n’est pas continue en 0.

1 Étudier la limite dex7−→cos

₁

x

en 0.

2 Étudier la limite dex7−→2xsin

₁

x

en 0.

3 conclure

(37)

Sommaire

(38)

Pour certaines équations, les techniques élaborées dans les classes antérieures ne s’appliquent plus. Y a-t-il d’autres moyens d’étudier ces équations ?

Par exemple, l’équationx³−6x²+ 6 = 0admet-elle des solutions surR? Si oui, peut-on les déterminer de façon exacte ? Ou tout au moins leslocaliser?

(39)

Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires - admis)

Soientaetbréels (aveca < b) etf une fonctioncontinuesur a;b

. Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b),il existe au moins un réelα∈

a;b tel quef(α) =λ.

Remarque

f(a)n’est pas nécessairement inférieur à f(b).

L’existence deαest assurée par la continuité def.

On n’a pasnécessairementl’unicité deα. D’ailleurs le théorème n’indique pas le nombre de solution de l’équation ni même les valeurs des solutions.

(40)

Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires - admis)

. Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b), il existe au moins un réelα∈

Remarque

f(a)n’est pas nécessairement inférieur à f(b).

(41)

Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires - admis)

Remarque

f(a)n’est pas nécessairement inférieur àf(b).

(42)

Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires - admis)

Remarque

(43)

Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires - admis)

Remarque

(44)

Exercice 5

Montrer que l’équationx³−6x²+ 6 = 0admet des solutions dans[5; 6].

Remarque

Dans le cas d’intervalles ouverts, on remplace les images par les limites. Ce qui est le cas pour :

a;b ,

a; +∞ ,

a; b ,

−∞;b ,

−∞;b et

−∞; +∞

Exercice 6

Montrer que toute équation polynômiale de degré 3 à coefficients réels admet au moins une solution réelle.

(45)

Exercice 5

Remarque

a;b ,

a; +∞

, a; b

,

−∞;b ,

−∞;b et

−∞; +∞

Exercice 6

(46)

Exercice 5

Remarque

a;b ,

a; +∞

, a; b

,

−∞;b ,

−∞;b et

−∞; +∞

Exercice 6

(47)

Corollaire (Théorème de la bijection)

Soientaetbréels (aveca < b) etf une fonctioncontinueetstrictement monotonesur

a;b .

Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b),il existeun uniqueréelα∈ a;b

tel quef(α) =λ.

Démonstration

À faire.

(48)

Corollaire (Théorème de la bijection)

a;b .

Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b), il existeun uniqueréelα∈ a;b tel quef(α) =λ.

Démonstration

À faire.

(49)

Corollaire (Théorème de la bijection)

a;b .

Pour tout réelλcompris entref(a)etf(b), il existeun uniqueréelα∈ a;b tel quef(α) =λ.

Démonstration

À faire.

(50)

x y

f(a) f(b)

t u

a b

@ A

λ

α

>

∨

Cf

(51)

Remarque

comme pour le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection s’étend à tout type d’intervalle quitte à remplacer l’hypothèse sur les images par celle sur les limites ;

la stricte monotonie est une condition suffisante pour l’unicité deα, mais pas nécessaire ;

en pratique, la stricte monotonie def est souvent obtenue en la dérivant. Mais le théorème de la bijection n’impose pas la dérivabilité def : il couvre donc ainsi même les cas oùf ne serait pas dérivable mais juste continue et strictement monotone ;

le théorème de la bijection, comme le théorème des valeurs intermédiaires sont des théorèmes d’existence. Ils ne donnent pas la valeur deα. On peut néanmoins la localiser et en donner un encadrement ou une valeur approchée à l’aide de laméthode par balayageou pardichotomie.

(52)

Remarque

en pratique, la stricte monotonie def est souvent obtenue en la dérivant. Mais le théorème de la bijection n’impose pas la dérivabilité def : il couvre donc ainsi même les cas oùf ne serait pas dérivable mais juste continue et strictement monotone ;

(53)

Remarque

en pratique, la stricte monotonie def est souvent obtenue en la dérivant.

Mais le théorème de la bijection n’impose pas la dérivabilité def : il couvre donc ainsi même les cas oùf ne serait pas dérivable mais juste continue et strictement monotone ;

(54)

Remarque

en pratique, la stricte monotonie def est souvent obtenue en la dérivant.

Mais le théorème de la bijection n’impose pas la dérivabilité def : il couvre donc ainsi même les cas oùf ne serait pas dérivable mais juste continue et strictement monotone ;

(55)

Exercice 7

On donne le tableau de variation d’une fonctionf définie surR. x

f(x)

−∞ −1 4 +∞

−∞

2 2

−5

+∞

Déterminer le nombre de solution de l’équationf(x)−3 = 0.

Exercice 8

Soitf la fonction définie surRparf(x) =x−2 +e^−x.

1.

Démontrer que l’équationf(x) = 2admet deux solutions dans R.

2.

À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude10⁻² près de chacune des solutions.

(56)

Exercice 7

On donne le tableau de variation d’une fonctionf définie surR. x

f(x)

−∞ −1 4 +∞

−∞

2 2

−5

+∞

Déterminer le nombre de solution de l’équationf(x)−3 = 0.

Exercice 8

Soitf la fonction définie surRparf(x) =x−2 +e^−x.

1.

Démontrer que l’équationf(x) = 2admet deux solutions dans R.

2.

À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude10⁻² près de chacune des solutions.

(57)

Méthode (Dichotomie pour une fonction croissante)

On calculem le milieu de[a;b].

Sif(m)est positif, c’est que la solution se trouve dans[a;m]: on affecte àb la valeur demafin de pouvoir continuer le processus.

Dans le cas contraire, la solution se trouve dans[m;b]: on affecte àala valeur demafin de pouvoir continuer le processus.

On continue le processus jusqu’à obtenir un encadrement avec la précision voulue.

(58)

Méthode (Dichotomie pour une fonction croissante)

(59)

Méthode (Dichotomie pour une fonction croissante)

(60)

Méthode (Dichotomie pour une fonction croissante)

(61)

Exercice 9

1.

Montrer que l’équationx³−6x²+ 6 = 0admet trois solutionsx₁,x₂ etx₃ surR(x₁< x₂< x₃).

On souhaite maintenant déterminer des encadrements des solutions à10⁻⁴ près.

2.

Répondre à la question grâce à la méthode par balayage.

3.

Nous allons répondre à cette même question en utilisant cette fois-ci la méthode par dichotomie :

1 Faire tourner cet algorithme à la main en complétant le tableau ci-dessous : Départ Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4

a 5 5,5

b 6

b−a 1

m 5,5

f(m)<0 vrai

(62)

Exercice 9 (suite)

3.

² L’algorithme ci-dessous met en œuvre la méthode par dichotomie lorsque la fonction est croissante.

Variables : a, b et m sont des réels.

Initialisation : Entrer a et b.

Traitement : Tant que b-a>0,0001

Affecter à m la valeur (a+b)/2

Si f(m)<0 alors affecter à a la valeur m Sinon Affecter à b la valeur de m Fin de Si

Fin de Tant que Sortie : Afficher a et b Programmer cet algorithme.

À l’aide du programme, donner un encadrement à10⁻⁴ près dex1 et dex3.

3 Modifier l’algorithme pour qu’il affiche un encadrement dex2à10⁻⁴ près.

4.

Déduire des questions précédentes le signe def.

(63)