cours 8: Equation d’ ´etat

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Introduction

Thermo EOS

Introduction `a la physique des plasmas

cours 8: Equation d’ ´etat

S. Mazevet

Laboratoire de Structure Electronique D´epartement de Physique Th´eorique et Appliqu´ee

Commissariat `a l’Energie Atomique Bruy`eres-Le-Chˆatel,France

Orsay, Octobre 2010

Orsay, Octobre 2010 p-1/33

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Introduction

Thermo EOS

Table of contents

1 Introduction

Hydrodynamique et hydrodynamique radiative D ´efinition d’une ´equation d’ ´etat

Exp ´erience

2 Relations thermodynamiques fondamentales

3 Equation d’ ´etat´

Equation d’ ´etat polytropique Equation de Saha

Ionisation par pression Interactions Coulombiennes Gas de Fermi

Orsay, Octobre 2010 p-2/33

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Introduction

Thermo EOS

Hydrodynamique radiative

R´esoudre de mani`ere num´erique les ´equations hydrodynamiques du cours 3 `a 1, 2, ou 3 dimensions demande un ensemble

d’algorithmes tr´es pouss´es

Le challenge important est d’obtenir la grille num´erique la plus efficace pour le probl`eme `a r´esoudre

Lorsque la rayonnement est important, il faut le prendre en compte comme un fluide suppl´ementaire `a traiter (approximation la plus simple)

On parle alors d’hydrodynamique radiative

Les ´equations hydrodynamiques doivent alors ˆetre g´en´eralis´ees Par example, l’´equation de conservation du moment l’´equation fluide, devient alors

ρ∂

∂tu+ρu.∇u=−∇(p+pR) (1) avecp_Rla pression radiative

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Introduction

Thermo EOS

Hydrodynamique radiative II

CommeP ≡kBT etPR= ⁴₃^σ_cT⁴ `a partir du rayonnement d’un corps noir, etσla constante de Stefan-Boltzmann.

Lorsque la temp´erature augmente, la pression radiative devient dominante.

On parle alors de plasma o`u la radiation est dominante On obtient la temp´erature de transition en posantP=PR

T(keV) = 1 1.6×10⁻⁹

3k⁴_Bcρ(1 +Z) 4σm_pA

^1/3

= 2.6

ρ(1 +Z) A

^1/3

(2) o`u on a utilis´e une ´equation d’´etat polytropique etρen g/cm³.

p=ρ(1 +Z)kBT

Am_p (3)

Pour une exp´erience en laboratoire ou `a l’int´erieure d’une ´etoile ρ≡1g/cm³.

Des temp´eratures de l’ordre du keV sont donc n´ecessaires pour que la radiation domine.

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Introduction

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Hydrodynamique radiative III Les simulations hydro-rad sont appliqu´ees de la FCI `a l’astrophysique Si les particules deviennent

relativistes, il faut traiter de mani`ere uniforme les particules et les photons Les donn´ees fondamentales pour ces simulations sont l’´equation d’´etat (relation (ρ,T,P)) et l’opacit´e (absorption) qui d´ecrivent le comportement de la mati`ere en densit´e et temp´erature

Figure: Simulation de la formation d’une ´etoile massive

Simuler tous les plasmas demandent de connaitre les propri´et´es de la mati`ere, son ´equation d’´etat et les propri´et´es de transport associ´ees (absorption, r´esistivit´e,..) sur un tr´es large domaine de pression et temp´erature parfois impossible `a reproduire en laboratoire

Nous nous limiterons au cas o`u la radiation n’est pas dominante.

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Equation d’ ´etat

Une ´equation d’´etat est une loi unique `a chaque ´el´ement reliant la pression et l’´energie interne `a la densit´e et la temp´erature

Nous avons vu dans le cours 3 une ´equation d’´etat simple, l’´equation d’´etat polytropique

Cette relation n’est valable qu’aux tr´es hautes temp´eratures lorsque les constituants se comportent comme des gaz parfaits Pour toutes les autres conditions il faut mesurer et/ou mod´eliser Il faut donc d´ecrire le comportement d’un ´el´ement en pression et temp´erature variant des conditions normales aux conditions extrˆemes recontr´ees en astrophysiques ou dans les sch´emas de fusion

Ces quantit´es sont ensuite tabul´ees et lues lors de la simulation hydrodynamique pour produire une description physique Nous avons vu dans les chapitres pr´ec´edents qu’une ´equation d’´etat est n´ecessaire pour fermer le syst`eme d’´equations de hydrodynamique

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Equation d’ ´etat: example de l’hydrog `ene

L’hydrog´ene se trouve sous forme gazeuse et mol´eculaire dans les conditions normales Lorsque l’on varie la pression l’hydrog`ene se solidifie si la temp´erature reste faible.

L’hydrog`ene se dissocie puis s’ionise lorsque la temp´erature et la pression augmentent

Figure: Diagramme de phase de l’hydrog`ene Une ´equation d’´etat compl`ete de l’hydrog`ene est un mod`ele

permettant de d´ecrire le comportement de l’hydrog`ene du plasma tr´es peu dense et tr´es chauds que l’on trouve dans les tokamaks aux plasmas denses et froids des int´erieures plan´etaires.

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Equation d’ ´etat: exp ´erience

Mesurer le comportement d’un ´el´ement en pression et temp´erature est tr´es difficile

Il se transforme (changement de phase liquide-solide, solide-solide) , s’ionise, se dissocie,...

Mesures statiques: on utilise des cellules `a enclume diamant (jusqu’`a 350GPa et 5000K)

Mesures dynamiques: on comprime `a l’aide d’un choc Les mesures dynamiques ont d´emar´ees avec des explosifs, des canons,...

On utilise maintenant les lasers de puissance pour atteindre des pressions de plusieurs Mbar et des temp´eratures de plusieurs milliers de degr´es sur des ´echantillons millim´etriques

Pour un choc on parle de relation d’Hugoniot reliant l’´etat initial `a l’´etat final obtenu lors d’un choc

(U1−U2) +1

2(V1−V2)(P1+P2) = 0. (4) La difficult´e consiste `a utiliser un diagnostique rapide pour mesurer l’´etat transient obtenu

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Equation d’ ´etat: exp ´erience

La difficult´e des mesures dynamiques est illustr´ee par la controverse autours de l’´equation d´etat de l’hydrog`ene Il a fallut 10 ans d’exp´erience sur les grandes installations lasers (Omega) et Z-pinch (Sandia) pour obtenir une

´

equation d’´etat de l’hydrog`ene en pression en accord avec la th´eorie Durant 10 ans, deux exp´erience

´

etaient en contradiction Implication importante pour la mod´elisation de Jupiter et pour la cr´edibilit´e de la th´eorie

Figure: Hugoniot de l’hydrog`ene

Un nombre important de mod`eles ont ´et´e d´evelopp´es

Premier succ´es de la simulation num´erique utilisant seulement les lois de la m´ecanique quantique: simulation de dynamique moleculaire quantique

Lors d’un choc l’hydrog`ene est dissoci´e puis ionis´e

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Thermodynamique

La physique statistique permet de calculer les propri´et´es physiques d’un syst`eme compos´e d’un tr´es grand nombre de particules.

La thermodynamique ´enonce des relations entre des propri´et´es mesurables et macroscopiques, P, T,...

Ces grandeurs thermodynamiques observables se d´erivent `a partir de la m´ecanique statistique `a l’´equilibre

Un exemple vu dans le cours pr´ec´edent: la temp´erature qui est une grandeur thermodynamique, observable et mesurable et sa relation avec la moyenne des vitesses des particules constituant le syst`eme.

Une ´equation d’´etat qui est d´efinie comme la relation entre la temp´erature, la densit´e, la pression et l’´energie interne d’un

´element s’appuie donc sur des relations thermodynamiques.

Une transformation thermodynamique correspond `a un changement d’´etat. La transformation est quasi-statique si les conditions ext´erieures qui conduisent `a la transformation changent suffisamment lentement pour qu’`a chaque instant le syst`eme soit `a l’´equilibre. La transformation est r´eversible si on revient aux conditions initiales lorsque les conditions ext´erieures reprennent leurs valeurs de d´epart. Orsay, Octobre 2010 p-10/33

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Thermodynamique II

Une quantit´e thermodynamique est dite extensive si elle proportionnelle la quantit´e de mati`ere (Nb de particules par exemple). Intensive si elle ne l’est pas Par exemple l’´energie interne U est extensive

On rappelle ici les ´equations fondamentalles utilis´ees dans l’´etude des ´equations d’´etat.

dU = dQ−P dV dE=T dS−P dV (5) dF = −SdT−P dV dG=−SdT+V dP (6)

G = F+P V (7)

o`uU est l’´energie interne,Qla quantit´e de chaleur,P la pression, V le volume,S l’entropie,F l’´energie libre de Helmotz, etG potentiel de Gibbs.

Certains coefficients, d´efinis `a partir de d´eriv´es partielles de fonctions d’´etat revˆetent une grande importance `a la fois dans les

´equations d’´etat et la description de la mati`ere dans les transformations thermodynamiques.

Orsay, Octobre 2010 p-11/33

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Thermodynamique III

C’est particuli`erement le cas pour tous les coefficients de chaleur sp´ecifique

Cv = ∂U

∂T

V

(8) C_p =

∂U

∂T

V

+P ∂V

∂T

P

(9) α = 1

V₀ ∂V

∂T

P

Coeff. expansion thermique (10) κ = −1

V0

∂V

∂P

T

Coeff. de compressibilit´e (11) σ = = 1

P0

∂P

∂T

V

Coeff. de contrainte (12) Ces diff´erents coefficients sont reli´es entre eux.

Orsay, Octobre 2010 p-12/33

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Thermodynamique IV

Une ´equation d’´etat se d´erive `a partir de l’´energie libreF(V, T)

dF =SdT−pdV (13)

La pression donn´ee par

p=− ∂F

∂V

T

(14) et l’entropie est donn´ee par

S=− ∂F

∂T

V

(15) L’´energie interne est donn´ee parE=F+T S

La consistence thermodynamique est obtenue en imposant

∂/∂T(∂F/∂V) =∂/∂V(∂F/∂T)

∂E

∂V

T

=−p+T ∂p

∂T

V

(16)

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Thermo EOS

Equation d’ ´etat polytropique

Lorsque la temp´erature est suffisement ´elev´ee, les ´el´ements constituant sont compl´etement ionis´es

Le comportement de la mati`ere enti`erement ionis´ee est proche du gas parfait.

Il peut ˆetre d´ecrite par une ´equation d’´etat polytropique d´efinit par p = ρ(1 +Z)k_BT

Amp

(17) c²_s =

∂p

∂ρ

s

=γp

ρ (18)

ρ = p

(γ−1) (19)

O`u l’on a d´efinit, l’´energie interne, etZ le degr´e d’ionisation moyen,Ala masse atomique moyenne des ions dans le plasma, et mp la masse d’un proton.

On suppose queZ etγsont des constantes ce qui reste de mani`ere g´en´erale une tr´es mauvaise approximation.

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Equation d’ ´etat polytropique III

Pour l’expression decs, la d´eriv´ee est prise `a entropie constante Si le gas est un gas parfait,γ= 1 + 2/navec nest le nombre de degr´ees de libert´e

Ces ´equations impliquent que l’´energie par particule estn/2KBT La chaleur sp´ecifique (`a volume constant) est donn´ee par

cV = ∂

∂T

ρ

(20)

= (1 +Z)kb

(γ−1)AMp

(21) La troisieme ´equation permet ´egalement de d´efinir l’indiceγ

∂p

∂ρ

s

= (γ−1)+ (γ−1)ρ ∂

∂ρ

s

(22)

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Thermo EOS

Equation d’ ´etat polytropique II

en utilisant la deuxieme loi de la thermodynamique

d=dq−pd(1/ρ) (23) comme le flux de chaleur est nul `a entropie constantedq= 0on retrouve alors

∂p

∂ρ

=γp

ρ (24)

La troisi`eme ´equation implique donc quep≡ρ^γ pour un processus adiabatique

Lorsque les ions constituant le plasma ont un num´ero atomique plus ´elev´e que l’hydrog`ene ou l’helium, ils sont rarement compl´etement ionis´es.

Ceci n’arrive que lorsque la temp´erature devient sup´erieure a plusieurskeV o`u lorsque la densit´e devient plusieurs dizaine de fois sup´erieure `a celle du solide.

Orsay, Octobre 2010 p-16/33

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Degr ´ee d’ionisation d’un plasma multicharg ´e

Pour le soleil par exemple, le Fer n’est pas que partiellement ionis´e Il est donc important d’avoir une th´eorie qui permet de d´ecrire un plasma partiellement ionis´e ou de mani`ere plus simple de connaitre le degr´ee d’ionisation `a une temperature et une densit´e donn´ee Pour construire une ´equation d’´etat mˆeme de type polytropique, il est donc primordiale de determiner le degr´ee d’ionisation de l’ensemble des esp`eces constituant le plasma.

La densit´e ´electronique estZni mais la valeur de la charge moyenne d´epend de la temp´erature et de la densit´e pour une esp´ece atomique donn´ee.

Pour connaitreZ il faut donc calculer la population relativeNi des diff´erentes esp´eces ioniques potentiellement pr´esentes dans le plasma.

Le degr´e d’ionisation est alors Z = 1

N X

i

Z_iN_i (25)

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Equation de Saha

D´eterminer le degr´ee d’ionisation d’un plasma est un probl`eme compliqu´e lorsque la densit´e est importante.

Pour des densit´es suffisement importantes pour que le plasma soit

`

a l’equilibre, le degr´ee d’ionisation est obtenu `a partir de la distribution des ´electrons sur les niveaux d’´energies des esp´eces ioniques pr´esentes.

Pour une temp´erature donn´ee, cette distribution est donn´ee par l’´equation de Saha.

Si l’on consid`ere les ´etats fondamentaux des diff´erentes esp`eces ioniques pr´esentes dans un plasma

Pour une plasma d’Al, ces esp´eces sont, par exemple, Al⁺, Al²⁺, Al³⁺,...

L’´equation de Saha donne la population des diff´erentes esp`eces ioniques en consid´erant que les collisions ionisantes et de recombinaison sont `a l’´equilibre

Orsay, Octobre 2010 p-18/33

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Equation de Saha II

L’´equation de Saha donne donc Nj

N_kne= gj

4g_ka³₀ kBTe

πE_H ^3/2

e

−Ej,k

kB Te (26)

o`u nous avons d´efinita0= 5.29×10⁻⁹ le rayon de Bohr,Ej,k

l’´energie n´ec´essaire pour aller de l’´etatj `a l’´etatk etgj etgk le poid statistique de chacuns des ´etats.

Si l’on suppose que tous les ions sont de type hydrog´enoides on peut alors poser pour l’´energie d’ionisation de l’´etatk`ak+ 1

E_(k+1)k=Z_k+1² E_H (27)

o`uEH=h²/(8a²₀π²me).

On peut d´efinir une charge caract´eristique, diff´erente de la charge moyenne en supposant deux ´etats d’ionisationZbal−1/2 et Zbal+ 1/2 pour lesquelsNi/Nk = 1.

Orsay, Octobre 2010 p-19/33

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Equation de Saha III

L’´equation de Saha donne alors

Zbal =

rkBTe

E_H v u utln

"

1 n_e

gj

4g_ka³_o kbTe

πE_H ^3/2#

−1 2 (28)

Z_bal = 19.7 v u utT e

"

1 + 0.19ln Te^3/2

n24

!#

−1

2 (29)

o`uT eest en keV etn24 est la densit´e ´electronique en10²⁴cm⁻³. On a ´egalement suppos´egj=gk.

en posantne=Zbalni, nous avons une ´equation explicite de Z.

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Equation de Saha IV

En utilisant l’expression deZbalon peut donc ´ecrire pourj etk arbitraire

N_j Nk

=e⁻

(jk−Z2 balEH)

kB Te (30)

Pour obtenir la population relative ^N_N^j

1 on doit appliquer cette relation de mani`ere r´ep´etitive

N_j N1

= Π^j−1_k=1N_k+1 Nk

(31) N_j

N1

= Π^j_m=2exp

−m²−Z_bal² kBTe/EH

(32)

= exp

−(j−1)(6 + 5j+ 2j²−6Z_bal² ) 6kBTe/EH

(33) Ceci conduit `a une distribution fortement piqu´ee autours deZ_bal Les ions pr´esents dans le plasma ont donc tous un degr´ee d’ionisation tr´es proche deZbal

Orsay, Octobre 2010 p-21/33

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Equation de Saha V

Le degr´ee d’ionisation d’un plasma se d´efinit de mani`ere plus g´en´erale `a partir des populations de chaques

´

etats ioniques Z =

PZnuc

j=1 jNj/N1

PZ_nuc

j=1 N_j/N₁ (34) L’´equation de Saha est simplement un r´esultat de la physique statistique obtenu en consid´erant les ´energies d’ionisation

Figure: Degr´ee d’ionisation de l’oxyg`ene le long d’un isotherme

L’´equation de Saha implique queZbalest inversement proportionelle `a la densit´e

Lorsque la densit´e augmente l’´equation de Saha n’est plus valide car les ions ne peuvent pas ˆetre consid´er´es comme isol´es

Orsay, Octobre 2010 p-22/33

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Ionisation par pression

Lorsque la densit´e augmente, les ions ne peuvent plus ˆetre consid´er´es comme isol´es et les ´electrons libres deviennent d´eg´en´er´es.

La prise en compte du premier effet repr´esente l’ionisation par pression.

Cet effet se r´esume `a l’abaissement du potentiel d’ionisation des atomes ou des ions constituant le plasma.

Pour un atome ou un ion cet effet se traduit par la disparition des

´etats tr´es excit´es et d’un diminution du potentiel d’ionisation.

La prise en compte de cet effet modifie le comportement deZbalen densit´e et force une ionisation totale pour les plus hautes densit´es.

Cet effet peut se calculer de deux mani`eres diff´erentes suivant le r´egime.

Lorsque la densit´e est faible et que la longueur de Debye est sup´erieure `a la distance inter-ionique, on peut calculer la charge totale produite par le reste du plasma sur cet atome

Les ´etats li´es dont l’´energie est situ´ee entre le continum et ce potentiel sont ´elimin´es.

Orsay, Octobre 2010 p-23/33

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Ionisation par pression II

Ceci peut ˆetre prise en compte dans l´equation de Botzmann par une occupation d´ependant de la densit´e

Nous allons traiter le cas simple o`u la distance moyenne inter-ionique est plus importante que la longueur de Debye, L’´ecrantage ´etant local autour de chaque atome ou ion, on utilise le mod`ele dit de l’ion sph´erique

Dans l’approximation de l’ion sph´erique, on suppose que chaque ion influence seulement la r´egion contenue `a l’int´erieur de la sph´ere de rayonR₀ donn´e par

4π

3 R³₀ni = 1 (35)

o`un_i est la densit´e ionique en cm⁻3.

Pour une densit´e de7.5×10²² on aR0≡10⁻⁸cm.

A l’int´erieur de la sph`ereR₀, la charge des ´electrons doit annuler celle de l’ion

Zi= 4π

3 R³₀ne (36)

Orsay, Octobre 2010 p-24/33

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Ionisation par pression III

En d´eterminant le potentiel ´electrostatique produit par les

´electrons libres `a l’aide de l’´equation de Poisson et en l’utilisant comme perturbation d’un ion hydrog´enoide on obtient le nombre quantique principal le plus ´elev´e possible

nc=

rZiRo

a0

(37) Le mˆeme r´esultat peut ˆetre obtenu en utilisant une description semiclassique

On dit alors que le plus haut niveau quantique possible est celui pour lequel le rayon de l’orbite est equal `aR₀

La r´eduction de l’´energie d’ionisation est donn´ee par

∆E ≡Z_iE_Ha₀ R0

(38)

Orsay, Octobre 2010 p-25/33

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Ionisation par pression IV

On voit que l’importance de cet effet diminue lorsque l’´energie d’ionisation augmente

∆E Z_i²EH

= a_o Zi

4πn_i 3

1/3

≡1.33 n₂₄ T_eV^3/2

!^1/3

(39) La g´en´eralisation pour inclure le comportement `a basse densit´e o`u λD≥R0 est donn´ee par

∆E≡ZiEHmin 2a0

λ_D, a0

R₀

(40)

Orsay, Octobre 2010 p-26/33

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Interactions Coulombiennes

Lorsque la densit´e devient importante, on ne peut plus consid´erer les ´electrons comme un gas id´eal o`u les particules n’interagissent pas entre elles.

La prise en compte de cet effet se fait par l’intermediaire de la fonction d’´energie libre d’HelmotzF

En d´efinissant l’´energie libre ´electroniqueFe, la contribution

´electronique `a la pression, l’entropie et l’´energie interne des

´electrons est alors

pe = ρ²∂Fe

∂ρ (41)

s_e = −∂F_e

∂Te

(42) _e = −T_t² ∂

∂Te

F_e Te

(43)

Orsay, Octobre 2010 p-27/33

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Thermo EOS

Interactions Coulombiennes

Lorsque l’on consid`ere les ´electrons contenus dans la sph`ereR₀ d´efinit dans l’approximation de l’ion sph´erique, l’´energie libre

´electronique est donn´ee par F_e= ZkBTe

Am_p

−1 +ln

Znih³ 2(2πmekBTe)^3/2

− 9 10

Z²e² R₀Am_p (44) o`uZ est le nombre d’´electrons libres par ion.

Le premier terme est l’expression standard de l’´energie libre pour un gas parfait de particule libre de densit´eniZ.

Le deuxi`eme terme repr´esente la contribution des interactions coulombiennes electron-electron et electron-ion.

En consid´erantZ = 0.63√

Te avecTeen eV etni=ρ/Ampon obtient

pe = 0.63kBniT_e^3/2−0.192e²n^4/3_i Te (45) ρ_e = 2.18k_Bn_iT_e^3/2−0.315k_Bn_iT_e^3/2ln

n_ih³ Te(mekB)^3/2

(46)

Orsay, Octobre 2010 p-28/33

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Thermo EOS

Interactions Coulombiennes II

En consid´erant les ions compl´etement ionis´es Z=Znucon obtient p_e = Z_nuck_Bn_iT_e−6^2/3π^1/3

10 e²n^4/3_i Z_nuc² (47) ρe = 3

2ZnuckBniTe−2^2/33^5/3π^1/3

10 e²n^4/3_i Z_nuc² (48) Le syst`eme passe d’une description `a l’autre pour

T_e= (Z_nuc/0.63)².

Pour obtenir une equation d’´etat compl`ete, il faut ajouter la contribution ionique `a la pression et `a l’´energie interne.

pi = ρkBTi

Amp

(49) ik = 3

2 kBTi

Amp

(50)

ii = R/Amp=k_BE_H Amp

Z

X

k=0

k²= k_BE_H 6Amp

Z(Z+ 1)(1 + 2Z)(51)

Orsay, Octobre 2010 p-29/33

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Thermo EOS

Interactions Coulombiennes III

o`uRrepr´esente l’´energie interne par ion.

La pression et l’´energie totale dans les deux r´egimes sont alors p = 1.6×10⁻¹²niTe

1 + 0.63p

Te−2.76×10⁻⁸n^1/3_i

(52)

ρ = 1.6×10⁻¹²n_i (53)

×

1.43p

Te+ 4.20Te+T_e^3/2

1.3−0.315T_e^3/2ln ni

10²³Te

p = 1.6×10⁻¹²n_i

T_e(1 +z_nuc)−6.96×10⁻⁸n^1/3_i Z_nuc²

(54) ρ = 2.4×10⁻¹²ni

825 +Te(1 +Znuc)−1.39×10⁻⁷n^1/3_i Z_nuc² (55) Lorsque la densit´e augmente, la pression baisse par un facteur deux lorsque l’on passe du r´egime id´eal `a haute temperature et basse densit´e vers le sbasse temp´erature

On approche alors le r´egime o`u les electrons sont d´eg´n´er´es et obeissent la statistique de Fermi

Cette baisse de pression est due aux interactions coulombiennes

Orsay, Octobre 2010 p-30/33

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Thermo EOS

Gas de Fermi

Lorsque la densit´e est tr´es ´eleve´ee les ´electrons obeissent `a la statistique de Fermi

f(r, p) = 1

1 +exp((p)−µ)/kBT (56) o`u(p) =p²/2mest l’´energie cin´etique de l’´electron qui d´epend d sonmomentpetµest le potentiel chimique.

Dans le cas non polaris´e, chaque ´el´ement de volumeh³ peut accommoder deux ´electrons donc une densit´e d’´etat2/h³ PourN ´electron dans un volumeV on obtient la relation

N = Z 2

h³d³rd³pf(r, p) = 2V λ³_thI1/2

µ kBT

(57) o`u nous avons introduit l’int´egrale de Fermi

Is(x) = 1

s!

Z ∞

0

dy y^s

1 +exp(y−x) (58)

Orsay, Octobre 2010 p-31/33

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Thermo EOS

Gas de Fermi II

Dans le cas fortement d´eg´en´er´e, l’´equation d’´etat des ´electrons est obtenue `a partir de l’´energie libre

F = N µ+ Z 2

h³d³rd³plnf(r, p) (59)

= N µ−kBT2V λ³_thI_3/2

µ k_BT

(60) Lorsque la densit´e est faible, on aµ/k_BT → −∞et l’on retrouve les expressions du gas parfait.

Orsay, Octobre 2010 p-32/33

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Introduction

Thermo EOS

Dynamique mol ´eculaire quantique Structure ´electronique `a T=0 (Electronic structure)

Boite de simulation p´eriodique Volume et temp´erature constante S´eparation de Born Oppenheimer

H(Ri) =H^e(ψe, Ri) +Hⁱ(Ri) and Fi=−∂E^e(ψ_i, R_i)

∂Ri

Les ´electrons sont trait´es de mani`ere quantique en utilisant la th´eorie des fonctionelles de densit´eab initio ou quantique Les ions sont avanc´es en utilisant les forces produites par les

´electronsDynamique Mol´eculaire

Valable pour les plasmas denses et T<10eV

Orsay, Octobre 2010 p-33/33