Pour une matrice A ∈ Mn,p(R), on d´efinit la matrice transpos´ee not´ee A

LM-125 Calcul Matriciel, MIME, premier semestre 2009-2010 Universit´e Pierre et Marie Curie

Feuille de TD 2 (bis) : matrices Exercice 1. rang d’une matrice en fonction d’un param`etre

Discuter suivantλ∈C, le rang de la matrice,





1 ¹₂ ¹₃

1 2

1 3

1 1 4 3

1

4 λ





Exercice 2. Deux matrices qui commutent.

SoitA, B ∈M_n(K)tel queAB = I+A+A². Montrer queAest inversible puis que les matricesAetB commutent.

Exercice 3. Transposition.

Pour une matrice A ∈ Mn,p(R), on d´efinit la matrice transpos´ee not´ee A^⊥ ∈ Mp,n(R) et d´efinie par A^⊥

i,j =A_j,i.

1. Interpr´eter cette d´efinition en termes de lignes et de colonnes.

2. Soit

A=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

. Montrer queAest inversible d’inverseA^⊥.

Exercice 4. Trace d’une matrice : le retour...

SoitA∈Mn(R). Montrer que sitr AA^⊥

= 0alorsA= 0.

Exercice 5. Matrices nilpotentes.

SoitA∈Mn(K),Aest dite nilpotente si il existe un entier positifptel queA^p= 0.

1. Montrer que siAest nilpotente alorsI−Aest inversible et pr´eciser son inverse.

2. Montrer que la somme de deux matrices nilpotentes est ´egalement une matrice nilpotente.

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