Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés

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Michaël Trovalet

To cite this version:

Michaël Trovalet. Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés. Mé-canique [physics.med-ph]. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2010. Français. �NNT : 2010DENS0008�. �tel-00525935�

CACHAN

ENSC-2009/2010

THESE DE DOCTORAT

DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN

Présentée par

Michaël Trovalet

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN

Domaine

MECANIQUE - GENIE MECANIQUE - GENIE CIVIL

Sujet de la thèse

Sur un modèle micro pour le calcul des structures en

composites stratifiés

Soutenue à Cachan le 29 mars 2010 devant le jury composé de : Christophe Brand Ingénieur, EADS IW Examinateur Francisco Chinesta Professeur, EC-Nantes Président Jocelyn Gaudin Ingénieur, Airbus Examinateur Jean-Claude Grandidier Professeur, ENSMA Poitiers Rapporteur Christian Hochard Professeur, Université de Provence Rapporteur Pierre Ladevèze Professeur, ENS de Cachan Directeur de thèse Gilles Lubineau Professeur, KAUST Co-encadrant

LMT-Cachan

ENS Cachan / CNRS / UPMC / PRES UniverSud Paris 61 avenue du Prsident Wilson, F-94235 Cachan cedex, France

Ce document de thèse marque l’aboutissement de quatre années épanouissantes (aussi bien scientifiquement que socialement) passées au LMT Cachan (Master 2 compris).

Je tiens tout d’abord à remercier mes encadrants, ou devrais-je dire mentors scienti-fiques. Merci à Pierre, mon directeur de thèse, qui a su me faire confiance dès le début de ces travaux, puis, qui m’a amené à une rigueur et une maturité scientifiques excep-tionnelles. Merci à Gilles, mon co-encadrant, pour sa patience et ses explications toujours limpides, ainsi que pour sa disponibilité même à plusieurs milliers de km de distance.

Dans un second temps, je tiens à remercier les membres du jury, monsieur Chinesta pour avoir accepté d’en prendre la présidence ainsi que pour sa bonne humeur, messieurs Grandidier et Hochard, pour avoir accepté la lourde charge de rapporteur, et messieurs Brand et Gaudin pour s’être joint au jury, en tant que représentants pertinents du milieu industriel.

Bien évidemment, le boulot de thésard n’est pas qu’une épopée solitaire. Il est pos-sible au LMT de trouver un soutien permanent que ce soit à travers des discussions scien-tifiques ou des débats philosophiques, toujours très enrichissants. C’est pourquoi je tiens à remercier toutes les personnes qui rendent la vie dans ce laboratoire très agréable. Des permanents a l’oreille toujours attentive aux personnel administratif nous sauvant de bien des situations, en passant par les personnes du centre de calcul.

Je tiens particulièrement à remercier ceux avec qui j’ai été plus proche, à commencer par mes voisins de bureau et amis Manuela, Lionel et Martin, mais également à l’ensemble des thésards faisant la vie de ce labo.

Enfin, je souhaite remercier ceux qui m’ont supporté en dehors du laboratoire. Mes amis, ma famille, et bien évidement Aurélie, pour qui la vie commune avec un thésard n’a pas toujours été une sinécure.

Table des matières

Table des matières i

Introduction 1

1 Le modèle hybride : état de l’art et améliorations proposées 7

1 Le comportement des composites stratifiés . . . 8

1.1 Introduction générale . . . 8

1.2 Phénoménologie des dégradations . . . 8

1.2.1 Dégradations à l’échelle de la fibre . . . 8

1.2.2 Dégradations à l’échelle du pli . . . 10

1.3 Le comportement anélastique . . . 12

1.3.1 La plasticité . . . 12

1.3.2 La viscosité . . . 13

2 Etat de l’art des modélisations . . . 14

2.1 Modélisation des dégradations diffuses et de la fissuration . . . . 14

2.1.1 Modélisations micro-mécaniques . . . 15

2.1.2 Modélisations mésomécaniques . . . 18

2.1.3 Couplage Micro/Meso . . . 20

2.2 Modélisation de la rupture sens fibre . . . 22

2.3 Modélisation des comportements anélastiques . . . 23

3 Les bases du modèle micro hybride . . . 26

3.1 Représentation et modélisation des fissures . . . 27

3.1.1 Les surfaces minimales de rupture . . . 27

3.1.2 Critères de rupture . . . 28

3.2 Le matériau fibre-matrice . . . 30

4 Le modèle micro hybride amélioré . . . 32

4.1 Introduction de la rupture sens fibre . . . 33

4.2 Intégration des comportements plastiques et visqueux . . . 35

2 Une stratégie numérique dédiée : état de l’art 39 1 Introduction : les particularités liées au modèle . . . 40

2 Le choix d’une stratégie numérique adaptée au modèle . . . 40

2.1.1 Les méthodes de décomposition de domaine . . . 41

2.1.2 Les méthodes d’enrichissement . . . 43

3 Une stratégie de décomposition de domaine Multiéchelle . . . 45

3.1 Décomposition de domaine - Problème à résoudre . . . 46

3.2 Comportements d’interface utilisés . . . 48

3.3 Stratégie de résolution itérative . . . 49

3.3.1 Etape locale à l’itération n+1/2 . . . 50

3.3.2 Étape linéaire à l’itération n+1 . . . 51

3.3.3 Contrôle des itérations . . . 52

3.4 Introduction des aspects multiéchelles . . . 52

3.4.1 Séparation des quantités d’interface . . . 53

3.4.2 Admissibilité des quantités macro . . . 54

3.5 Modification de l’étape linéaire . . . 54

3.5.1 Définition du comportement homogénéisé . . . 56

3.5.2 Bilan sur l’algorithme de résolution . . . 57

4 Recherche de fissures . . . 58

5 Implémentation et limites de cette stratégie . . . 59

3 Améliorations de la stratégie numérique 63 1 Implémentation des non linéarités . . . 64

1.1 Bref état le l’art . . . 64

1.2 Implémentation du mésomodèle d’endommagement . . . 67

1.2.1 Calcul local de l’endommagement . . . 67

1.2.2 Résolution par gradient conjugué . . . 68

1.2.3 Interpolation de la solution . . . 69

1.3 Implémentation des anélasticités . . . 70

1.4 Prise en compte de la rupture sens fibre . . . 76

1.5 Bilan sur la stratégie numérique . . . 76

2 Accélération de la recherche de fissure . . . 77

2.1 Les limites de l’utilisation des handbooks . . . 78

2.2 La présélection des fissures potentielles . . . 79

3 Parallélisation . . . 81

3.1 Parallélisation des opérations locales . . . 81

3.2 Partitionnement du problème Macro . . . 84

3.2.1 Les premières tentatives . . . 84

3.2.2 La méthode BDD pour résoudre le problème macro . . 85

3.3 Les performances de la stratégie numérique . . . 88

3.3.1 Le stockage en mémoire vive . . . 89

3.3.2 Le temps de calcul . . . 90

Table des matières iii 4 Illustrations numériques 93 1 Introduction . . . 94 2 Plaques simples . . . 94 2.1 Séquence du type[0n/90m]s . . . 94 2.2 Séquence_[±45]s . . . 97 3 Plaques trouées . . . 101 3.1 Séquence[902/02]s . . . 103 3.2 Séquence du type[45n/0n/ − 45n/90n]s . . . 106 Conclusion et perspectives 111 A Prise en compte des conditions limites complexes 113 1 Problématique . . . 113

2 Solution proposée . . . 114

Introduction

Afin d’atteindre des performances mécaniques toujours plus grandes, les matériaux innovants ne cessent de se développer. Parmi eux, les matériaux composites connaissent un grand succès dans l’industrie. Depuis une vingtaine d’années et leurs premières applications dans l’industrie aéronautique, les composites stratifiés à fibres longues jouent un rôle à part. Utilisés au départ dans des pièces secondaires et peu sollicitées, ils supplantent désormais les alliages métalliques, même dans les structures vitales d’avions. Le dernier né de Boeing, le "Dreamliner", comporte ainsi en masse, 50 pour-cent de composites, dont une bonne part de stratifiés. L’A350 d’Airbus dépassera quant à lui cette proportion. Dans ce dernier, le fuselage, une partie des ailes et des gouvernes seront constitués de composites stratifiés. Les gains non négligeables en terme de poids qu’engendre le remplacement des alliages métalliques par des composites, rendent ces appareils plus sobres, et donc à la fois plus écologiques et économiques. Mais la palette d’applications des composites stratifiés est très large, de la bio-mécanique au génie civil, en passant par l’industrie automobile. Cependant, malgré cette carrière et de très nombreux travaux de recherche les concernant, les stratifiés restent encore mal modélisés, ce qui nuit à la confiance que l’on peut avoir dans leurs capacités. Ceci a pour effet de freiner leur développement.

Ce type de composite, sur lequel a porté mon travail de thèse, est obtenu par la super-position de différents plis élémentaires unidirectionnels (direction des fibres). La direction de chacun des plis peut être différente de celle des plis voisins, si bien qu’il est possible de composer des stratifications complexes adaptées aux chargements mécaniques que la structure devra subir. De cette manière, il devient possible de réduire de manière im-portante le poids des structures, tout en ayant un matériau répondant efficacement aux sollicitations mécaniques.

Chaque pli est constitué d’éléments de base très hétérogènes : les fibres (verre ou car-bone) très rigides noyées dans une matrice polymérique très souple. La grande quantité de fibres et de plis unidirectionnels fait exploser le nombre d’interfaces (fibre/matrice ou pli/pli), qui sont autant de lieux potentiels d’initiation ou de propagation de ruptures. Il en résulte une complexité extrême des phénomènes de dégradation, qui peuvent apparaître à différentes échelles (de la fibre ou du pli). D’autre part, le comportement fortement non-linéaire de la matrice présentant un caractère anélastique fort, va d’autant plus com-plexifier le comportement du stratifié, avec des influences réciproques entre dégradations et anélasticité. En conséquence, malgré la bonne connaissance que l’on a de ces

méca-nismes, ils restent difficiles à modéliser, et a fortiori à simuler. Dès lors, la phase de conception requiert un nombre important d’essais expérimentaux sur des pièces structu-rales.

La tendance industrielle actuelle de l’industrie aéronautique est au "Virtual Testing" durant la phase de conception, c’est à dire au remplacement des essais expérimentaux lourds et coûteux, par des simulations numériques plus économiques et flexibles. Pour tendre vers le "Virtual Testing", deux difficultés doivent être surmontées. Tout d’abord la mise au point d’une modélisation fiable, prenant en compte l’ensemble des dégradations et comportements inhérents au matériau considéré pour des chargements quelconques ; en effet, sans une forte confiance dans les modèles, aucune simulation n’a de sens. La deuxième difficulté est la capacité à faire tourner des simulations réalistes de pièces et structures représentatives.

C’est principalement sur le premier point qu’a porté mon travail de thèse, à travers l’amélioration d’un modèle hybride à l’échelle micro, dans le but d’aboutir à un modèle fiable et représentatif. Le second point a également été abordé de manière détournée, à travers la mise en place d’une stratégie numérique permettant la simulation d’éprouvettes réalistes. Toutefois, le modèle micro hybride doit être vu comme une base de données permettant de prévoir la vie d’un stratifié soumis à diverses sollicitations mécaniques.

Un travail considérable a déjà été fait dans le domaine de la caractérisation des phénomènes intervenant au sein des composites stratifiés. Notamment, de très nombreux auteurs se sont penchés sur l’étude expérimentale des dégradations, qui débutent par des ruptures de l’interface fibre/matrice, pour finir par la localisation des dégradations, menant à des fissures macro, signant la rupture du matériau. Entre ces deux phénomènes, une évolution plus ou moins progressive des dégradations entraîne des pertes en termes de caractéristiques mécaniques. D’autre part, de nombreuses observations expérimentales permettent d’avoir une bonne idée du caractère plastique et visqueux des plis. Ces phéno-mènes étant bien connus, le challenge actuel concerne la modélisation de ceux-ci à travers notamment le choix d’une échelle adaptée. Actuellement, deux grandes catégories de modèles coexistent, d’une part la micromécanique [Dvorak et Laws, 1987] [Nairn, 2000] [Berthelot, 2003] se plaçant à l’échelle de la fibre ou de la fissure, et d’autre part la méso-mécanique [Ladevèze, 1986] [Ladevèze et Dantec, 1992] [Lubineau et Ladevèze, 2008], à l’échelle du pli. La micromécanique des stratifiés se place à l’échelle de la dégradation, et, à l’aide d’une analyse de l’état de sollicitation, tente de prévoir l’initiation ou la propagation des dégradations. En se plaçant au plus près des phénomènes considérés, cette vision a l’avantage d’avoir un fort contenu physique qui permet d’avoir une bonne confiance dans les modèles correpondants. En revanche, en se plaçant au niveau de volumes élémentaires, ce point de vue est éloigné des dimensions des structures généra-lement étudiées. De ce fait, la simulation numérique s’en trouve limitée. A l’inverse, la mésomécanique des stratifiés se place à une échelle supérieure à celle des dégradations, et vise à évaluer les caractéristiques mécaniques résiduelles du matériau dégradé, sans introduire le détail précis de la phénoménologie des dégradations. Par conséquent, il est plus aisé d’effectuer des simulations numériques sur des géométries de taille plus

Introduction 3

réaliste, mais avec un contenu physique plus faible. La fiabilité de ce type de modèle est donc limitée, notamment lorsque les dégradations localisent pour mener à la rupture, où la compétition entre les différents mécanismes de dégradation est mal représentée par cette vision homogénéisée.

Le modèle micro hybride proposé au LMT Cachan s’inscrit dans une démarche de ré-conciliation des visions micro et méso. Il intègre, comme la vision micro, une description discrète de la microfissuration transverse et du délaminage, alors que, comme la vision méso, les décohésions fibre/matrice seront homogénéisées et prises en compte à travers un modèle continu d’endommagement. C’est pourquoi il est considéré comme hybride (discret/continu), ou semi-discret. Son objectif, est de modéliser aux échelles adaptées, l’ensemble des comportements pertinents, permettant de prévoir la vie d’une structure composite, depuis son état initial, jusqu’à sa ruine, en passant par le développement progressif des dégradations. Introduit dans des publications récentes [Ladevèze, 2005] [Ladevèze et al., 2006b], ce modèle restait incomplet. Seule la fissuration (micro fissu-ration et délaminage) et la décohésion fibre/matrice avaient été introduites, or on l’a vu, de nombreux autres phénomènes interviennent ( plasticité, viscosité, rupture sens fibre). D’autre part, l’implémentation numérique dédiée et développée lors des travaux de thèse de D. Violeau [Violeau, 2006] n’introduisait que les phénomènes discrets de fissuration, ne permettant donc pas de traiter des cas pertinents vis-à-vis du modèle. Enfin, l’im-plémentation réalisée, bien que déjà très performante, ne permettait pas de traiter des structures de taille réaliste du point de vue géométrique.

Le travail de thèse proposé dans ce mémoire consiste donc à améliorer et valider ce modèle afin de le rendre représentatif des phénomènes physiques observés. Cela passe notamment par l’ajout des comportements anélastiques (plasticité et viscosité). Ces phénomènes, provoqués principalement par la matrice, influent très fortement sur l’ini-tiation des fissures. Un point important est l’influence mutuelle entre l’endommagement et ces phénomènes anélastiques. En effet, l’apparition de décohésions fibre/matrice va provoquer des concentrations de contrainte dans la matrice, accélérant donc d’autant les événements visqueux et plastiques. Peu de travaux prennent en compte le couplage entre endommagement et anélasticité. A la vue des résultats expérimentaux, il est également nécessaire d’introduire les phénomènes de rupture dans le sens des fibres, qui s’avèrent très complexes, mais indispensables pour mener des simulations jusqu’à rupture finale. La physique est différente suivant que la fibre se trouve en traction ou en compression, un critère phénoménologique est introduit afin de reproduire au mieux ce phénomène. En plus de l’amélioration du modèle à travers ces ajouts, une part importante du travail a porté sur l’augmentation des capacités numériques de calcul, à l’aide d’une stratégie dédiée. En effet, pour valider le modèle, seules des simulations poussées, confrontables aux essais expérimentaux peuvent nous permettre de montrer les capacités du modèle à reproduire fidèlement la réalité. Dans ce cadre, l’implémentation du modèle complet dans la stratégie numérique dédiée s’est avérée indispensable. De plus, les capacités de calcul étant limitées vis à vis des problèmes à traiter, un travail important a également porté sur l’optimisation du code afin de traiter les cas les plus réalistes possibles, notamment à

travers la parallélisation complètes du code. Ainsi, les prédictions du modèle deviennent confrontables aux essais expérimentaux, dans les cas basiques (éprouvettes simples, trouées, entaillées) de caractérisation des stratifiés.

Afin de rendre compte de mes travaux de thèse, ce mémoire se propose d’aborder trois parties distinctes.

La première partie est dédiée à la modélisation. Pour cela, après un rappel des principales observations expérimentales, un état de l’art des modélisations est présenté. A partir de là, les bases du modèle seront jetées. D’une part avec l’introduction des surfaces minimales de rupture permettant de prendre en compte la fissuration, et d’autre part avec le matériau fibre-matrice, milieu continu, résultant de l’homogénéisation d’un volume élémentaire composé de fibres et de matrice. Dans un second temps, les améliorations récemment apportées au modèle seront introduites. Elles concernent la prise en compte de la plasticité, de la viscosité, et de la rupture sens fibre à travers le matériau fibre-matrice. Ces phénomènes se révèlent très influents sur le comportement global du stratifié, et notamment sur l’apparition des fissures. Il sera notamment question de l’influence de l’endommagement sur la plasticité et la viscosité à travers l’utilisation des quantités effectives. Cela permet d’utiliser des lois classiques simples, tout en prenant en compte les non-linéarités fortes qui peuvent apparaître.

La deuxième partie propose, dans un premier temps, un état de l’art des méthodes envisageables pour implémenter le modèle micro. Cela regroupe les méthodes de décomposition de domaine et les méthodes d’enrichissement. La stratégie numérique LaTIn retenue et employée dans les travaux précédents [Violeau et al., 2009] est ensuite détaillée. Ses limites sont mises en évidence, menant aux évolutions détaillées dans la partie suivante.

La troisième partie présente la stratégie numérique améliorée proposée afin de mettre en oeuvre le modèle micro complet, avec comme objectif principal la démonstration de ses capacités. Ces travaux permettent la prise en compte des phénomènes continus, tels que l’endommagement diffus, la plasticité, la viscosité, ainsi que de la rupture sens fibre. Une fois ces briques de bases installées, l’optimisation (temps et capacités de calcul) de cette stratégie numérique est présentée. En effet, l’implémentation basique des modèles dans le code aboutit à des opérateurs numériques et temps de calcul exagérément grands, rendant impossible les simulations, même sur des plates-formes numériques performantes. Pour résoudre ce problème, la parallélisation complète du code est proposée, ce qui permet d’aboutir au traitement de cas réalistes, en utilisant les capacités numériques parallèles disponibles au LMT Cachan.

Dans la quatrième et dernière partie, il est question de la confrontation entre expé-rience et modèle, dans l’optique de valider ce dernier. Pour cela, grâce aux travaux pro-posés dans la partie précédente, des simulations numériques réalistes ont pu être menées

Introduction 5

à bien sur des cas expérimentaux classiques, utilisés pour la caractérisation des stratifiés. Les simulations d’éprouvettes non trouées et trouées, en traction, avec différents empi-lements seront proposées afin de montrer les capacités du modèle à reproduire les essais expérimentaux, et dans certains cas à en montrer les limites.

Chapitre 1

Le modèle hybride : état de l’art et

améliorations proposées

Dans ce premier chapitre, on se propose tout d’abord de faire un état de l’art des principales observations expérimentales

permettant de caractériser les stratifiés . A partir de ces observations, les fondements du modèle hybride seront jetés.

Par la suite, seront introduites les améliorations apportées dans le cadre du travail de thèse permettant de prendre en

compte les dégradations diffuses et les comportements anélastiques de ces stratifiés. Cela permettra d’aboutir à un modèle complet, regroupant les modélisations de l’ensemble

1

Le comportement des composites stratifiés

1.1

Introduction générale

De par leur composition, le comportement des composites stratifiés à fibres longues est extrêmement complexe à appréhender. Les deux éléments de base du pli élémentaire, la fibre et la matrice figure 1.1, ont des propriétés très différentes. Alors que le renfort assure

matrice polymérique

fibres (carbone, verre...) pli unidirectionnel stratifié

FIG. 1.1: Constitution des stratifiés à fibres longues

la raideur du composite, la matrice polymérique, plus accommodante, permet d’assurer des transferts de charge entre renforts, diminuant ainsi la fragilité globale de l’assemblage composite. De plus, elle présente des déformations plastiques et visqueuses très dépen-dantes de la température, du niveau d’hygrométrie, du nombre de cycles ... D’autre part, la présence de très nombreuses fibres dans l’épaisseur d’un pli introduit un nombre très important d’interfaces. Chacune d’elle est un lieu privilégié de rupture potentielle. Ajouté à cela, l’empilement successif de différents plis unidirectionnels à différents angles intro-duisant à nouveau des interfaces, il en résulte un comportement global très complexe, pi-loté par les dégradations intervenant au niveau de ces interfaces (fibre/matrice ou pli/pli). Ces dégradations sont depuis longtemps étudiées à travers de nombreuses études expéri-mentales mettant en évidence leurs mécanismes physiques menant, depuis l’état initial, à la rupture de la structure du stratifié. Les paragraphes ci-dessous proposent un état de l’art des connaissances concernant ces phénomènes. Ils sont séparés en fonction de l’échelle à laquelle ils apparaissent.

1.2

Phénoménologie des dégradations

Les dégradations dont il est question ici correspondent à des ruptures, à une échelle plus ou moins grande. Pour de faibles sollicitations, les premières d’entre elles appa-raissent à l’échelle des fibres, et lorsque le chargement s’intensifie, des fissures à l’échelle des plis unidirectionnels vont se former.

1.2.1 Dégradations à l’échelle de la fibre

La première phase dans la phénoménologie des dégradations correspond à des dé-cohésions entre les fibres et la matrice figure 1.2. Mises en évidence dans différents

Le comportement des composites stratifiés 9

travaux [Harrison et Bader, 1983] [Gamstedt et Sjögren, 1999] [Hoover et al., 1997] [Lagattu et Lafarie-Frenot, 2000] [Sjögren et Berglund, 2000], elles sont réparties de ma-nière plus où moins homogène dans les plis unidirectionnels. Leur présence résulte des concentrations de contrainte apparaissant dans la matrice, autour des fibres, menant à une perte d’adhérence entre fibre et matrice. Leur nombre augmente avec l’intensité du chargement, et provoque une baisse de la rigidité de la zone concernée. Ce phénomène s’observe particulièrement bien sur les plis sollicités en cisaillement, pour lesquels ces dégradations peuvent devenir très critiques.

5 μm

(a) Décohésion entre une fibre et la matrice environnante [Gamstedt et Sjögren, 1999].

20 μm (b) Répartition de décohésions fibre/matrice

[Sjögren et Berglund, 2000]

FIG. 1.2: La décohésion fibre matrice

Un deuxième type de dégradation se produit au niveau de l’interface entre plis uni-directionnels. On appelle ce phénomène le délaminage diffus, car comme la décohésion fibre/matrice, ces ruptures se produisent à petite échelle et se répartissent sur les inter-faces. EIles provoquent également une baisse de rigidité de l’interface, qui influe sur la rigidité globale du stratifié.

La figure 1.3 montre la réponse d’un stratifié_[±45]savant toute microfissuration

trans-verse. La baisse de rigidité observée lors des charge/décharge, caractérisée par une chute de la pente moyenne est due à la multiplication de ces décohésions fibre/matrice et déla-minages diffus. C’est d’ailleurs ce type de constatation macro qui a mené à la recherche d’un mécanisme à petite échelle, préalable aux fissures à l’échelle du pli. Dans ce cas particulier, l’absence de plis à 0◦ permet un développement important des phénomènes diffus, il devient donc aisé d’observer les conséquences de ces phénomènes d’un point de vue macro.

Ces dégradations diffuses, malgré le fait qu’elles contribuent largement à la modifi-cation des caractéristiques mécaniques du stratifié, ne suffisent pas à expliquer les chutes brutales et importantes de rigidité, ainsi que la rupture finale des stratifiés. D’autres phé-nomènes plus sévères apparaissent à la suite de ces premières dégradations.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 10 20 30 40 50 60 70 Déformation macro C o n tra in te ma cro (MPa

) _{pente moyenne}résultat expérimental

FIG. 1.3: Réponse macro d’un[±45]Sen traction (charge/décharge) avant

microfissura-tion transverse. Source : Pascal Thévenet, EADS IW.

1.2.2 Dégradations à l’échelle du pli

 Microfissuration transverse et délaminage

Lorsque le chargement s’accentue, une localisation des dégradations va se produire. Le premier mécanisme qui intervient est la fissuration transverse. Cela correspond au niveau microscopique, à la rupture de la matrice située entre les fibres, causée par les concentrations de contrainte générées par les irrégularités géométriques. Ainsi, les dé-cohésions fibre/matrice vont se rejoindre, pour former une fissure à l’échelle supérieure, comme il est montré figure 1.4(a), c’est ce que l’on appelle la phase de percolation. Elles vont complètement traverser l’épaisseur du pli de manière instable et se propager sur une longueur plus moins grande dans la largeur du stratifié, parallèlement à la direc-tion des fibres. Leur nombre va augmenter avec l’amplificadirec-tion de la sollicitadirec-tion, jusqu’à un certain niveau dit de saturation. Cette saturation coïncide avec le développement du délaminage qui devient prioritaire d’un point de vue énergétique par rapport à la micro-fissuration. La figure 1.4(b) montre le réseau de fissures transverses d’un pli à 90◦ après traction. Dans ce cas, toutes les fissures se sont propagées de manière instable dans la

20 µm

(a) Jonction entres les différentes zones de décohésion fibre/matrice

[Sjögren et Berglund, 2000]

(b) Radiogaphie d’un stratifié carbone époxy(0/904) après traction. Les raies blanches indiquent la présence

des fissures dans le pli à 90◦[Lubineau, 2002]

FIG. 1.4: Développement de la microfissuraton transverse

Le comportement des composites stratifiés 11

quasi-périodique pour des densités de fissures élevées. De même que pour les dégrada-tions diffuses, ces fissures transverses vont provoquer une baisse de rigidité des zones concernées et donc du stratifié entier. Cependant, dans le cas du stratifié [0/904], la

ri-gidité du pli à 0◦ étant très supérieure à celle du pli à 90◦, la chute de rigidité globale du composite sera très faible, à la différence d’un stratifié_[±45n]sen traction, qui lui

su-bira une chute très importante de la rigidité globale à cause des fissures transverses. Cette chute intervient très tard, au moment de la percolation, c’est à dire de l’apparition et du développement catastrophique des fissures (intra et inter laminaires).

La figure 1.5(a) montre comment une microfissure transverse va générer du déla-minage. Au sommet de la fissure transverse, au niveau de l’interface entre deux plis unidirectionnels, des concentrations de contraintes vont se produire. Cette partie étant plus faible, cela va générer une fissure interlaminaire appelée délaminage local. Cette zone fissurée, dans le cas des stratifiés[0n/90m]s, va rester cantonnée aux abords de la

microfissure qui l’a générée. En relâchant localement les contraintes, ce délaminage va participer à la saturation du taux de microfissuration observable dans ce cas. En revanche, dans d’autres cas, celui des_[±45n]snotamment, ce délaminage va se propager de manière

catastrophique sur de très grandes surfaces. On parlera alors de macro-délaminage, qui est en partie responsable de la rupture générale du stratifié, voir figure 1.5(b) .

(a) Délaminage induit par la microfissuration [Blazquez et al., 2009]

(b) Plaque quasi-isotrope troué en traction, rupture par

macro-délaminage [Hallett et Wisnom, 2008].

FIG. 1.5: Délaminage  Rupture sens fibre

Un autre mode de dégradation provoquant la rupture finale du stratifié est la rupture sens fibre. Ceci est particulièrement évident dans le cas des plis sollicités dans le sens des fibres, en traction ou en compression. Les observations expérimentales montrent des fortes différences de contrainte à rupture entre les cas de traction et de compression. La contrainte à rupture en compression peut être deux ou trois fois plus petite qu’en traction. Dans le cas où les fibres sont chargées en traction, la matrice est très peu sollicitée, l’effort est repris presque intégralement par les fibres, et lorsque le chargement atteint le niveau de résistance de celles-ci, une rupture très nette peut être observée, figure 1.6(a).

En revanche, dans le cas de la compression, le phénomène est bien plus complexe. En effet, de par leur géométrie, les fibres sont sensibles au flambage. Tant que la matrice environnante reste saine, le confinement des fibres permet à ces dernières de supporter la sollicitation. Mais à partir d’un certain seuil, la matrice va commencer à se dégrader et permettre aux fibres de flamber. Ceci va avoir pour conséquence de charger d’autant plus la matrice pour former finalement des kink-bands, figure 1.6(b) . Suivant les cas, la fibre peut rompre en flexion, ou bien rester intacte. Cependant, la destruction de la matrice environnante fera perdre à la zone concernée une grande partie de ses propriétés mécaniques. De nombreux travaux ont montré l’influence forte de l’alignement imparfait des fibres [Argon, 1972]. Cette imperfection provient du processus de fabrication du stratifié. D’autre part, la nature de la matrice, dont le comportement est plastique, joue un rôle prépondérant sur le déclenchement des kink-bands. Il est également à noter qu’une sollicitation multiaxiale, couplant compression et cisaillement, va jouer sur l’alignement des fibres et donc avoir une très forte influence sur le développement des instabilités [Yerramalli et Waas, 2003] [Vogler et al., 2000].

(a) Rupture fibre en traction [Zhao et Takeda, 2000]

(b) Rupture fibre en compression : kink-band [Yerramalli et Waas, 2003]

FIG. 1.6: Développement de la microfissuraton transverse

La figure 1.7 récapitule de façon schématique l’ensemble des dégradations intervenant au sein des stratifiés.

1.3

Le comportement anélastique

1.3.1 La plasticité

Comme le montre la figure 1.3, une importante déformation plastique peut apparaître au sein des stratifiés, et notamment en l’absence de pli à 0◦. Au sein du stratifié, la ma-trice présente intrinsèquement un comportement fortement non-linéaire. De nombreux travaux s’intéressent dans ce cadre à la phénoménologie des comportements à l’échelle micro [Totry et al., 2008]. Cependant, on attribuera les déformations permanentes à un effet structurel. En effet, l’évolution de l’endommagement diffus provoque l’apparition

Le comportement des composites stratifiés 13 Décohésion fibre/matrice Micro-délaminage Phénomènes diffus Microfissuration transverse Délaminage local Phénomènes discrets Rupture fibres Macro- délaminage Modes de ruine

FIG. 1.7: Phénomélogie des dégradations

de surfaces de rupture (à l’échelle de la fibre). Le chargement induit un mouvement rela-tif entre les surfaces frottantes. L’adhérence provoque alors l’apparition de déformations permanentes à la décharge. Les fissures à l’échelle d’un pli pourront de la même manière mener à des déformations permanentes.

En ce qui concerne les travaux présentés ici, il n’est pas nécessaire d’aller plus loin au niveau micro dans la compréhension de ce phénomène, nous en resterons à des modélisa-tions à échelle méso/macro.

1.3.2 La viscosité

De même que la nature de la matrice influence l’apparition de déformations per-manentes, son comportement visqueux va provoquer des déformations dépendantes du temps. Lorsque que la température est assez élevée, on peut même aboutir à une rupture par fluage, à chargement constant [Kawai et al., 2006]. Ceci indique que les dégrada-tions deviennent de facto dépendantes du temps, et donc par exemple de la vitesse de chargement [Nguyen et Gamby, 2007], figure 1.8(b). Pour des structures aéronautiques dont la durée de vie doit atteindre plusieurs dizaines d’années avec occasionnellement de très fortes températures ambiantes, il est très important de prendre en compte ces effets à long terme, d’autant plus que dans l’optique de réaliser des essais accélérés, la viscosité joue un rôle très important. De nombreux travaux, par exemple [Maire, 1992], [Vinet, 1997] [Goertzen et Kessler, 2006] mettent en évidence ce phénomène au niveau macro, figure 1.8(a). La viscosité des stratifiés a par ailleurs la caractéristique d’être fortement non-linéaire vis à vis de la contrainte. Une forte corrélation lie cette évolution non-linéaire au niveau de dégradation du pli [Schieffer et al., 2002]. En effet, de la même manière que pour la plasticité, les ruptures dues aux dégradations vont provoquer des redistributions de contraintes sollicitant d’autant plus la matrice.

(a) Essai de fluage/recouvrance sur un pli à 90◦pour différents niveaux de contrainte [Papanicolaou et al., 1999]

(b) Taux de microfissuration d’un pli à 90◦en fonction de la vitesse

de chargement

FIG. 1.8: Les effets de la viscosité

Il ressort donc des observations expérimentales que le comportement anélastique des stratifiés est en grande partie dû au comportement propre d’un de ses constituants élémen-taires : la matrice. Les dégradations décrites dans la partie précédente vont donc avoir une influence sur l’anélasticité, à travers des redistributions de contraintes. Inversement, la viscosité pourra par exemple être à l’origine de dégradations, voire même de la rupture du stratifié. Il est donc indispensable de développer un modèle prenant en compte toutes ces données, et notamment l’influence réciproque entre endommagement et anélasticité. Une prédiction fiable de la vie du stratifié passe indiscutablement par la bonne modélisation du caractère anélastique de ce dernier.

2

Etat de l’art des modélisations

Les phénomènes décrits dans les paragraphes précédents ont fait l’objet d’un nombre important d’études théoriques avec pour objectif de corroborer les observations expé-rimentales. De manière générale, la modélisation des dégradations et des phénomènes anélastiques se fait de manière distincte. Ces derniers auront tendance à être modélisés à l’échelle macro, alors que les dégradations seront prises en compte aux échelles micro ou méso.

2.1

Modélisation des dégradations diffuses et de la fissuration

Deux visions sont généralement adoptées pour modéliser les dégradations intervenant au sein des stratifiés. Le vision micro va prendre en compte de manière directe la dégra-dation considérée alors que la vision méso prendra en compte de manière homogénéisée les dégradations par l’intermédiaire de paramètres matériaux évolutifs.

Etat de l’art des modélisations 15

2.1.1 Modélisations micro-mécaniques

La caractéristique principale des visions micro-mécaniques est de se placer à l’échelle de la dégradation, en représentant la géométrie de celle-ci. De fait, cette vision possède un contenu physique très fort. La méthode se décompose en deux étapes. Tout d’abord, il convient de définir l’état de sollicitation des différentes zones du domaine considéré. A partir de là, l’introduction de critères d’initiation ou de propagation permet de prédire l’évolution des dégradations. Pour des raisons de simplicité, ce sont généralement les stratifiés de type [0n/90m]s qui sont pris en compte. En effet, les premières méthodes

présentées ici étant analytiques, des stratifications complexes ne permettraient pas une détermination correcte du champ de contrainte. D’autre part, le terme micro-mécanique regroupe en fait des visions se plaçant soit à l’échelle de la fibre, soit à l’échelle du pli, en prenant alors un matériau homogène au voisinage des fissures dans l’épaisseur du pli.

 A l’échelle du pli Champ de contrainte

Les premières méthodes qui apparaissent sont unidirectionnelles et basées sur les hypothèses de type "shear lag" [Garrett et Bailey, 1977]. Le principe est de calculer la contrainte dans la couche fissurée à l’aide de la contrainte de cisaillement dans l’inter-face. La contrainte de cisaillement à l’interface est définie à partir de la différence de déplacement entre les plis à 0◦et 90◦. Un équilibre local permet ensuite de déterminer la contrainte transverse dans le pli fissuré. Ce type d’approche, impliquant de nombreuses hypothèses, ne permet pas une définition précise du champ de contrainte (non nulle sur les lèvres de la fissure), et d’autre part, limite les cas d’étude à des stratifications ba-siques. Des versions étendues de cette méthode sont proposées dans [Lim et Hong, 1989] et [Takeda et Ogihara, 1994] afin de prendre en compte le délaminage en pointe des fis-sures transverses.

C’est Hashin dans [Hashin, 1985] qui le premier introduit une analyse bidimension-nelle du champ de contrainte. L’hypothèse fondamentale est que la contrainte dans la direction transverse est invariante dans l’épaisseur. Les équations d’équilibres permettent de déterminer l’ensemble des contraintes, en fonction de la contrainte dans la direction transverse. La recherche de la solution est ensuite basée sur la minimisation de l’énergie complémentaire. Une version thermo-élastique est proposée dans [Nairn, 1989] , permet-tant alors de prendre en compte les contraintes thermiques, fondamentales dans l’initiation des dégradations. Proposée au départ dans le cas des[0n/90m]s classiques (un seul pli

fis-suré), cette méthode a ensuite été adaptée au cas des_[±45]s, avec fissuration dans tous

les plis [Hashin, 1987]. Cette méthode est étendue au cas du délaminage de stratifiés de type[α/90]s(avecαsuffisamment petit) dans [Nairn et Hu, 1992]. Bien qu’apportant des

améliorations importantes vis à vis des méthodes unidirectionnelles, ce type d’analyse ne permet pas de prendre en compte des stratifications et des géométries plus complexes (trou, entaille). Les volumes choisis comportent forcément une certaine régularité, et la fissure est considérée comme traversante, ce qui n’est pas nécessairement le cas. D’autre part, l’analyse proposée dans [Hashin, 1985] devient incohérente dans certains cas et

in-troduit en particulier des aberrations sur les effets d’épaisseur. Il a depuis été démontré un caractère semi-intrinsèque, indépendant de l’épaisseur à partir d’analyses éléments finis systématiques [Ladevèze et Lubineau, 2001].

Grâce à l’augmentation des capacités numériques, l’analyse 2D ou 3D éléments finis permet maintenant de traiter des problèmes bien plus complexes. Quasiment tous les types de stratifiés peuvent être traités. Utilisés dans un premier temps pour aider ou valider les méthodes analytiques [Nairn, 1995] [Berthelot et Corre, 2000], de nombreux modèles de dégradation s’appuient désormais sur des analyses éléments finis [Jiang et al., 2007], [Camanho et al., 2003].

Initiation et propagation des fissures

Une fois l’état de contrainte connu, des critères de rupture peuvent être appliqués pour simuler l’évolution des dégradations. Deux grandes familles de critères existent, basés sur la contrainte ou l’énergie.

• Critères en contrainte

Les premiers critères qui apparaissent se basent sur une contrainte critique pour laquelle la rupture se produit. Dans [Garrett et Bailey, 1977], le critère est forcément unidirection-nel, la rupture intervient lorsque la contrainte atteint une certaine limite. Cette démarche montre de mauvaises corrélations entre essais et simulations. D’autres critères plus com-plexes, faisant intervenir une combinaison des contraintes en 2D, montrent également leurs limites. Le problème vient en fait de leur inaptitude à capter le phénomène d’ef-fet d’épaisseur mis en évidence dans [Crossman et Wang, 1982]. Pour prendre en compte cette dépendance à la structure, il faudrait introduire un critère en contrainte dépendant lui aussi de la structure, et plus seulement de l’état de contrainte. Le critère ne serait donc plus intrinsèque au matériau.

• Critères en énergie

Ces constatations ont mené vers un nouveau type de critère, basé sur l’énergie. Dans [Parvizi et al., 1978], un critère basé sur le taux de restitution d’énergie est introduit. L’énergie libérée par la création d’une fissure devient un paramètre matériau appelé taux de restitution d’énergie critique Gctel que.

Gc= −

∂Ep

∂A (1.1)

où Ep représente l’énergie potentielle, et A la surface fissurée. Dans l’optique d’une

simulation, une comparaison entre le taux de restitution d’énergie due à l’apparition potentielle d’une fissure et le taux critique permet de déterminer si la fissure est créée. Ce type de critère est maintenant très largement répandu dans la littérature, [Hashin, 1996], [Nairn, 1989]... En effet, il permet de prendre en compte le phénomène "d’effet de l’épaisseur" observé dans [Crossman et Wang, 1982], lorsque que celle-ci est assez pe-tite. Cependant, ce type de critère, bien que plus performant qu’un critère en contrainte, ne reproduit pas correctement l’initiation des fissures dans les plis épais. D’autre part, il est à noter que cette vision énergétique est équivalente à la notion de facteur de concentration de contrainte.

Etat de l’art des modélisations 17

 A l’échelle de la fibre

Chronologiquement, les premières dégradations qui apparaissent sont les décohésions fibre/matrice. C’est pourquoi une modélisation à l’échelle de la fibre permet de décrire au mieux les mécanismes de base aboutissant à des dégradations à l’échelle du pli. D’autre part, le comportement à l’échelle de la fibre joue un rôle crucial dans le mécanisme de fatigue, et en particulier sur la différence des comportements en traction et compression, voir [Gamstedt et Sjögren, 1999]. Dans ce cadre, les éléments finis associés à des cri-tères de rupture sont les plus pratiques pour simuler des volumes élémentaires contenant quelques fibres. L’augmentation récente des capacités numériques permet de traiter des configurations complexes, irrégulières, en introduisant un maximum de physique. Dans [González et LLorca, 2007], [Totry et al., 2008] la physique de chaque composant est in-troduite, avec toutes les non-linéarités associées, ainsi que le comportement d’interface entre fibre et matrice. Le résultat d’une simulation figure 1.9(b) montre qu’il est ainsi possible de simuler la naissance d’une microfissure, dont le point de départ est le dévelop-pement des décohésions fibre/matrice. Dans [Heuvel et al., 2004], [Blassiau et al., 2009], de nombreuses configurations de rupture de fibre sont testées en fonction de la géométrie et de la nature de la matrice. Les éléments finis en 3D permettent clairement de balayer une vaste panoplie de cas, donnant l’occasion de tester l’influence de telle ou telle carac-téristique des constituants. Un exemple de simulation montrant le rôle de la matrice dans le transfert de contrainte est donné figure 1.12(a)

(a) Simulation EF de la microfissuration et du délaminage, [Okabe et al., 2008]

(b) Formation d’une microfissure transverse

[Totry et al., 2008]

FIG. 1.9: Modélisations micromécaniques Conclusion

La vision micromécanique des dégradations diffuses et de la fissuration présentée briè-vement ici, montre de bonnes capacités à reproduire les observations expérimentales, en se plaçant au plus près des dégradations. Le degré de confiance que l’on peut accorder

dans ces visions est donc fort. Cependant, dans la majorité des cas, cette vision ne permet pas de simuler des éprouvettes de taille importante. Les simulations se limitent à des vo-lumes élémentaires [González et LLorca, 2007], ou bien, lorsque les géométries traitées sont plus complexes, toute la physique n’est pas introduite [Jiang et al., 2007] . D’autre part, une caractéristique importante des modèles micro est, qu’à ce niveau, les variabilités (matériau ou structure) ne peuvent être ignorées, rendant le choix du modèle complexe.

2.1.2 Modélisations mésomécaniques

L’échelle méso se place entre les échelles micro et macro. C’est à dire à l’échelle du pli unidirectionnel, mais sans représentation directe des fissures. Ce choix est fait car d’une part, l’évolution des dégradations est très distincte d’un pli à l’autre, si bien qu’il serait impossible de représenter par des modèles intrinsèques le comportement de deux stra-tifiés aux séquences d’empilement différentes. D’autre part, la représentation de chaque fissure, vu leur nombre, empêcherait de simuler des structures de taille industrielle. La mésomécanique repose sur deux hypothèses fondamentales :

i Le comportement d’un stratifié peut être décrit à partir de ses deux constituants

élémentaires, qui sont le pli unidirectionnel et l’interface et dont les comportements sont intrinsèques (i.e. indépendants de la structure). Chacun d’eux est assimilable à un milieu continu, homogène dans l’épaisseur et affecté de variables d’endommagement. On les appelle méso-constituants.

ii Les variables internes seront considérées comme constantes dans l’épaisseur des

méso-constituants.

Appliquée à la modélisation des dégradations des stratifiés, l’une des voies adoptée est la mécanique de l’endommagement. Son objectif est de représenter ces dégradations à travers une évolution des paramètres matériaux des zones dégradées, par opposition à la micromécanique qui représente directement la géométrie de la dégradation. L’idée de base décrite dans [Kachanov, 1958] et [Rabotnov, 1968] est d’introduire l’effet des dégradations sur les rigidités du matériau considéré. Appliqué au composite, le concept d’endommagement doit prendre en compte le côté anisotrope des dégradations. C’est dans cette optique qu’est développé au LMT depuis de nombreuses années un "mésomodèle d’endommagement des stratifiés" [Ladevèze, 1986] apte à simuler l’évolution progressive des dégradations sous chargement quelconque, basé sur l’introduction de trois variables scalaires. Dans les travaux menés par l’ONERA, [Maire et Chaboche, 1997], le tenseur de souplesse effectif ˜S du pli fissuré est de la forme :

˜

S= S0+ d1H1+ d2H2 (1.2)

où S0est le tenseur de souplesse initial, d1et d2sont les variables scalaires de dégradation

scalaires (respectivement sens fibre et direction transverse) définies à partir de l’état de contrainte et des contraintes à rupture dans les différentes directions. d1H1 et d2H2sont

Etat de l’art des modélisations 19

L’idée d’une réduction de rigidité à également été introduite au niveau macro. Dans [Talreja, 1994], un modèle utilisant une variable globale d’endommagement est proposé afin de corriger le tenseur de rigidité initial du stratifié complet, en prenant en compte la densité de fissuration. Cependant, la forte dépendance des dégradations à la séquence d’empilement fait qu’on ne peut dégager de quantités intrinsèques au matériau à partir de loi macros.

Le mésomodèle d’endommagement des stratifiés : Dans le modèle

d’endom-magement des stratifiés développé au LMT-Cachan, les variables associées aux plis unidirectionnels doivent permettre de modéliser les décohésions fibre/matrice, les microfissurations transverses ainsi que la rupture sens fibre. On notera (1) la direction de la fibre, (2) la direction transverse dans le plan du pli, et (3) la direction normale au pli, voir figure 1.10. Classiquement on introduit trois variables scalaires d’endommagement,

d, d‘ et df de sorte que l’énergie de déformation eddu pli s’écrive :

2ed= σ11 σ22 σ33 1 E1(1−df) − ν12 E1 − ν12 E1 −ν12 E1 1 E2(1−[σ22]+d˜′) − ν23 E3 −ν12 E1 − ν23 E2 1 E2(1−[σ33]+d˜′) σ11 σ22 σ33 (1.3) + σ 2 12 G12(1 − d) + σ 2 13 G13(1 − d) + σ 2 23 G23(1 − d) (1.4) où[x]+vaut 0 si la composante x est négative, 1 si x est positive, ce qui permet de prendre en compte le caractère unilatéral des dégradations transverses. Ainsi, d représente l’en-dommagement dans la direction transverse, d′ l’endommagement en cisaillement, et df

est associée à la rupture dans la direction des fibres. L’évolution des variables d’endom-magement est une fonction des forces thermodynamiques, identifiée expérimentalement. On appelle cette loi intrinsèque : loi d’évolution d’endommagement. Une démarche si-milaire est adoptée en ce qui concerne l’interface. Plus de détails seront donnés sur ce modèle au paragraphe 3.2.

1

2

3

FIG. 1.10: Les axes du pli unidirectionnel

Ce modèle à été adapté aux stratifiés à plis tissés sous chargements statique et en fatigue, [Hochard et al., 2006] [Hochard et Thollon, 2010].

A ce stade, ces visions restent axées sur des descriptions phénoménologiques. Il semble naturel que l’introduction des connaissances micro dans ces modèles pourrait per-mettre une plus grande robustesse et une meilleure description des essais expérimentaux.

2.1.3 Couplage Micro/Meso

Des tentatives ont plus récemment vu le jour afin de coupler micro et méso mécaniques des stratifiés. Dans [Hashin, 1987] et [Nairn, 1989], l’analyse micro de l’état de contrainte associé à la minimisation de l’énergie potentielle aboutit à l’établissement d’une borne inférieure de la rigidité résiduelle du pli fissuré. Dans le même esprit, dans [Aboudi, 1987] puis [Herakovich et al., 1988], une borne supérieure de la rigidité résiduelle est calculée à partir de la minimisation de l’énergie de déformation. Dans ces visions, il n’est cependant pas question de prédire l’évolution des dégradations au niveau méso, ni d’effectuer des simulations de grande ampleur.

Dans [Renard et Thionnet, 2006], une seule variable scalaire d’endommagement permet de décrire l’évolution des paramètres de rigidité d’un pli, à travers des termes de couplage. Cette variable est basée sur l’homogénéisation d’un volume élémentaire de matériaux endommagé, et permet d’aboutir à des critères de dimensionnement des stratifiés, à vocation plutôt industrielle. De la même façon, dans le modèle proposé par l’ONERA, les dégradations à l’échelle micro sont prises en compte pour améliorer les lois à l’échelle méso [Laurin et al., 2009].

Un pont micro/méso est développé depuis quelques années au sein du LMT Cachan dans le cadre du mésomodèle d’endommagement des stratifiés [Ladevèze et Lubineau, 2001] [Lubineau et Ladevèze, 2008]. Le but est de baser les lois d’évolution des variables d’endommagement prenant en compte les fis-sures, non plus sur l’identification expérimentale, mais sur des considérations micromécaniques. Les premiers travaux ont porté sur l’endommagement du pli [Ladevèze et Lubineau, 2001] [Ladevèze et Lubineau, 2002], qui ont été étendus au cas du délaminage [Ladevèze et al., 2006a] pour finalement aboutir au "mésomodèle amé-lioré". A travers l’homogénéisation d’un volume élémentaire de matériau fissuré, et à l’aide de la mécanique de la rupture, il est possible de remonter à l’évolution des pro-priétés mécaniques résiduelles à l’échelle "méso”. L’idée fondamentale est de définir une structure méso équivalente d’un point de vue énergétique à une structure micro donnée, et ce sous deux hypothèses :

• des cas de chargements particuliers • des schémas de dégradation donnés

Ce type de vision est très bien adaptée à la simulation numérique. Dans ce cadre, l’ap-proximation méso se valide très bien comme le montre les résultats intrinsèques d’ana-lyses éléments finis. La figure 1.11 montre le type de résultat obtenu par cette vision cou-plée, dans le cas de l’étude des dégradations d’une plaque[02/902]scarbon/époxy trouée

en traction [Daghia et al., 2009]. La comparaison expérience/simulation montre une assez bonne reproduction des essais. Ce mésomodèle amélioré est maintenant exploité commer-cialement au sein du code éléments finis SAMCEF. Il a également été intégré au sein d’ ABAQUS à l’aide de développements utilisateurs [Lubineau et Ladevèze, 2008]. Enfin, un logiciel "maison" dédié à la simulation des dégradations des composites stratifiés à

Etat de l’art des modélisations 21

l’échelle méso à été mis en place, sous le nom deCoffee[Bordeu et al., 2008], et

per-met des simulations numériques à hautes performances. Ces simulations sont exploitées dans le cadre de la seconde édition du World Wide Failure Excercise.

(a) Résultat expérimental, issu de [O’Higgins et al., 2008]

taux de fissuration pli à 0° (splitting) taux de fissuration pli à 90°

(b) Simulation d’une plaque trouée, avec le mésomodèle amélioré. Logiciel utilisé : COFFEE

FIG. 1.11: Dégradations d’une plaque trouée[02/902]sen traction.

Conclusion

La vision mésomécanique présentée précédemment possède l’avantage indéniable de permettre des simulations réalistes, à travers son implémentation dans des codes commer-ciaux. Les résultats obtenus sont en bon accord avec les expérimentations. Cependant, lorsque le niveau de dégradation devient trop important, il est difficile de représenter la compétition entre les différents mécanismes (diffus, microfissuration, délaminage). L’ori-gine de ces problèmes est l’apparition de dégradations discrètes localisées et couplées bien en dessous de l’échelle d’homogénéisation. De fait, les concentrations de contraintes pilotant de nouvelles dégradations ne sont pas captées. Cette limite peut-être illustrée par la figure 1.11(b), où le splitting apparaît sous la forme d’une zone avec un fort taux de fissuration. Or, dans les résultats expérimentaux figure 1.11(a), ce splitting se limite clai-rement à une seule fissure dans le pli à 0◦, d’où un problème de représentation de la zone dégradée.

2.2

Modélisation de la rupture sens fibre

Comme dans le cas des fissures, il existe deux grandes familles de modèles : les modèles de type critère, à l’échelle macro, et les modèles micros, prenant en compte les deux constituants (fibre et matrice). Très souvent, les modèles micros sont utilisés pour définir des critères à échelle supérieure.

• Traction

En ce qui concerne la traction, les travaux à l’échelle micro portent princi-palement sur la rupture progressive des fibres. Une synthèse est proposée dans [Wisnom et Green, 1995]. Les éléments finis permettent encore un fois de faciliter l’ap-proche de configurations complexes. Dans [Heuvel et al., 2004], [Blassiau et al., 2009], de nombreuses configurations de rupture de fibres sont testées en fonction de la géomé-trie et de la nature de la matrice. Les éléments finis en 3D permettent clairement de balayer une vaste panoplie de cas, donnant l’occasion de tester l’influence de telle ou telle carac-téristique des constituants. Un exemple de simulation montrant le rôle de la matrice dans le transfert de contrainte est donné figure 1.12(a).

A l’échelle supérieure, les critères couramment utilisés restent très simples, et se basent très souvent sur la contrainte à rupture, obtenue pour la traction des plis à 0◦. Dans [Puck et Schürmann, 2002], il est montré qu’un simple critère du type

σ11

Xt

> 1 en traction et |σ11|

Xc

> 1 en compression (1.5)

permet de très bien rendre compte des observations expérimentales. Xt et Xc désignent

les contraintes à rupture en traction et en compression issues d’essais de traction sur des plis unidirectionnels à 0◦.

• Compression

La thématique de la modélisation de la rupture en compression sens fibre donne lieu actuellement à un nombre très important de travaux. Les premiers critères de rupture par kink-band à apparaître [Argon, 1972] [Budiansky, 1983] sont basés sur la résistance de la matrice (considérée comme élastique) au cisaillement provoqué par la mise en compres-sion, figure 1.12(b). L’imperfection de l’alignement des fibres y est prise en compte. Sur la même base, dans [Budiansky et Fleck, 1993], la plasticité de la matrice est introduite dans le calcul de la contrainte à rupture. Dans ce cas, l’équilibre d’un volume élémentaire de fibre et de matrice soumis à une contrainte de compressionσ0donne la relation

σ0=

τ(γ)

θ0+γ

(1.6) oùθ0 est l’angle initial entre les fibres réelles et la direction 1 ,γ le même angle dû au

chargement, etτ le cisaillement dans la matrice, non-linéaire vis-à-vis de γ. Cette rela-tion non-linéaire aboutit à un chargementσ0 limite qui sera la contrainte à rupture du pli.

Etat de l’art des modélisations 23

Ce critère est encore l’un des plus utilisés. Il à été très récemment amélioré avec suc-cès dans [Grandidier et Casari, 2009]. L’ajout d’une dépendance de la déformation cri-tique à la séquence d’empilement a permis de prendre en compte les effets de structure (pli confiné, au bord de l’empilement, orientations des plis voisins... ) constatés expé-rimentalement. Ce n’est pas le cas dans le modèle original, qui montre des limites no-tamment dans le cas de la flexion. Cependant, pour les modélisations micro, depuis les années 90, les analyses éléments finis 2D et 3D permettent de simuler l’évolution des kink-bands sur des volumes élémentaires, en examinant l’effet des différents paramètres. Dans [Sutcliffe et Fleck, 1997], des simulations éléments finis 2D permettent de suivre l’initiation et la propagation d’une kink-band. Dans [Vogler et al., 2000], une modéli-sation 3D introduisant les fibres et une matrice au comportement élasto-plastique per-met de simuler des cas de chargement multiaxiaux compression/cisaillement. Les cas multi-axiaux en compression sont peu étudiés, mais restent cependant indispensables dans l’optique de la simulation des stratifiés sous chargements complexes. Les résul-tats de [Vogler et al., 2000] sont en accord avec les résulrésul-tats expérimentaux, et avec les prédictions du modèle proposé dans [Budiansky et Fleck, 1993]. Ce dernier modèle est d’ailleurs utilisé avec succès dans le cadre du calcul de la dissipation provoquée par la fragmentation des stratifiés en compression [Guimard et al., 2009].

(a) Simulation EF de la répartition de contrainte matricielle autour d’une fibre rompue en traction

[Heuvel et al., 2004]

(b) Volume caractéristique simulé par éléments finis en 3D

pour l’étude de la rupture en compression [Vogler et al., 2000]

FIG. 1.12: Modélisations micromécaniques de la rupture sens fibre

2.3

Modélisation des comportements anélastiques

La modélisation des phénomènes plastiques et visqueux se fait généralement à l’échelle méso/macro.

La caractéristique importante de la viscosité des stratifiés est la forte non linéarité de la réponse visqueuse vis-à-vis de la contrainte, lorsque cette dernière est assez élevée. Les modèles proposés dans ce cadre dérivent généralement de modèles linéaires, et notam-ment sur le principe de superposition de Boltzmann. Ce principe est de considérer que la somme des déformations visqueuses est le résultat d’un nombre infini de chargements en contrainte infinitésimaux, ce qui s’exprime unidirectionnelement par la relation :

εv_{(t) =}Z t

0

D_{(t −}τ)∂σ_∂τdτ (1.7) où D(t) est la souplesse en fluage dépendante du temps, identifiée expérimentalement. Les

modèles basés sur ce principe de base, linéaires par rapport au niveau de contrainte, ne permettent pas de reproduire les essais expérimentaux lorsque les niveaux de contrainte sont importants. Une première approche pour l’étendre au non-linéaire a été proposée dans [Leaderman, 1943] avec le "Modifed Superposition Principle", ou MSP. Dans ce cas, la fonction D(t) devient dépendante du niveau de contrainte. Une autre possiblité

est le modèle intrinsèquement non-lineaire, nommé BKZ qui propose une expression in-tégrale de la contrainte à partir d’un essai de relaxation en contrainte. Finalement, dans [Schapery, 1966][Schapery, 1968] une version étendue des modèles précédents permet de prendre en compte les non-linéarités, où la déformation totale s’exprime sous-forme inté-grale par : ǫ(t) = g₀(σ)D₀σ₀+ g₁(σ) Z t 0 ∆D(Ψ_{(t) −}Ψ(τ))∂g2(σ)σ ∂τ dτ (1.8)

avec D0la souplesse instantanée,∆D la souplesse dépendante du temps etΨ(t) le temps

réduit défini par

Ψ(t) =

Z t

0

dτ

a_σ (1.9)

et où g0(σ), g1(σ), g2(σ) et aσ sont les paramètres fonction de la contrainte permettant

d’introduire la non-linéarité vis-à-vis de celle-ci. On se trouve dans le cas linéaire lorsque

g0(σ) = g1(σ) = g2(σ) = aσ= 1. Il a été montré que ce modèle est bien adapté à la prise

en compte d’une évolution complexe du chargement. D’autre part, ce modèle s’adapte très bien à la prise en compte des effets de la température. Les résultats obtenus avec ce modèle sont très pertinents vis-à-vis des essais expérimentaux, cependant, la détermi-nation des coefficients dépendants de la contrainte nécessite de fastidieuses procédures d’identification pour chaque variété de composite. La figure 1.13 montre les résultats d’identification obtenus dans [Papanicolaou et al., 1999], à partir d’essais de fluage et de manière analytique sur pli unidirectionnel à 90◦de type carbone/époxy.

Le problème de ces coefficients est qu’ils n’incluent pas une compréhension forte des mécanismes de base entraînant la non-linéarité. Dans certains cas, il est évident qu’en l’absence de données aux échelles inférieures, il est judicieux de rajouter des coefficients là où ils permettent de décrire au mieux les observations expérimentales. Or, dans le

Etat de l’art des modélisations 25

(a) (b)

FIG. 1.13: Identification des coefficients de non-linéarité

cas des CMO, il est clair que les non-linéarités observées vis-à-vis de la contrainte pro-viennent de la création des décohésions fibre/matrice. Malgré cela, ce modèle en version non-linéaire est l’un des plus utilisés dans le cadre des stratifiés, pour sa simplicité et ses très bonnes performances.

On peut également citer le modèle viscoélastique spectral non linéaire introduit initia-lement pour les stratifiés verre/époxy [Maire, 1992] [Thiébaud, 1994] puis dans le cadre des composites carbone/époxy [Schieffer et al., 2002]. Il permet également de prendre en compte de manière satisfaisante les non-linéarités vis à vis de la contrainte. La déforma-tion viscoélastiqueεve y est exprimée sous la forme d’une série de mécanismes visqueux élémentairesξi caractérisés par un temps de relaxationτi et un poids µi. La variation de

déformation viscoélastique s’écrit alors de la forme ˙ εve_{= g(σ)}

∑

avec SR la souplesse visqueuse, exprimée à partir de la souplesse élastique. g(σ) est

la fonction non-linéarisante, de forme quadratique en contrainte, caractérisée par deux paramètres identifiables expérimentalement, donc phénoménologiques. Toutefois, les ré-ponses en charge/décharge sont mal prises en compte avec ce modèle, la concavité ob-tenue pour la courbe contrainte/déformation en décharge est inversée par rapport aux constatations expérimentales, ce qui est un facteur très limitant.

Il est à noter qu’il existe également un certain nombre d’autres modèles basés sur des représentations différentielles issues des modèles rhéologiques de base. L’introduction de la non linéarité se fait également par l’intermédiaire de coefficients dépendant de la contrainte. Dans [Gramoll et al., 1989], le modèle de Kelvin-Voigt devient :

a0ǫ+ a₁dǫ

dt = b0σf(σ) (1.11)

où a0et a1sont des paramètres du matériau, et f une fonction dépendante de la contrainte.

 Plasticité

Les modélisations ayant trait à la plasticité se situent générale-ment à l’échelle macro. En effet, celles développées à l’échelle micro

[Adams et Crane, 1984],[Dvorak et Bahei-El-Din, 1982], bien que plus proches des phénomènes physiques, se heurtent à la difficulté de connaître précisément les caractéris-tiques mécaniques des constituants élémentaires. D’autre part, dans le cadre du calcul de structures de taille réelle, ce type de modélisation devient vite inapplicable.

Les modèles macro sont plus répandus, et permettent de reproduire fidèlement les courbes obtenues expérimentalement. Dans [Sun et Chen, 1989], un modèle à un paramètre est introduit, en se basant sur un potentiel quadratique de type Hill [Hill, 1950]. Il permet de décrire l’écoulement plastique à travers une relation di-recte contrainte effective - déformation. Décrit tout d’abord dans le cas 2D, il a été étendu au cas 3D dans [Chen et Sun, 1991] et repris par de nombreux auteurs [M. Xie, 1995],[Yokozeki et al., 2007], et également appliqué à la viscoplasticité. Ce type de modèle, très utilisé, a l’avantage d’être à la fois simple (modèle et implémentation) et de reproduire fidèlement un certain nombre d’observations expérimentales. En revanche, les prédictions ne sont pertinentes que pour des chargements monotones, ce qui est un aspect très limitant. En effet, la plupart des auteurs ne modélisent pas véritablement la plasticité, mais plutôt l’ensemble des non-linéarités, sans distinguer les phénomènes d’endommagement [Yokozeki et al., 2007], si bien qu’une décharge devient difficile à re-produire correctement. Pour palier à ce problème, [Hansen et al., 1991] propose un mo-dèle utilisant une variable interne supplémentaire, appelé variable d’écrouissage. Mon-trant de meilleurs résultats que les modèles de type Hill, il est repris et amélioré dans [Wang et Hansen, 1993].

3

Les bases du modèle micro hybride

Ce paragraphe décrit les fondements du modèle micro hybride introduits dans [Ladevèze, 2005], [Ladevèze et al., 2006b]. La volonté de base qui a motivé l’introduc-tion de ce modèle est de réconcilier micro et mésomécaniques des stratifiés. On l’a vu dans les parties précédentes, la micro mécanique a l’avantage de se placer au plus près des dégradations, et donc de fournir des informations fiables pour lesquelles un grand degré de confiance est permis, même lors de la localisation des dégradations. La méso-mécanique a, quant à elle, l’avantage de permettre des simulations poussées, à travers une mise en œuvre numérique relativement aisée, donnant de bons résultats lorsque le niveau de dégradation reste modéré. Le micromodèle hybride proposé se veut une base de don-nées regroupant l’ensemble des mécanismes et modèles associés permettant la prédiction de la vie du stratifié depuis l’état initial jusqu’à la rupture finale. Pour cela, l’évolution plus ou moins progressive des phénomènes de dégradation est décrite en se plaçant pour chaque mécanisme, à l’échelle la plus pertinente. Pour cela, le modèle se base sur une description discrète des fissures à l’échelle du pli, si bien que le stratifié est vu comme un assemblage de plis unidirectionnels, chacun étant constitué de volumes élémentaires de matériau fibre-matrice entourés de surfaces minimales de rupture potentielle, voir figure 1.14.