Remise à Niveau Mathématiques Première partie :

(1)

Remise à Niveau Mathématiques

Première partie : Calcul et raisonnement

Corrigés des exercices

(2)

1 CALCUL NUMERIQUE 3

1.1 DEFINITIONS DE BASE 3

1.2 PUISSANCES D’UN NOMBRE 3

1.3 GRANDES ET PETITES VALEURS, ORDRE DE GRANDEUR 4

1.4 CALCUL FRACTIONNAIRE 5

1.5 PROPORTIONS ET POURCENTAGES 6

1.6 OPERATEUR SOMME 8

1.7 DIFFERENTS TYPES DE MOYENNES 9

1.8 BASES D’ECRITURE 9

2 CALCUL LITTERAL 10

2.1 MISE EN FORME ET DEFINITIONS 10

2.2 CALCUL LITTERAL DANS DES CAS SIMPLES 10

2.3 POLYNOMES 13

2.4 OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 13

3 RAISONNEMENT ET MISE EN EQUATION 18

3.1 RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 18

3.2 MISE EN EQUATION D’UN PROBLEME 20

(3)

1 Calcul numérique

1.1 Définitions de base

1. Calculer le quotient et le reste de a divisé par b (division euclidienne) puis calculer le résultat (en posant la division) approché à la 5^ième décimale :

a. 125 = 24×5 + 5. quotient : 5, reste : 5 ; b. 125 = 26×4 + 21. quotient : 4, reste : 21. ; c. On posera ici la division :

,

435 897

4350 0 48494

3588 7620 7176 4440 3588 8520 8073 4470 3588 882

435 = 0×897 + 435 (quotient, reste) et d’après la division posée (arrêt à la cinquième décimale pour un quotient… décimal) : 435 = 0,48494×897 + 882×10^-6.

1.2 puissances d’un nombre

1. Calculer :

a. (2,63.10³)² = 2,63²×10⁶ = 6,9169×10⁶ = 6 916 900 ;

b. 1 8 10, . ²×0 3 10, . ³ = 1,8×0,3×10²×10³ = 0,54×10⁵ = 54 000 ; c.

(

^{2 7 10}^{, .} ⁻³

)

² = 2,7²×10^{- 6} = 7,29×10^{- 6} = 0,000 007 29 ;

d. ^{, .}

, . ⁻

×

× ×

3 2

45 2 6 10

3 2500 1 3 10 = ,

, ⁻ ,

× × × × × = × × = × =

× × × ×

3

3 3

2 2

3 3 5 2 1 3 10 3 2

10 1 2 10 1200

3 5 5 10 1 3 10 5 ^;

e. 1 8 10, . ² +0 3 10, . ³ = 1 8 10, . ²+3 10. ² =4 8 10, . ² =480 ;

f. 2⁵× ×6 3³ =

(

²⁵^{× × ×}^{2 3 3}³

) (

¹² ⁼ ²⁶^×³⁴

)

¹² ^{= × = × =}²³ ³² ^{8 9 72}^;

g. 1 44, − 0 16, − 0 64, = 1,2 – 0,4 – 0,8 = 0 ; h. 200 3 18− + 98 = 10√2 – 9√2 + 7√2 = 8√2

(4)

2. Les réels x et y sont-ils égaux ?

a. x=2 3 et y=3 2 : x² = 4×3 = 12 et y² = 9×2 = 18, donc ils ne sont pas égaux ;

b. ¹ _et ²

2 2

x= y= : x² = 1/2 et y² = 2/4 = 1/2, et x et y sont positifs, donc x = y ; c. x = 20× 125 et y=50² : x= 2²× × = × =5 5³ 2 5² 50 et y=50²;

d. x= 3 2 2+ et y= +1 2 :

( )

²

( )

²

2 2 2

3 2 2 et 1 2 1 2 2 2 3 2 2

x = + y = + = + + = + , et x et y sont positifs,

donc x = y .

1.3 Logarithmes

a. log10(1000) = log10(10³) = 3log10(10) = 3×1 = 3 b. log10(0,01) = log10(10^-2) = -2log10(10) = -2×1 = -2 c. log2(5) + log2(0,6) = log2(5×0,6) = log2(3)

d. log₁₀ 3 100

 

 

  = log10(3) – log10(100) = log10(3) – 2 e. log10(0,07) = log10(7) – log10(100) = log10(7) – 2

f. 8×log10

( )

5 = 4×2×log10

( )

^{5 = 4×log}¹⁰

( )

^{5 = 4×log}² ¹⁰⁽⁵⁾

g. 8×ln

( )

5 = 4×2×ln

( )

^{5 = 4×ln}

( )

5 = 4×ln(5) ²

1.4 grandes et petites valeurs, ordre de grandeur

1. Calculer la valeur exacte et l’exprimer en notation scientifique : a. 1 78 10, . ³×0 29 10, . ² = 1 780×29 = 51 620 = 5,162×10⁴ ; b. 1 8 10, . ²×0 3 10, . ³ = 180×300 = 54 000 = 5,4×10⁴ ; c.

(

^{2 7 10}^{, .} ⁻³

)

² = 2,7²×10^{- 6} = 7,29×10^{- 6} ;

d. ^{, .}

, . ⁻

×

× ×

3 2

45 2 6 10

3 2500 1 3 10 = ^, _,

, ⁻

× × × × × = × × = ×

× × × ×

3

3 3

2 2

3 3 5 2 1 3 10 3 2

10 1 2 10

3 5 5 10 1 3 10 5 ;

e. 1 8 10, . ² +0 3 10, . ³ = 180 + 300 = 480 = 4,8×10².

2. Ordre de grandeur : simplifier manuellement pour obtenir un résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis donné par la calculatrice :

a. ^{, .} ^{, .} ^, ^.

, , ,

− × × −

× ×

5 2 6

4 1 10 5 3 10 7 323 10 2 2 3 07 6 25

− − −

× × ×

≈ = × ≈ ×

× ×

9

9 9

4 5 7 10 70

10 4 10

2 3 6 18

et le calcul en toute précision donne 3,786×10^-9 environ ;

(5)

b. ^{, .} ^, ^. ^, ^.

, , . , .

−

× ×

1 2 3

8 3

1 1 10 3 212 10 5 432 10

2 2 4 25 10 6 25 10 ≈ × × × ₋ = × ≈ , × = ×

× ×

2

7 7 6

5

1 3 5 10 5

10 0 3 10 3 10 2 4 6 10 16

et le calcul en toute précision donne 3,284×10⁶ environ ;

c. ^, ^, ^,

, , ,

× ×

× × 4 12 7 34 9 12

5 23 6 1 8 25

× × × × × ×

≈ = = ≈

× × × × × × × 4 7 9 2 2 7 3 3 21 5 6 8 5 2 3 2 2 2 20 1

et le calcul en toute précision donne 1,048 environ ;

d. ^, ^, ^,

, , ,

− × − × −

× ×

5 5 5

4 1 10 4 1 10 4 1 10 2 2 2 2 2 2

− −

≈ × × × ≈ ×

× ×

15 15

4 4 4

10 8 10 2 2 2

et le calcul en toute précision donne 6,473×10^-15 environ ;

e. . ⁻ × . ⁻ × .

× ×

3 2 5

123 10 456 10 789 10 345 678 912

× × × × × × × × ,

≈ = = = ≈ =

× × × × × × × × ×

3 3

2

125 450 800 5 45 8 5 9 5 8 5 2 10

350 700 900 35 7 900 7 5 7 9 5 4 49 50 0 2 et le calcul en toute précision donne 0,2074 environ ;

f. × ×

× × 421 257 864

12 23 34

× × × × ×

≈ = = × ≈

× × × ×

2 2 2 4

4 4

2

400 250 900 2 5 3 10 36

10 10

10 25 35 5 5 7 35

et le calcul en toute précision donne 9962 environ ;

1.5 calcul fractionnaire

1. Donner la valeur exacte du résultat sous la forme d’une fraction irréductible : a. 2+ 1 +6

5 11 7

× × + × × + × × + + ×

= = = = =

× × × × × × × ×

2 11 7 1 5 7 6 5 11 154 35 330 519 3 173 519

5 11 7 5 11 7 5 11 7 5 11 7 385

b. 4 1− − 4 5 3 11

× × − × × − × ×

= = =

× × × ×

4 3 11 1 5 11 4 5 3 17 17

5 3 11 5 3 11 165

c. ²³₊¹²₊¹⁵ 56 21 14

× + × × + × × × ×

= + + = = = =

× × × × × × × × × × × × ×

23 12 15 23 3 12 2 4 15 3 4 345 5 3 23 115

2 4 7 3 7 2 7 2 3 4 7 2 3 4 7 2 3 4 7 56

d.25+26+27

2 3 4

× × + × × + × × + + × ×

= = = = =

× × × × × × × ×

25 3 4 26 2 4 27 2 3 300 208 162 670 2 5 67 335

2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 12

e. 7 − +1 9

45 3 15

− × + ×

= − + = =

× ×

7 1 9 7 1 15 9 3 19

3 15 3 15 3 15 45

(6)

f. +

−

5 3

7 7

2

× −

=5 2 3− =10 3= =7

7 7 7 7 1

g. ^,

+ − ,

7 3

5 1 5 4 9 2 5 2

2 7

× + × × − × −

= × + × − × = + − = = = −

× × × × × ×

7 1 3 2 3 14 7 1 21 7 3 1 2 5 21 3 32 16

5 2 2 9 4 5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 15

h.

 

+ ×

 

 

  

 

2 3 6

7 8 5

1 4 9

+ × × × ×

= × × = = =

× × × × × × × × ×

16 21 6 4 37 3 2 2 2 37 37

8 7 5 9 2 2 2 7 5 3 3 7 5 3 105 ;

i.

+

×

1 1

2 3

5 3 6 4

= + × × = × × =

×

3 2 6 4 5 6 4 4

2 3 5 3 6 5 3 3

j.

+ + + 1 1

1 1 1 1

2 2 3

   

       

         

   

= + × = + × = + × = + × = + × = × =

 +   +   +     

 +       

   

   

1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 8 3 12

1 1 1 1 1

1 2 1 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5

1 1 1

1 3 3 3

1 2 2

1.6 proportions et pourcentages

a. Sachant qu’il faut 300 grammes de farine et 2 œufs pour faire trente petits gâteaux, combien faut-il de farine et d’œufs pour faire soixante quinze petits gâteaux ? Et si l’on veut en faire cent cinquante ?

On applique une simple proportion : diviser par 30, multiplier par 75, que l’on peut simplifier (c’est une fraction) en ×5/2. On a besoin de 750g de farine et 5 œufs pour 75 gâteaux. Pour 150, on double les quantités… 1,5kg de farine et 10 œufs.

b. 8 petites bananes sont équilibrées par 3 poids de 50 grammes et 2 poids de 5 grammes.

Combien dois-je retirer de bananes si j’ai retiré un poids de 50 grammes et que j’ai rajouté 2 poids de 5 grammes ?

8 bananes pèsent 160 g, soit 20 g par banane. Pour 120 g, 6 bananes.

c. Trois tuyaux débitants chacun 5 m³ par heure permettent en une journée de 8 heures d’arroser 150 hectares. Ayant augmenté la surface à arroser de 25 %, Pendant combien de temps dois-je arroser maintenant avec les 3 tuyaux ?

(7)

Le temps doit donc s’allonger de 25 %, donc être multiplié par 1,25 (ou être augmenté du quart, selon nos préférences) : 10 heures.

d. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5 %. Chaque année, les intérêts sont calculés à partir du capital possédé à l’année précédente puis viennent s’ajouter à ce capital. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ.

Cn+1 = Cn(1 + t/100).

C₁₀ = C₀(1 + t/100)¹⁰ = 15000×1,05¹⁰ = 24433,42 €.

Le capital aura doublé lorsque 1,05ⁿ = 2, soit n×ln(1,05) = ln(2) ⇔ n = 14,21 ans e. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans.

Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

C7 = 5000×(1+t/100)⁷ = 8569 ⇔ 1+t/100 = ⁷ 8569 ≈ ,

5000 1 08. Taux annuel : 8%.

f. Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 18,6 %. Quel est le montant HT ? HT×1,186 = TTC, donc HT = 79/1,186 = 66,61 €.

g. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil ?

prix initial × 1,05 × 1,08 × 1,10 × 0,85 = prix final, donc pi × 1,06029 = pf. Augmentation : 6,029 %.

h. Vous placez un capital le 1^er janvier au taux annuel de 6% mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

Le coefficient d’augmentation est 1,06 sur un an. Sur 6 mois, il vaut c tel que c×c = 1,06 (deux augmentations successives identiques donneront l’augmentation annuelle). Donc c = √1,06 = 1,02956. Au bout de 6 mois, on retirera son capital, plus 2,956 % d’intérêts.

1.7 Interpolation linéaire

interpolation ou extrapolation…

Dans chaque cas, on donne deux points E et F. On donne une coordonnée d’un point M aligné avec E et F, il s’agit de trouver l’autre !

Dans tous les cas, la relation ^M ^E ^F ^E

M E F E

y y y y

x x x x

− = −

− − est valable. Il suffit de l’appliquer.

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?)

8 1 8 8 7 14 14 10

8 8

4 2 5 2 2 3 3 3 3

M M

y y

− = − ⇔ − = − ⇔ − =− ⇔ = − =

− −

(8)

(on peut remarquer que l’abscisse de M, 4, se trouve aux deux tiers de l’intervalle

d’abscisses du segment [EF] : [2 ; 5]. L’ordonnée de M est donc forcément aux deux tiers de l’intervalle d’ordonnées de [EF] : [8 ; 1], dont l’amplitude est 7, c’est à dire yM = 8 – 2/3×7, d’où yM = 10/3)

b. E(-3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6)

3

6 2 4 2 4 2 6

3 3 12 9

3 3 3 3 6 4 2

M

M M

x x x

x x

+

− = − ⇔ = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =

+ + +

(on peut remarquer que l’enchaînement des ordonnées de E, F, M étant 2, 4, 6, soit une variation constant de +2, on doit forcément avoir une variation constante des abscisses dans le même ordre E, F, M. C’est le cas, puisqu’on a -3, 3, 9, soit une variation constante d’abscisses de +6)

c. E(6 ; 1), F(3 ; -8), M(4 ; ?)

1 8 1 1 9

3 1 6 5

4 6 3 6 2 3

M M

y y

− =− − ⇔ − = − = ⇔ − = − ⇔ = −

− − − −

(on peut remarquer que l’abscisse de M, 4, se trouve aux deux tiers de l’intervalle

d’abscisses du segment [EF] : [6 ; 3]. L’ordonnée de M est donc forcément aux deux tiers de l’intervalle d’ordonnées de [EF] : [1 ; -8], dont l’amplitude est 9, c’est à dire yM = 1 – 2/3×9, d’où yM = -5)

1.8 opérateur somme

1. Ecrire avec l'opérateur somme les expressions suivantes : a. n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₄x₄ + n₅x₅ =

=

∑

⁵

1 i i i

n x b. x + 2x² + 3x³ + … + nxⁿ =

n i i

ix

=

∑

1

c. q⁹ + p×q⁸ + p²×q⁷ + p³×q⁶ + … + p⁸×q + p⁹ = ⁱ ⁱ

i

p q ⁻

=

∑

⁹ ⁹

0

2. Calculer les sommes proposées : a.

i

=

∑

⁴ ²

1

= + + +1² 2² 3² 4² = + + +1 4 9 16=30

b.

( )

i

=

∑

¹⁰⁰ −

1

2 100

i i

i

= =

=

∑ ∑

¹⁰⁰ −¹⁰⁰ = × − × = × =

1 1

100 101

2 100 2 100 100 1 100 100

2

c.

( )

i

i b

=

∑

⁹ +

5

3 5

( ) ( )

i i

i b b b b b b b

= =

=

∑

⁹ +

∑

⁹ = + + + + + + + + + = +

5 5

3 5 3 5 6 7 8 9 5 105 25

d.

i=

∑

¹⁰

0

8 = × =11 8 88

e.

(

i

)

i

x

=

∑

⁶ + ²

1

2 1

(

ⁱ ⁱ

)

ⁱ ⁱ

i i i i

x x x x

= = = =

=

∑

⁶ ²+ + =

∑

⁶ ²+

∑

⁶ +

∑

⁶ = × + × + =

1 1 1 1

4 4 1 4 4 1 4 100 4 16 6 470

(9)

1.9 différents types de moyennes

Dans chaque exercice, résoudre le cas concrètement puis associer au résultat la définition d’une des moyennes vues en remise à niveau, tout en vérifiant la formule donnée pour cette moyenne.

a. Un avion fait un trajet entre la ville A et la ville B distantes de 650 km à la vitesse moyenne de300 km/h à vide. Lourdement chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyenne de 200 km/h. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour ?

= = × = = = × =

+ +

distance totale 2 650 2 2 60000

Vitesse moy 2 240

650 650 1 1 500

durée totale 500

300 200 300 200 60000

. La vitesse moyenne de l’avion est 240 km/h et le calcul correspond à celui de la moyenne harmonique des nombres 200 et 300 (l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses).

b. Soient cinq plaques carrées de côtés respectifs 1, 5, 7, 13 et 16 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dont l'aire est la moyenne arithmétique des aires des cinq plaques ? aires des 5 plaques : 1², 5², 7², 13², 16², soit 1, 25, 49, 169, 256. Moyenne arithmétique des aires : (1+25+49+169+256)/5 = 500/5 = 100. Côté d’un carré d’aire 100 : √100 = 10 cm.

La racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés de 1, 5, 7, 13, 16 est leur moyenne quadratique, 10.

c. Le prix d'un article augmente de 10 % la première année, puis de 20 % la deuxième année, et baisse de 10 % la troisième année. Quel a été le pourcentage moyen d'augmentation par an ?

Coefficient multiplicateur global : 1,1×1,2×0,9 = 1,188 (18,8% d’augmentation sur 3 ans).

Si on veut appliquer 3 fois la même augmentation (coef c) et arriver au même résultat, il faut que c×c×c = 1,188 et donc que c = ³1 188, ≈1 0591, .

L’augmentation annuelle moyenne a été de 5,91 %.

La racine cubique du produit de trois nombres est leur moyenne géométrique. Ici, 1,0591 est la moyenne géométrique de 1,1 , 1,2 et 0,9.

1.10 bases d’écriture

(10)

2 calcul littéral

2.1 mise en forme et définitions

2.2 calcul littéral dans des cas simples

1. Développez les produits remarquables suivants :

a. (x + 3)² = x² + 6x + 9 ; b. (5 - x)² = 25 – 10x + x² ; c. (3x - 5)² = 9x² - 30x + 25 ; d. (6x - 5)(6x + 5) = 36x² -25 ;

e. (3 + 2x)(3 - 2x) = 9 – 4x² ; f. (-2x - 1)² = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1 ; g. (-7 - (-3x))² = (7 + (-3x))² = 49 – 42x + 9x² ;

h. (2y - (-3x))² = (2y + 3x)² = 4y² + 12xy + 9x² ;

i. (y - 1 + 2x)² = (y-1)² + 2(y-1)2x + 4x² = y² - 2y + 1 + 4xy – 4x + 4x² ; j. (2x - 5 + y)(y + 5 - 2x) = (y + (2x-5))(y - (2x-5)) = y² - (2x-5)² = y² - 4x² + 20x – 25

2. Etablir le triangle de VOUS (à l’image du triangle de Pascal) qui permet d’établir les coefficients des polynômes obtenus en calculant

(

^a⁺²^b

)

ⁿ^.

Testons les développements des premières puissances : (a+2b)⁰ = 1

(a+2b)¹ = a + 2b (coefs : 1 ; 2)

(a+2b)² = a² + 4ab + 4b² (coefs : 1 ; 4 ; 4)

(a+2b)³ = a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³ (coefs : 1 ; 6 ; 12 ; 8) Ebauche du triangle : 1

1 2

1 4 4

1 6 12 8

Il semblerait qu’un nombre soit la somme de celui qui se trouve au-dessus et du double de celui qui se trouve au-dessus, à gauche.

Cette conjecture peut sans grande difficulté se prouver par récurrence : nous laisserons le soin aux téméraires d’y réfléchir.

Pour aller plus loin, on peut remarquer que les coefficients du développement de (a+b)ⁿ sont ceux de la ligne n°n du triangle de Pascal et sont donc les nombres de combinaisons

k

Cn pour k allant de 0 à n (k représentant la puissance de b dans le terme correspondant).

Les coefficients du développement de (a+2b)ⁿ sont donc égaux à C_n^k×2 . ^k 3. Développer

(

^x⁻¹

)

⁷, en déduire la valeur de 9⁷.

Avec les coefficients de la ligne 7 du triangle de Pascal : (x-1)⁷ = x⁷ - 7x⁶ + 21x⁵ - 35x⁴ + 35x³ - 21x² + 7x - 1.

Donc (10-1)⁷ = 10⁷ – 7.10⁶ + 21.10⁵ - 35.10⁴ + 35.10³ - 21.10² + 7.10 – 1

= 10 000 000 – 7.1 000 000 + 21.100 000 - 35.10 000 + 35.1 000 - 21.100 + 7.10 – 1

= 10 000 000 – 7 000 000 + 2 100 000 – 350 000 + 35 000 – 2 100 + 70 – 1

= 4 782 969

(11)

4. Développer

(

¹⁺^x

)

⁷, en déduire la valeur de 11⁷. (x+1)⁷ = x⁷ + 7x⁶ + 21x⁵ + 35x⁴ + 35x³ + 21x² + 7x + 1.

Donc (10+1)⁷ = 10⁷ + 7.10⁶ + 21.10⁵ + 35.10⁴ + 35.10³ + 21.10² + 7.10 + 1

= 10 000 000 + 7.1 000 000 + 21.100 000 + 35.10 000 + 35.1 000 + 21.100 + 7.10 + 1

= 10 000 000 + 7 000 000 + 2 100 000 + 350 000 + 35 000 + 2 100 + 70 + 1

= 19 487 171

5. Soit le nombre M= 7 2 6+ − 7 2 6 On souhaite connaître sa valeur exacte. − . a. Calculer ^P⁼

(

7 2 6 7 2 6⁺

)(

⁻

)

sans calculatrice.

( )( )

P= 7 2 6 7 2 6+ − = 49 4 6− × = 25 5=

b. Exprimer M² en fonction de P, puis conclure sur la valeur de M.

M² = 7+2√6 – 2P + 7-2√6 = 14 – 2P = 4.

Donc M = 2 (M est manifestement positif au vu de sa définition).

6. Résoudre dans R après avoir éliminé les valeurs interdites : a.

x+ x =x

− −

1 2 5

1 2 2 valeurs interdites pour x : 0, ½ et 2.

Mettons à gauche au même dénominateur, par exemple :

(

^x

)

^x

x x x

− + =

− −

1 2 2 5

1 2 2^{, donc}^x

(

^{1 2}¹⁻ ^x

)

⁼ ^x⁻⁵². L’égalité des produits en croix donne :

( )

x − x = −x

5 1 2 2. On développe et on regroupe à gauche : -10x² + 4x + 2 = 0.

∆ = 96 = 4²×6. Les solutions, réelles, sont 1± 6

5 , qui ne sont pas interdites.

b. x²_{+ = +}3 x 2

aucun problème de négativité dans la racine carrée, donc pas de valeur interdite ici.

L’égalité montre ici deux nombres forcément positifs (puisque l’un est une racine carrée). Il est donc équivalent de dire que leurs carrés sont égaux :

x² + 3 = x² + 4x+ 4, et donc x = -1/4 (on pourra vérifier l’égalité de départ).

c. ^x ^x x

+ − >

−

2 3 10

1 0

valeur interdite : 1 (on a vérifié que 1 n’était pas racine du numérateur).

On a affaire ici à une étude de signe sur une forme constituée de facteurs, éventuellement factorisable davantage.

Etudions x² + 3x – 10 : ∆ = 49 = 7². Ses racines, réelles, sont –5 et 2.

On dresse un tableau de signes de l’ensemble :

x -∞ -5 1 2 +∞

x² + 3x – 10 + - - +

x - 1 - - + +

fraction - + - +

Solutions de l’inéquation de départ : x ∈ ]-5 ; 1[ ∪ ]2 ; +∞[.

(12)

d. ^x_{− ≤ +}¹ ₄x ₁

x valeur interdite : 0 (qui n’est pas non plus racine du numérateur).

Le plus prudent est de tout regrouper et tout mettre sur le même dénominateur. En effet, multiplier par x à gauche et à droite est dangereux : une inéquation ne change pas de sens à condition qu’on la multiplie par un nombre positif, cela nous obligerait ici à distinguer deux cas.

( )

x x x x x

x x x

− −1 4 +1 ≤ ⇔ −4 ²−1≤ ⇔ 4 ²+1≥

0 0 0 .

Le numérateur est positif (strictement, d’ailleurs) pour tout réel x et donc le signe de la fraction est directement celui de x, son dénominateur. Solutions : x∈ℝ^*₊.

7. Trouver le moyen d’obtenir une écriture simplifiée de A B C+ , A, B et C positifs, sous la forme a+b c, lorsque c’est possible (dire sous quelles conditions ça l’est).

Application : donnez une écriture simplifiée de 7 2 6 . +

On a donc forcément ^{A B C}⁺ ^{= +}

(

^a ^{b c}

)

² ^{= +}^a² ²^{ab c} ⁺^{b c}² ^.

Par analogie, on peut tout à fait poser c = C, positif, a² + b²c = A, donc positif, et 2ab = B.

Ainsi, b = B/2a et on peut écrire : a² + B²C/4a² - A = 0, soit en multipliant par a² : /

a⁴−Aa² +B C² 4=0, équation « du second degré en a² », de discriminant A² - B²C.

A doit être supérieur à B√C pour que le discriminant soit positif.

A ce moment-là, il y a deux solutions pour a² : A A B C a² = ± ²− ²

2 , toutes deux positives.

Résumons :

A partir de A B C+ , on vérifie que A ≥ B√C puis on calcule :

; A A B C ; B

c C a b

a

± −

= = ² ² =

2 2

Application : écriture simplifiée de 7 2 6 +

On a : .

; ;

c a b

a a

± −

= = 7 7² 2 6² = = 2 =1

6 6 ou 1

2 2 .

On conviendra que le choix de a = 1 et b = 1 est le plus simple… mais que le choix de a = √6 et b = 1/√6 donnera finalement la même chose.

On vérifie que 7 2 6+ = 1+ 6, par une mise au carré.

(13)

2.3 polynômes

2.4 opérations sur les polynômes

1. Additions, multiplications ; simplifier : a.

(

²^x⁵⁻³^x³^{+ − +}^x ⁷

) (

²^x⁻⁴^x⁴^{+ −}^{3 6}^x³

)

x x x x x x x x x x x x

x x x x

= − + − + − + − = − − − + + − +

= − − + −

5 3 4 3 5 4 3 3

5 4 3

2 3 7 2 4 3 6 2 4 3 6 2 7 3

2 4 9 3 4

b.

( (

^{− +}^x ²^x²⁻³^x³⁺⁸^x⁸

) (

^{− +}^{5 9}^x⁻⁷^x²⁺⁴^x⁵

) )

^{× +}

⁽

^x ²

⁾

( ) ⁽ ⁾ ( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

= − + − + − − + − + = − − + − − +

= − − + − − + − − + − −

= + − − − + + − −

2 3 8 2 5 8 5 3 2

9 6 4 3 2 8 5 3 2

9 8 6 5 4 3 2

2 3 8 5 9 7 4 2 8 4 3 9 10 5 2

8 4 3 9 10 5 16 8 6 18 20 10

8 16 4 8 3 3 8 25 10

c.

(

^x⁺¹

)(

^x⁻^{3 2}

)(

^x⁻²

)

( ) ⁽ ⁾ ( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ( )

. .

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

= + − − − = − − −

= − − − − − = − − − + + = − − +

2 2

3 2 2 3 2 2 3 2

3 3 1 2 2 3 1 2

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 6 2 6

2. Donner les racines des polynômes ci-dessous : a. ^{P x}

( ) (

⁼ ^ax⁺^{b cx}

)(

⁺^d

)

P(x) = 0 ⇔ [ax + b = 0 ou cx + d = 0], soit [x =-b/a ou x = -d/c]

b. ^{P x}

( )

⁼³^x²^{− +}⁷^x ² : polynôme du second degré à coefficients tous non nuls

∆ = 49 – 24 = 25, strictement positif. Deux racines réelles : 7 5− =1

6 3 et 7 5+ = 6 2. c. ^{P x}

( )

⁼³^x² ⁻⁷^x : polynôme du second degré factorisable immédiatement

( ) ( )

P x =x 3x−7 , qui s’annule pour les racines 0 et 7/3.

d. ^{P x}

( )

⁼³^x²⁺² : polynôme du second degré trivial. Somme de 2 et d’un nombre positif, P(x) ne peut s’annuler (pas de racine).

Remarque 1 : dans le cas où ^{P x}

( )

⁼³^x²⁻², P(x) = 0 revient à x² = 2/3, d’où deux racines réelles : + ou – √(2/3).

Remarque 2 : les exercices c. et d. peuvent être traités par la méthode générale (∆), mais celle-ci est une perte de temps et représente un risque d’erreur dans ces cas où l’on recherche les racines d’un binôme et non d’un trinôme.

(14)

e. ^{P x}

( )

^{= −}^x³ ⁴^x²⁻³¹^x⁺⁷⁰ : polynôme du troisième degré dont on s’attachera à trouver une racine « évidente » pour amorcer une factorisation (la méthode générale existe, mais nous ne l’utiliserons pas, voir sur Internet).

( )

P 2 = − − +8 16 62 70 0= : 2 est une racine de P(x), qui se factorise donc par (x-2).

( ) ( ) ( )

P x = x−2 x²+bx+c .

On peut trouver les coefficients b et c du polynôme du second degré par division (voir exercices suivants) ou par identification (en développant) :

(

^x⁻²

) (

^x²⁺^bx^{+ =}^c

)

^x³^{+ −}

⁽

^b ²

⁾

^x²^{+ −}

⁽

^c ²^{b x}

⁾

⁻2 , ce qui nous donne : ^c [b-2 = -4 ; c-2b = -31 ; -2c = 70], soit [c = -35 ; b = -2 ; b = -2].

Donc ^{P x}

( ) (

⁼ ^x⁻²

) (

^x²⁻²^x⁻^{35 .}

)

Reste à déterminer les racines réelles, si elles existent, de x²−2x−35 (ici : 7 et –5).

P(x) admet trois racines réelles : 2, 7 et –5 ; ^{P x}

( ) (

^{= −}^x ²

)(

^x⁻⁷

)(

^x⁺⁵

)

3. Divisions :

a. Diviser selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 5 : x x x

+ −

− 3 2 5 1

2

x x x

x x x x x

x x

x

x x x x x x

x x

x

x x

x

− + + − +

− + − − − −

+

−

+ −

−

− = − − − − +

−

2

2 3 4

2

2 2

5

2 3 2 3 4

3

3 4

4

4 5

5

1 5 3 2

1 1 9 21 21 21

1 2 2 4 8 16 32

9 3 2

9 9

2 4

21 3 5 1

4 2

21

21 21 1 9 21 21 21 32

4 8 2 4 8 16 32 2

21 8

21 21

8 16

21 16

21 21 16 32 21 32

(15)

b. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : x x x

+ −

− 3 2 5 1

2

x x x

x x

+ − −

− +

−

2 2

3 5 1 2

3 6 3 11

11 1 11 22

21

x x

x + −

− 3 2 5 1

2 ⁼ x + + x

− 3 11 21

2^.

c. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : x x x x x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x

x

− + − + + −

+ − − +

− + − +

− − +

− + + −

− +

4 3 2 2

3 2

2 2

5 4 3 2 1 2 1

5 10 5 5 14 36

14 8 2 1

14 28 14 36 16 1 36 72 36

88 37

x x x x

x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1 = _x _x ^x

x x

− +

− + +

+ −

2

88 37 5 14 36

2 1

d. x x x x

x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1 selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 4

x x x x x x

x x x

x x

− + − + − + +

− − − −

− +

− − +

2 3 4 2

2 2

2 3 4

3 4

1 2 3 4 5 1 2

1 2 1 4

4 4 5

4 8 4

4 9

x x x x

x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1 = x x

x x x

− − + +

+ −

3 4

2

4 9

1 4 2 1

e. Diviser selon les puissances CROISSANTES : ² ⁴

2

1 5 2

2

x x x

x x + − +

− −

x x x x x

x x x x

x x x

x x

+ − + − −

− − + +

− +

− −

+ +

− − +

2 4 2

2 2

2 4

2 3

2 3 4

3 4

1 5 2 2

1 1 1 11 9

1 2 2 2 4 8

11 1 2 2 2

11 11 11

2 4 4

9 11 4 4 2

9 9 9

4 8 8

31 25

8 8

x x x

x x + − +

− −

2 4

2

1 5 2

2 =

x x

x x + + + +

− −

3 4

2

31 25

1 11 9 8 8

2 4 8 2

(16)

f. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : ² ⁴

2

1 5 2

2

x x x

x x + − +

− −

x x x x x

x x x

x x

x

− + + − − +

+ − − + −

− + + +

− − +

+ + + −

− +

4 2 2

4 3 2 2

3 2

2 2

2 5 1 2

2 2 4 2 2 5

2 3 5 1

2 2 4

5 1

5 5 10 4 11

2 4

2

1 5 2

2

x x x

x x + − +

− − =

4. Décomposition sur les racines du diviseur :

Soit à diviser les deux polynômes suivants puis à obtenir la décomposition sur les racines du diviseur du reste (divisions par les puissances décroissantes) :

DIVIDENDE : ^{P x}

( )

⁼⁵^x⁵⁻³^x³⁺²^x²^{+ +}^x ¹⁰⁰

DIVISEUR : ^{D x}

( )

⁼²^x²^{+ −}^x ³

a. Exprimer le quotient ^{Q x}

( )

et le Reste ^{R x}

( )

^de

( ) ( )

P x D x ^.

x x x x x x

x x x x

x x x

x x

x

− + + + + −

+ − − + −

− + + + +

− − +

− + +

+ −

− + +

− − +

+

5 3 2 2

5 4 3 3 2

4 3 2

3 2

2

5 3 2 100 2 3

5 15 5 5 23 37

5 2 2 2 4 8 16

5 9

2 100

2 2

5 5 15

2 4 4

23 7 4 4 100

23 23 69

4 8 8

37 77 8 8 100

37 37 111

8 16 16

191 1489

16 16

( )

^;

( )

Q x =5x³−5x²+23x−37 R x =191x+1489

2 4 8 16 16 16

x x x

x x

− + − + − +

− −

2

4 11

2 2 5

2

(17)

b. Calculer les deux racines du diviseur ^{D x}

( )

⁼²^x²^{+ −}^x ³

Il est du second degré. Ses coefficients a, b, c sont 2, 1, -3.

∆ = b² - 4ac = 1 + 24 = 25. Le discriminant est positif, donc D(x) possède deux racines réelles distinctes : b

x a

− − ∆ − − −

= = =

1

1 5 3

2 4 2 et b

x a

− + ∆ − +

= = =

2

1 5 1

2 4

On remarque dès maintenant que ^{D x}

( ) (

⁼² ^x⁻¹

)

^^_^x⁺³₂^^_

c. Décomposer

( ) ( )

R x

D x à l’aide des racines du diviseur.

( ) ( ) ( ) ( )( )

x x

R x

D x x x

x x

+ +

= =

− +

 

−  + 

 

191 1489 191 1489

16 16 16 16

3 1 2 3

2 1

2

peut s’écrire a b

x + x

−1 2 +3^où^{a et}b sont deux coefficients à déterminer. On procède par identification en remettant cette dernière expression au même dénominateur et en l’identifiant à la première expression :

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

a x b x x a b a b

a b

x x x x x x

+ + − + + −

+ = =

− + − + − +

2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 .

Le numérateur doit donc être égal à 191x+1489

16 16 , d’où le système : a b a b

+ =

− = 2 191

16 3 1489

16 .

En additionnant les deux équations, on obtient : a=1680 a=336=

5 , soit 21

16 16 ;

et enfin avec la première équation par exemple : 191 191 672 481

16 2 16 16 16

b= − a= − = −

Pour finir, on écrira le résultat de la division :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x R x

Q x x x x

D x = +D x = − + − +x − x

− +

3 2

481

5 5 23 37 21 16

2 4 8 16 1 2 3

d) Calculer

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P D Q R

D 2 , 2 , 2 , 2

2 , ce dernier étant exprimé sous la forme d’une somme de deux fractions. Que peut on alors écrire ?

( )

² 5 32 3 8 2 4 2 100 246

P = × − × + × + + = ; ^D

( )

² ^{= × + − =}^{2 4 2 3 7}

( ) ( )

( )

^. ^. ^. ^.

Q R

= × − × + × − = D = − = − = =

− +

481

5 5 23 37 295 2 21 16 2352 481 1871 1871

2 8 4 2 ;

2 4 8 16 16 2 2 1 2 2 3 7 16 7 16 7 16 112

On peut alors écrire : 246=295 1871+

7 16 112

(18)

3 raisonnement et mise en équation

3.1 Raisonnement par récurrence

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

( )

=

= +

∑

1

1 2

n

i

i n n , puis

que ⁿ

( )( )

i

n n n

i

=

+ +

∑

² =

1

1 2 1

6 et enfin que

n n

i i

= =

 

= 

 

∑

³

∑

²

1 1

.

( ) ( )

n

n i

i n n P

=

= +

∑

1

2 ^?

Initialisation : la propriété est-elle vraie pour n = 1 ?

( )

i

=

= + =

∑

¹

1

1 1 1

1 et 1

2 ^OK

Récurrence : La validité au rang n entraîne-t-elle celle du rang suivant ?

( ) ( )

Pn ⇒ Pn₊1 ^?

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

n n

i i

Pn Pn

n n n

n n n n

i i n n

+

= =

+

+ + +

= + + = + + = =

∑ ∑

¹

1 1

1

1 2 1

1 1 2

1 1

2 2 2

En effet, l’hypothèse au rang n montre la validité de la formule au rang n+1.

La formule est donc démontrée, par récurrence, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

( )( ) ( )

n

n i

n n n

i P

=

+ +

∑

² =

1

1 2 1

6 ^?

Initialisation : la propriété est-elle vraie pour n = 1 ?

( )( )

i

=

+ +

= =

∑

¹ ²

1

1 1 1 2 1

1 et 1

6 ^OK

( ) ( )

Pn ⇒ Pn₊1 ^?

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ( ) ) ( ⁽ ⁾ )

1 2 2 2 2

1 1

1

1 2 1 6 1 1

1 2 1

1 1

6 6

1 2 1 6 1 1 2 2 3 1 1 1 2 1 1

6 6 6

n n

i i

Pn

n n n n n

n n n

i i n n

n n n n n n n n n n

+

= =

+

+ + + + +

+ +

= + + = + + =

 

+  + + +  + + + + + + + +

= = =

∑ ∑

(19)

n n

( )

n

i i

i i P

= =

 

= 

 

∑

³

∑

²

1 1

?

Initialisation : la propriété est-elle vraie pour n = 1 ? 1³ = (1)² ? oui Récurrence : La validité au rang n entraîne-t-elle celle du rang suivant ?

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

n n n n

i i i i

n n

i i

Pn Pn

i i n i n i n

n n n n i n n i n

i i

+

= = = =

+

= =

+

     

= + + = + + + +

     

     

= + + + + + = + + + = + + =

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2 2 2

1 2

1 1 1 1

2 3 2 3 3 1

3 3

1 1

1

1 2 1 1

2 1 1 1 1 1 1

2

2. Montrer par récurrence que la dérivée nième de la fonction x֏xe^x est ^x^֏

(

^x⁺ⁿ

)

^e^x^.

Initialisation : la propriété est-elle vraie pour n = 1 ? (x.e^x)’ = 1.e^x + x.e^x = (x + 1)e^x. OK Récurrence : La validité au rang n entraîne-t-elle celle du rang suivant ?

(x.e^x)⁽ⁿ⁺¹⁾ = [(x.e^x)⁽ⁿ⁾]’ = [(x + n)e^x]’ = 1.e^x + (x + n)e^x = (x + n+1)e^x donc

( ) ( )

Pn ⇒ Pn₊1

La formule est donc démontrée, par récurrence, pour tout entier supérieur ou égal à 1.

3. La spirale de Pythagore :

Cette « spirale » est une succession de côtés de triangles rectangles bâtis les uns à partir des autres. Le premier est isocèle est les côtés perpendiculaires sont de longueur 1. Son hypoténuse sert de base au triangle rectangle n°2, dont le côté perpendiculaire est à nouveau de longueur 1. L’hypoténuse du triangle n°2 sert de base au triangle n°3, et ainsi de suite.

Montrer par récurrence que la longueur de l’hypoténuse du triangle n° n est n+1^. Initialisation : la propriété est-elle vraie pour n = 1 ?

Le premier triangle a pour mesures perpendiculaires 1 et 1.

Le théorème de Pythagore montre que son hypoténuse vaut √2, soit 1 1+ . OK

(20)

Le triangle n°n+1 a pour mesures perpendiculaires ⁿ⁺¹

( )

^Pⁿ et 1. Son hypoténuse h est donc telle que h² = ( n+1)² + 1² = n+1 + 1, et donc h = n+ +1 1, ce qui correspond bien à la proposition énoncée, au rang n+1.

La formule est donc démontrée, par récurrence, pour tout entier supérieur ou égal à 1.

3.2 Mise en équation d’un problème

1. Vol au vent :

Un avion de tourisme, dont la vitesse dans l’air calme est de 150 km/h, va d’une ville A à une ville B et revient aussitôt à la ville A. la distance AB vaut 308 km.

Pendant la durée du vol, le vent a soufflé de manière uniforme dans la direction (AB), dans le sens A vers B. Calculez la vitesse du vent, sachant que l’avion a mis, pour revenir une demi-heure de plus qu’à l’aller.

On part de l’hypothèse que le vent « pousse » l’avion à l’aller, et qu’il le freine au retour.

On notera v la vitesse du vent, en km/h.

Rien de variable ici, tout est fixé (mais pas forcément connu).

Nous sommes dans le contexte de la formule D = V×t. Complétons :

aller retour

Distance 308 308

Durée

+v 308

150 −v

308 150

Vitesse 150 + v 150 - v

L’hypothèse « l’avion a mis, pour revenir une demi-heure de plus qu’à l’aller » nous conduit directement à écrire :

v = + v

− +

308 1 308

150 2 150 . Multiplions par 2 pour simplifier :

v = + v

− +

616 616

150 1 150 .

Mettons tous les termes dans le même membre (du même côté) et au même

dénominateur :

(

^v

) (

^v

) (

^v

)

v

+ − − − −

− =

2 2

616 150 616 150 150

150 0, qui équivaut à un

numérateur nul, soit après développement et simplification :

v²+1232v−22500=0 ∆ = 1232² + 4.22500 = 1607824, √∆ = 1268.

1

1232 1268

2 2 1250

− − ∆ − −

= b = = −

v a , irréaliste ici et b

v a

− + ∆ − +

= = =

2

1232 1268

2 2 18.

Le vent a donc soufflé à 18 km/h.

(on notera qu’une vitesse du vent atteignant ou dépassant 150 km/h rend les expressions mathématiques – et la situation physique – irréalistes)

2. Vol aux vents :

(21)

Dans la même situation que précédemment, mais dans un cas général, on note V la vitesse de l’avion (fixée), v celle du vent (fixée) et D la distance AB (fixée).

Montrer que quelle que soit la vitesse non nulle du vent, l’avion mettra toujours plus de temps pour faire l’aller-retour que s’il n’y avait pas de vent.

Sans vent, le temps total mis par l’avion est D V

2 . Avec un vent de vitesse v, ce temps total

est D D DV D

v

V v V v V v V

V

+ = =

− + ²− ² − ²

2 2

.

Comme V v V

− ²V < , on voit tout de suite que D D

v V

V V

− ² >

2 2

.

Le temps mis pour l’aller-retour sera plus grand avec du vent que sans vent.

3. Taxi :

Un taxi prend un client à l’aéroport, le ramène chez lui puis revient à l’aéroport. L’aller- retour lui a pris 50 minutes (dont 5 minutes d’arrêt devant le domicile du client). La vitesse moyenne à l’aller a été 36 km/h et au retour 45 km/h. Quelle est la distance entre le domicile du client et l’aéroport ?

Soit D la distance cherchée et notons ta et tr les temps mis à l’aller et au retour.

Nous avons : ³⁶^t^a ⁼^D

( )

^km ^; ⁴⁵^t^b ⁼^D

( )

^km ^; ^t^a^{+ =}^t^b ^{0 75 h}^,

( )

^.

Ainsi : 36 ; 36 3 3 45. 5

36 15 km

45 45 4 4 81 12

b a a a a a

t = t t + t = ⇔ =t = et D= t =

4. On fait le mur :

Un maçon a mis 2 jours pour monter son mur. Son collègue, moins expérimenté et plus frêle, a mis 4 jours pour le même travail. Ils s’associent pour monter un troisième mur, identique aux deux premiers. Combien de temps mettront-ils en travaillant ensemble (on suppose qu’ils ne perdent pas de temps à discuter et qu’ils travaillent sans s’arrêter jusqu’à ce que le mur soit fini) ?

On est sur le même type de problème que précédemment, mais avec d’autres unités : quantité à faire, vitesse d’exécution, temps passé :

Le premier maçon travaille à la vitesse de 0,5 mur/jour et le second à la vitesse de 0,25 mur/jour.

A eux deux, ils évolueront à la vitesse de 0,75, soit ¾ mur/jour.

Ceci équivaut, en inversant, à 4/3 jour/mur.

Ils mettront donc un jour et un tiers.

5. Balance commerciale :