Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie :

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Remise à Niveau Mathématiques

Troisième partie : Trigonométrie

Cours

(2)

1 TRIGONOMETRIE 3

1.1 APPROCHE HISTORIQUE 3

1.2 DEFINITIONS PREMIERES 3

1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 5

1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 8

2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 10

2.1 TRIANGLE ET CERCLE 10

2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 11

2.3 COMPLEMENTS DE GEOMETRIE 12

2.4 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 13

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 13

3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN 13

3.2 FONCTIONS RECIPROQUES 15

(3)

1 Trigonométrie

1.1 Approche historique

La civilisation Sumérienne est considérée à ce jour comme celle qui, la première (4^ème millénaire), inventa et mit en place un système d’écriture et de calcul, utilisant l’écriture cunéiforme. On y comptait en base 60, avec pour raison principale que ce nombre se découpe de nombreuses façons en parts entières égales. On dirait aujourd’hui que 60 possède un grand nombre de diviseurs : 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Les civilisations Akkadienne puis Araméenne, qui lui succédèrent, reprirent le système de numération de Sumer. On trouve à la période des 17ê–15ê siècles avant JC la division du cercle en 360 parties pour obtenir le degré (ô) qui est une unité bien adaptée à la mesure des angles (mesures astronomiques, principalement).

Entre les 15^e et 8^e siècles avant JC, la longueur de l'année était décrétée à 360 jours, d'après différents écrits.

On voit apparaître chez les astronomes grecs de l’antiquité la notion de tangente d’un angle, dans l’expression de certains types de calculs. Parallèlement, les mathématiciens envisagent la géométrie du triangle (plan ou sphérique) sous l’aspect de relations à déterminer entre des angles et des longueurs : naissance de la trigonométrie (du grec tri-gônas : trois-angle) plane et sphérique. Les notions de lignes trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, cotangente – seront développées ensuite par les astronomes de langue arabe du haut Moyen Age et des tables de valeurs seront formées.

Ces travaux se poursuivent activement jusqu'au 18^e siècle puis débordent de la géométrie (Euler, Fourier, Laplace, …) avec l’étude des fonctions trigonométriques.

La trigonométrie dont il sera question ici est la "Trigonométrie plane".

1.2 Définitions premières 1.2.1 Le nombre

π

Initialement, π était défini comme un rapport de grandeurs, celui de l'aire intérieure d'un cercle à celle du carré construit sur son rayon ou, peu de temps après, comme le rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre. Il n’était pas du tout évident qu’ils ne dépendent pas de la taille du cercle considéré et soient donc une constante mathématique, et encore moins évident que ces deux rapports soient égaux (mais on le soupçonnait fortement) !

La lettre pi a été choisie par les grecs en tant qu’initiale de « périmètre » (et on comprend que Pythagore l’ait adoptée et transmise, entre 550 et 500 avant JC). C’est Archimède qui, au 3^e siècle avant JC, a prouvé que les rapports mentionnés au paragraphe précédent étaient indépendants du rayon du cercle considéré et qu’ils étaient égaux entre eux.

L'irrationalité de π fut prouvée en 1761 par le Suisse Lambert.

Sa transcendance sera, elle, démontrée en 1882 par l'Allemand Lindemann.

Le calcul d’une valeur approchée de π est une histoire qui remonte aux temps les plus anciens.

De nombreuses méthodes (géométriques ou analytiques) existent pour affiner sa connaissance. Dans l’antiquité, certains utilisaient la valeur 3, d’autres 3,125 (Babyloniens) ou 3,15 (Egyptiens, plus tard) ou le rapport 22/7…

En 1999, MM. Kanada et Takahashi ont donné π avec 206 milliards de décimales ; aujourd’hui, on a dépassé les 20000 milliards de décimales et ce n'est pas fini…

Un tableur donnera π = 3,141592653589793. Dans la pratique, on prend la valeur π = 3,1416.

1.2.2 Le radian

Le degré d’angle présente un inconvénient majeur en sciences : c’est une unité.

(4)

Les applications des angles et des lignes trigonométriques sont très présentes en physique (mécanique, électricité, traitement du signal, etc.) et pour inclure ces notions dans des formules sans avoir à les agrémenter de conversions, il faut une mesure d’angles sans unité. Le problème se pose également en mathématiques : l’étude de fonctions trigonométriques, de leurs primitives et dérivées, l’établissement d’un développement limité, où la variable est un angle, impose la même contrainte.

On décide donc d’exprimer un angle comme le rapport de deux longueurs : plaçons-nous sur un cercle ; un angle est caractérisé par un secteur angulaire, et sa mesure sera le rapport de la longueur de l’arc par le rayon du cercle. Ainsi, cette mesure s’exprimera sans unité puisque c’est un rapport mètre/mètre, et on dira qu’on a exprimé l’angle en radians.

Cette définition de la mesure d’un angle α peut être visualisée sur un cercle de rayon 1 (d’unité sans importance) où la valeur

de α en radians sera définie par la longueur de l’arc AM correspondant :

Un angle de 1 radian est donc caractérisé par un arc dont la longueur vaut exactement le rayon du cercle.

Un angle d’un tour complet vaut, en radians, 2πR/R, soit 2π.

1 tour = 2 π rad

Correspondances radians/tours/degrés/grades:

tours 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/3 1/2 3/4 1

radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π

degrés 0 30 45 60 90 120 180 270 360

grades 0 50 100 200 300 400

Le degré se divise en minutes (’) et secondes (’’) d’arc :

60’’ = 1’ et 60’ = 1°

Par exemple : 5,73° = 5°43’48’’

(0,73° × 60 = 43,8’ et 0,8’× 60 = 48’’)

Le grade se divise de façon décimale : décigrade (dgr), centigrade (cgr), milligrade (mgr), etc.

Il est rarement utilisé (parfois en topographie) et tend à être abandonné.

1.2.3 Le cercle trigonométrique

Pour disposer d’un outil de base performant, on place notre cercle de rayon 1 au centre d’un repère (O,(Ox),(Oy)) et on le munit d’un sens direct de rotation (le signe + de la figure ci- dessous), arbitraire. Les angles sont alors orientés : en tournant dans le sens direct, on leur attribuera une valeur positive, et négative dans l’autre sens.

A tout point M du cercle correspondra, outre son couple (x, y) de coordonnées, l’angle de vecteurs

(

^{OA OM}^,

)

^{, noté}^α^:

1.2.4 Mesure principale et Modulo

A un point M fixé correspond en fait une infinité de valeurs pour l’angle α. En effet, pour aller de A vers M, on peut faire n’importe quel nombre de tours complets, dans un sens ou dans l’autre, avant d’arriver à destination.

(5)

On doit donc écrire : α⁼α^p^{+ k.2}π, où :

* k est un entier relatif quelconque ;

* le choix de la valeur α^p se fera dans l’intervalle [0 ; 2π[ : c’est la longueur de l’arc AM, en tournant dans le sens direct ; α^p sera dénommé mesure principale de α^.

On écrira aussi : α = α^p [2π], et on lira « alpha p modulo 2 pi ».

Dans la figure ci-dessus, la mesure principale de l’angle représenté vaut environ π/6. Cependant, un angle de π/6 + 2π, π/6 + 6π, π/6 - 2π, π/6 - 12π, etc. sera représenté par le même point M.

1.2.5 Lignes trigonométriques d’un angle

Soit un point M du cercle trigonométrique.

Par définition : le sinus de α est l’ordonnée de M :

sin ( α ^{) = y}

^M

son cosinus est l’abscisse de M :

cos ( α ^{) = x}

^M

sa tangente est le rapport des deux :

( ) ( ) ( )

tan sin

cos α α

= α

* il s’agit donc de la pente du segment [OM]

* tan(α) existe pour α différent de π/2 + kπ.

sa cotangente est l’inverse :

( ) ( ) ( )

( )

1 cos cotan

tan sin

α α

= =

* cotan(α) existe pour α différent de kπ.

Conséquence : sinus et cosinus d’un angle variable sont des valeurs qui parcourent [-1 ; 1].

Valeurs pour quelques angles remarquables :

1.3 Quelques formules de trigonométrie 1.3.1 Relations immédiates

Quelle que soit la position du point M, le théorème de Pythagore montre immédiatement que :

( ) ( )

cos

²

α + sin

²

α = 1

D’où les relations : ^cos²

( ) ^α

⁼¹⁺^tan¹²

( ) ^α ( ) ( ) ( )

sin tan

tan

α α

=

α

+

2 2

1 2

(6)

1.3.2 Relations de symétrie

On donnera ici les formules relatives au sinus et cosinus.

Les conséquences sur tangente et cotangente en découlent par définition.

Angles opposés

cos(-α) = cos(α) ; sin(-α) = -sin(α) Angles supplémentaires (somme = π)

cos(π−α) = -cos(α) ; sin(π−α) = sin(α) Angle dont la différence vaut π

cos(π+α) = -cos(α) ; sin(π+α) = -sin(α)

Angles complémentaires (somme = π/2)

cos(π/2−α) = sin(α) ; sin(π/2−α) = cos(α) Angles dont la différence vaut π^/2

cos(π/2+α) = -sin(α) ; sin(π/2+α) = cos(α)

Ces relations se retrouvent aisément à l’aide d’un rapide schéma, il n’est pas utile de les retenir par cœur. Elles sont valables quelle que soit la valeur de α.

(7)

1.3.3 Formules d’addition et d’angle double

Les formules d’Euler, liant cosinus et sinus à des exponentielles complexes, que l’on verra en cours dans le chapitre traitant des nombres complexes, permettent d’établir que :

cos(

α

+

β

^{) =}^cos⁽

α

⁾^cos⁽

β

^{) –}^sin⁽

α

⁾^sin⁽

β

⁾

sin(

α

+

β

^{) =}^sin⁽

α

⁾^cos⁽

β

^{) +}^cos⁽

α

⁾^sin⁽

β

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tan tan

tan

tan tan

α β

α β α β

+ = +

− 1 Les formules de soustraction en découlent, en remplaçant β par –β :

cos(

α

−

β

^{) =}^cos⁽

α

⁾^cos⁽

β

^{) +}^sin⁽

α

⁾^sin⁽

β

⁾

sin(

α

−

β

^{) =}^sin⁽

α

⁾^cos⁽

β

^{) -}^cos⁽

α

⁾^sin⁽

β

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tan tan

tan

tan tan

α β

α β α β

− = − + 1

Dans le cas où α⁼β, les formules d’addition deviennent celles de l’angle double : cos

(2 α ^{) =}

^cos

^²( α ^{) –}

^sin

^²( α ⁾

sin

(2 α ^{) =}

^2sin

⁽ α ⁾

^cos

⁽ α ) ( ) ( ) ( )

tan tan

tan α α

= α

− ² 2 2

1

De plus, la relation ^cos²

( )

α +^sin²

( )

α =1 permet de compléter : cos

(2 α ^{) =}

^cos

^²( α ^{) –}

^sin

^²( α ^{) = 2}

^cos

^²( α ) – 1 = 1 – 2

sin

²( α ⁾

1.3.4 Formules utilisant le demi-angle

Lignes trigonométriques du demi-angle :

On peut en établir à partir des dernières égalités ci-dessus :

( ) ( ) ( )

( )

cos cos cos

cos ; sin ; tan

cos

α α α

α

+ − −

     

= ± = ± = ±

     

+

     

1 1 1

2 2 2 2 2 1

Formules utilisant la tangente du demi-angle : Posons tan^α^₌t

 

2 .

On a : ^sin

( )

^sin ^cos ^sin ^cos

sin cos

α α

α α α

   

   

       

=    =  +  

   

2 2

2 2 2

2 2

, et en simplifiant par cos ^α^

 

 

2

2 : ^sin

( )

^t

α = t + ² 2 1

De par le même principe, nous obtenons : ^cos

( )

^t

α = ⁻t +

2 2

1

1 et donc ^tan

( )

^t

α = t

− ² 2

1 où l’on reconnaît la formule de la tangente de l’angle double établie au point 1.3.3.

1.3.5 Formules de transformation

On veut transformer en produit : sin(α) ± sin(β) et cos(α) ± cos(β). Les formules d’addition et de soustraction du sinus permettent d’écrire : sin(α+β) + sin(α−β) = 2sin(α)cos(β) et sin(α+β) − sin(α−β) = 2cos(α)sin(β)

Utilisons les notations suivantes : α+β^{= p et}α−β = q. Donc : p q p q α= ⁺ et β = ⁻

2 2

Nous obtenons : ^sin

( )

^p ⁺^sin

( )

^q ⁼²^sin^ ^p₂⁺^q^^cos^^p₂⁻^q^

    et ^sin

( )

^p ⁻^sin

( )

^q ⁼ ^cos^ ^p⁺^q^^sin^ ^p⁻^q^

   

2 2 2

Le même principe appliqué au cosinus donne :

( ) ( )

cos cos cos p q cos p q

p q  +   − 

+ =    

   

2 2 2 et ^cos

( )

^p ⁻^cos

( )

^q ^{= −} ^sin^ ^p⁺^q^^sin^^p⁻^q^

   

2 2 2

(8)

1.4 Equations trigonométriques

Une équation trigonométrique fait figurer au moins une ligne trigonométrique d’un angle dépendant de l’inconnue, que l’on notera ici x.

Attention : si on est amené à « visualiser » une équation simple en s’aidant du cercle trigonométrique, alors on ne doit pas oublier que l’inconnue x est un angle et non une abscisse ; on ne doit pas oublier non plus le modulo aux réponses que l’on apporte…

1.4.1 Equation invariante lorsqu'on change x en –x

On posera u = cos(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u ≤1 . Exemple : Résolution de l'équation

( )

^sin

( )

^cos

( )

tan x x

x + − =

+

2 2

1 2 0

1

L’application de formules donne :

( ) ( ) ( )

cos² x + −1 cos² x −2cos x =0 , soit 1 2− u=0 . Le changement de variable ne s’impose pas ici, mais la réflexion donnée en titre nous a aiguillés sur le fait que tout pouvait être écrit assez simplement en fonction de cos(x).

L’équation montre alors que cos(x) = u = 1/2.

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de cosinus 1/2 sur le cercle trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs

modulo 2 π

^.

Les solutions sont : x = π/3 + k.2π ou x = -π/3 + k.2π, k entier relatif quelconque.

1.4.2 Equation invariante lorsqu'on change x en

_π

– x

On posera u = sin(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue,

avec u ≤1 .

Exemple : Résolution de l'équation : cos(2x) + 11sin(x) + 5 = 0.

L’application de formules donne : 1 – 2sin²(x) + 11sin(x) + 5 = 0, soit –2u² + 11u + 6 = 0.

Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ = 11² - 4.(-2).6 = 169 = 13², positif.

L’équation admet deux solutions réelles : u1 = (-11-13)/(-4) = 6 et u2 = (-11+13)/(-4) = -1/2. Seule la seconde peut nous convenir, puisque u est un sinus ( u ≤1 ). .

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de sinus -1/2 sur le cercle trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs

modulo 2 π

^.

Les solutions sont : x = -π/6 + k.2π ou x = 7π/6 + k.2π, k entier relatif quelconque.

1.4.3 Equation invariante lorsqu'on change x en

_π

+ x

On posera u = tan(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u réel quelconque.

Exemple : Résolution de l'équation :

(

^{3 1}⁻

)

^cos²

^{( )}

^x ^{− +}

(

¹ ³

)

^sin

^{( ) ( )}

^x ^cos ^x ^{+ =}^{1 0 .}

Divisons tout par cos²(x), après avoir remarqué que cos(x) = 0 ne peut vérifier l’équation (ce n’est pas une situation qui mènera à des solutions) : ^{3 1}^{− − +}

(

¹ ³

)

_cos^sin

^{( )} _{( )}

^x_x ⁺_cos²¹

_{( )}

_x ⁼^{0 .}

(9)

L’application de formules donne : ^{3 1}^{− − +}

(

¹ ³

)

^tan

^{( )}

^x ^{+ +}¹ ^tan²

^{( )}

^x ⁼⁰ ^⇔ ^u²^{− +}

(

¹ ³

)

^u⁺ ³⁼^{0 .}

Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ =

(

¹⁺ ³

)

²⁻^{4 3}^{= −}^{4 2 3}^{= −}

(

¹ 3 , positif.

)

²

Deux solutions réelles : u1 =

(

¹⁺ ³

) (

^{− −}¹ ³

)

₌ ₃

2 et u2 =

(

¹⁺ ³

) (

^{+ −}¹ ³

)

₌₁

2 .

Les solutions sont : x = π/4 + kπ ou x = π/3 + kπ, k entier relatif quelconque.

1.4.4 Résolution des équations en utilisant les formules de transformation

A appliquer dans des équations utilisant des angles multiples.

Exemple : sin(x) + sin(3x) + sin(4x) + sin(6x) = 0

On remarque que ^sin

( )

^x ⁺^sin

( )

^x ⁼ ^sin^ ^x^^cos^ ^x^⁼ ^sin

( ) ( )

^x ^cos ^x

   

4 2

3 2 2 2

2 2

et que ^sin

( )

⁴^x ⁺^sin

( )

⁶^x ⁼²^sin^^_¹⁰₂^x^^_^cos^^_²₂^x^^_⁼²^sin

( ) ( )

⁵^x ^cos ^x ^.

L’équation revient donc à : ^cos

( )

^x

(

^sin

( )

²^x ⁺^sin

( )

⁵^x

)

⁼^{0 ,}

et en appliquant à nouveau une formule de transformation :

( )

cos sin x cos x

x    

   =

   

7 3

2 2 0.

Un angle de cosinus nul vaut π/2 + kπ, un angle de sinus nul vaut kπ. Les solutions sont donc :

x = π/2 + kπ, ou 3x/2 = π/2 + kπ, ou 7x/2 = kπ, ce qui donne : x = π/2 + kπ, ou x = π/3 + k.2π/3, ou x = k.2π/7 . Il serait fastidieux de tout représenter sur le cercle trigonométrique. L’utilisation d’un tableur permet de vérifier chaque solution (du moins leurs mesures principales) :

1.4.5 Résolution par la méthode générale

Lorsque les méthodes précédentes sont inapplicables, on peut poser : ^t⁼^tan^{ } ^x

(

^x^{≠ π +}^k^. ^π

)

  2

2 et

utiliser les formules donnant sin(α^{), cos(}α^{), tan(}α) en fonction de t.

Attention à étudier à part les possibilités que x soit égal à π + k.2π.

Cette méthode est notamment utile pour les équations du type : a.sin(x) + b.cos(x) = c.

Exemple : Résoudre l'équation : ³^cos

( )

^x ⁻^sin

( )

^x ⁼¹

On envisage ce changement de variable, mais on étudie au préalable le cas π + k.2π :

dans ce cas le cosinus vaut –1 et le sinus 0, ce qui ne vérifie pas l’équation. Donc π + 2kπ n’est pas une solution. Cette équation devient :

( ) ( )

t t t t t

t t t t

t t t

− − = ⇔ − − − − = ⇔ − + − − + = ⇔ + + + − =

+ + +

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2 3 3 2 1

3 1 0 1 3 2 1 3 0 1 3 2 1 3 0

1 1 1

Son discriminant vaut 12, positif.

(10)

Deux solutions réelles : t1 =

( ) ( )( )

(

^{− +}

)(

⁻

)

− + = = −

+ + −

1 3 1 3

2 2 3

2 3

2 1 3 1 3 1 3 et t2 =

( )

− − = − +

2 2 3

2 1 3 1.

La première se trouve être la tangente de π/12 + kπ, et la seconde est celle de –π/4 + kπ. Ainsi, x/2 = π/12 + kπ ou x/2 = –π/4 + kπ et donc x = π/6 + k.2π ou x = –π/2 + k.2π Vérifions : dans le premier cas, cos(x) = √3/2 et sin(x) = 1/2, ce qui vérifie l’équation ; dans le second cas, cos(x) = 0 et sin(x) = -1, ce qui vérifie l’équation.

2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1 Propriété de l’angle au centre

Soit un cercle de centre O et deux points A et B fixés sur ce cercle. Le segment [AB] est une corde du cercle. Il forme avec le sommet O l’angle au centre α^O^.

Soit un point M du cercle, autre que A ou B, situé du même côté que O par rapport à la droite (AB).

[AB] forme avec le sommet M l’angle inscrit (inscrit dans le cercle) α^M^.

Alors l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit

Remarque 1 : dans le cas où M se trouverait de l’autre côté de (AB) par rapport au point O, α_M = π −α^O 2 . Remarque 2 : cette formule se démontre aisément si l’on utilise le fait que la somme des angles d’un triangle vaut π et le fait que le triangle AOB est isocèle en O, mais aussi MOB et MOA.

2.1.2 Propriété de l’angle inscrit

Il découle de la propriété précédente que : si M, N, P sont des points quelconques du cercle, situés du même côté de (AB), alors leurs angles inscrits sont égaux.

S’ils sont situés de part et d’autre de la corde [AB], alors leurs angles inscrits sont supplémentaires.

Cette propriété entraîne l’équivalence suivante :

un cercle ⇔ Ses angles aux sommets Un quadrilatère est inscrit dans

opposés sont supplémentaires

(11)

2.1.3 Cas particulier où [AB] est un diamètre

L’angle au centre vaut ici π : c’est un angle plat.

Ceci implique que l’angle inscrit, valant la moitié, est un angle droit : au vu de la remarque 1 précédente, l’angle inscrit sera droit aussi pour tout point M situé de l’autre côté de (AB).

Il en découle également que :

* Le cercle de diamètre [AB] peut être défini comme l’ensemble des points M formant avec eux un angle droit, auquel on rajoute A et B eux-mêmes ;

* Tout point P est extérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle inférieur à π/2 ;

* Tout point P est intérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle supérieur à π/2 .

2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle rectangle 2.2.1 Relations métriques

On donne un triangle MAB rectangle en M et on place H, projeté orthogonal de M sur [AB].

* Cette construction montre que les triangles HAM, HMB et MAB sont semblables, c’est à dire que leurs angles sont égaux deux à deux, ce qui équivaut à dire que leurs côtés sont proportionnels.

Traduction : HAM est un « modèle réduit » de HMB, lui-même « modèle réduit » de MAB.

Signification métrique : HA =HM=MA

HM HB MB et HA HM MA

AM=MB= AB , par exemple.

* De cette constatation découlent les formules suivantes :

MA² = AH.AB ; MB² = BH.BA ; et en les ajoutant membre à membre, on a : MA² + MB² = AB².

Cette dernière est la relation établie dans la propriété de Pythagore. Une propriété est une équivalence : elle énonce la véracité d’un théorème (une implication) et celle de sa réciproque.

Théorème de Pythagore :

Si MAB est un triangle rectangle en M, alors MA² + MB² = AB².

Réciproque :

Si, dans un triangle MAB, on a la relation MA² + MB² = AB², alors il est rectangle en M.

* On a aussi : MH² = HA.HB et encore MA.MB = MH.AB , qui est compatible avec le fait que l’aire d’un triangle est la moitié du produit base×hauteur.

* Citons enfin la relation de la médiane : OA = OB = OM (O, milieu de [AB]), directement issu du lien existant entre triangle rectangle et cercle.

2.2.2 Relations trigonométriques

Le côté opposé à l’angle droit est le plus grand. Il se nomme hypoténuse.

Choisissons l’angle Â. Son côté opposé est MB et, outre l’hypoténuse, son côté adjacent est MA.

On a : ^cos

( )

^Â ⁼^MA_AB ^; ^sin

( )

^Â ⁼^MB_AB ^; ^tan

( )

^Â ⁼_MA^MB ^,

que l’on peut retenir par l’acronyme SOHCAHTOA :

Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent

On peut aussi remarquer que les angles aux sommets A et B sont complémentaires (leur somme vaut π/2) et qu’ainsi le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.

(12)

2.3 Compléments de géométrie

Périmètres et Aires des principales figures géométriques

Volumes des principales figures 3D

(13)

2.4 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle quelconque

On a cette fois-ci un triangle quelconque ABC, avec des notations données par la figure :

Relation d’Al-Kashi : ^a² ⁼^b²^{+ −}^c² ²^bc^.cos

( )

^Â

Relation des sinus :

( ) ( ) ( )

sin sin sin

a b c

A ⁼ B ⁼ C ⁼2R

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle (contenant A, B et C).

Aire du triangle : formule « classique » :

A

⁼¹₂^bc^.sin

( )

^Â

formule de Héron :

A

⁼ ^{p p}

(

⁻^a

)(

^p⁻^b

)(

^p⁻^c

)

où p est le demi-périmètre du triangle, à calculer au préalable.

3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin , cos , tan

On schématise les fonctions trigonométriques, ou circulaires, sinus, cosinus et tangente :

[ ]

( )

sin : ;

sin

→ −1 1 ℝ

x֏ x

;

[ ] ( )

cos : ;

x cos x

→ −1 1 ℝ

֏

;

( )

tan : ,

tan k k

x x

π π

 

− + ∈ →

2 

ℝ ℤ ℝ

֏

.

3.1.1 Périodicité et domaine d’étude

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π. En effet, 2π est le plus petit réel T positif tel que pour tout réel x, sin(x + T) = sin(x) et cos(x + T) = cos(x).

On pourra donc étudier les fonctions sin et cos sur [0 ; 2π[.

Pour la tangente, le point 1.3.2 de ce document nous montre que tan(x + π) = tan(x) et on admettra que la fonction tan est de période π. On étudiera la fonction tan sur ]-π/2 ; π/2[.

3.1.2 Parité

Les constatations faites dans ce point 1.3.2 établissent que les fonctions sin et tan sont impaires et que la fonction cos est paire. On pourrait alors restreindre les domaines d’étude cités ci-dessus en utilisant ces propriétés de symétries, mais nous ferons le choix ici de les conserver.

3.1.3 Dérivées et sens de variation

On admettra ici que : ^sin^′

( )

^x ⁼^cos

( )

^x ^et^cos^′

( )

^x ^{= −}^sin

( )

^x ^.

Dériver la fonction tan revient à dériver un quotient, et nous obtenons : ^tan

( ) ( )

^tan

( )

x cos x

′ = 1₂ x = + ² 1

Il est donc aisé de connaître le signe de ces dérivées sur les intervalles d’étude, d’où les tableaux de variations qui suivent.

^ ^ ^

^

(14)

3.1.4 Représentations graphiques

3.1.5 Fonctions composées

Dans la pratique, on a souvent affaire à des fonctions de type ^{f x}^: ^֏^sin

(

^{u x}

( ) )

. On trouvera aussi bien un cosinus qu’un sinus, d’ailleurs. Nous nous en tiendrons ici à un cas particulier, celui où u est une fonction affine : ^{f x}^: ^֏^sin

(

^ax⁺^b

)

^ou ^{f x}^: ^֏^cos

(

^ax⁺^b

)

^.

Périodicité :

Pour retrouver de façon cyclique les mêmes valeurs de f, il faut que ax + b soit augmenté de 2π (période du sinus et du cosinus). Or ax + b + 2π = a(x + 2π/a) + b. Ainsi, pour tout réel x, f (x + 2π/a) = f (x).

Ces fonctions f sont donc périodiques, de période 2π/|a|.

Dérivée :

La dérivation de fonctions composées a été vue dans le document n°2 sur les fonctions et sera retravaillée dans le chapitre « Dérivées et différentielles ». Nous noterons ici que :

Si ^{f x}

( )

⁼^sin

(

^ax⁺^b

)

^{, alors} ^f^′

( )

^x ⁼^a^.cos

(

^ax⁺^b

)

^{et si}^{f x}

( )

⁼^cos

(

^ax⁺^b

)

^{, alors} ^f^′

( )

^x ^{= −}^a^.sin

(

^ax⁺^b

)

^.

y = sin(x) y = cos(x)

y = tan(x)

(15)

Exemple :

La valeur d’une intensité i en fonction du temps t : ^{i t}

( )

⁼^I⁰^.sin

(

^{ω ϕ}^t⁺

)

, oscille entre -I0 et I0. ω est appelé pulsation du signal. C’est sa vitesse d’oscillation, en rad.s^-1.

La période du signal est T = 2π/ω, en secondes : durée entre deux maxima de i.

La fréquence, F ou ν, est l’inverse de la période : ω^/2π, en s^-1 ou Hz : nombre de maxima par seconde.

Application numérique et représentation graphique : soit ^{i t}

( )

⁼^{0 2}^{, .sin}^^_¹⁰⁰^{π +}^t ^π₃^^_. T = 0,02 s, F = 50 Hz.

3.2 Fonctions réciproques 3.2.1 Définition

On cherche ici à donner la valeur de l’angle qui correspond à tel sinus ou tel cosinus ou encore telle tangente.

Un angle se dénomme également arc et c’est pourquoi les fonctions réciproques de sin, cos et tan sont respectivement notées arcsin (« arc-sinus »), arccos (« arc-cosinus ») et arctan (« arc-tangente »).

Par exemple, l’arc dont le sinus vaut 1/2 est π/6, que l’on note arcsin(1/2) = π/6 ; ou encore : l’arc dont la tangente vaut 1 est π/4 : arctan(1) = π/4.

Un problème se pose : il y a d’autres angles que π/6 dont le sinus vaut 1/2, d’autres angles que π/4 dont la tangente vaut 1, mais si on veut donner le statut de fonction à arcsin, arccos et arctan, il faut qu’une valeur de sa variable ne possède qu’une seule image, ni plus, ni moins. Les ensembles d’arrivée de ces fonctions seront donc réduits à la portion congrue, nécessaires et suffisants :

[ ]

( )

arcsin : ; ;

arcsin

x x

π π

 

−1 1 → −  2 2

֏

;

[ ] [ ]

( )

arccos : ; ;

arccos

x x

−1 1 → 0 π

֏ ;

( )

arctan : ;

arctan

x x

π π

 

→ − 2 2 ℝ

֏

.

Attention : les solutions de l’équation sin(y) = x sont en fait, si on note ϕ = arcsin(x) : y= + πϕ 2k et y= π − + πϕ 2k aveck∈ℤ,

et pour un cosinus : les solutions de l’équation cos(y) = x sont, si on note ϕ = arccos(x) :

2 et 2 avec

y= + πϕ k y= − + πϕ k k∈ℤ. Pour l’équation tan(y) = x , si on note ϕ⁼^arctan(x), les solutions seront :

avec

y= + πϕ k k∈ℤ, la fonction tan étant π-périodique

( )

i t

T=0 02, s /

=1 300/ ϕ ω

( )

^,

i 0 =0 1 3

(16)

3.2.2 Dérivées et sens de variations

Dériver une fonction réciproque lorsque l’on connaît la fonction de départ est aisé. La méthode a été vue dans le document précédent de Remise A Niveau et sera à nouveau vue en cours (chapitre « Dérivées et différentielles »). On admettra ici que (mais tentez de le retrouver) :

( )

arcsin

2

1 x 1

x

′ =

− ; ^arccos

( )

^x

x

′ = −

− ² 1

1 ; ^arctan

( )

^x

′ = x + ²

1

1 .

arcsin et arctan sont donc des fonctions strictement croissantes et arccos est strictement décroissante, sur leurs domaines respectifs.

3.2.3 Représentations graphiques

y = arcsin(x)

y = arccos(x)

y = arctan(x)

Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie :