Remise à Niveau Mathématiques Deuxième partie :

Remise à Niveau Mathématiques

Deuxième partie : Fonctions

Cours

1 DEFINITIONS 3

1.1 FONCTION NUMERIQUE 3

1.2 COMPOSITION DE FONCTIONS 4

2 PROPRIETES 5

2.1 PARITE 5

2.2 SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION 6

2.3 PERIODICITE 7

2.4 LIMITES D’UNE FONCTION 8

2.5 ASYMPTOTES 10

2.6 CONTINUITE 12

3 DERIVATION 13

3.1 DERIVEES ET DIFFERENTIELLES : NOTIONS 13

3.2 DERIVEE D’UNE FONCTION 14

3.3 EXPRESSIONS DE DERIVEES DE QUELQUES FONCTIONS 16

4 ETUDE DE FONCTIONS SPECIFIQUES 18

4.1 FONCTIONS CONSTANTES 18

4.2 FONCTIONS EN ESCALIERS 18

4.3 FONCTIONS AFFINES 19

4.4 FONCTIONS PUISSANCE N^IEME DE X 20

4.5 FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 21

4.6 FONCTIONS RACINE N^IEME DE X 22

4.7 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN 22

4.8 FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE E 23

4.9 FONCTIONS CIRCULAIRES OU TRIGONOMETRIQUES 24

x f y = f (x)

1 Définitions

1.1 Fonction numérique

1.1.1 Notion de fonction

Une fonction numérique f, d’un ensemble Df de ℝ vers un ensemble f (Df) de ℝ, fait correspondre à tout élément x de Df un élément ydef (Df) et un seul, noté f (x).On note : ^{f x: ֏ f x}

( )

ensemble de définition de f ensemble image de f Exemples de fonctions :

Les fonctions linéaires : x֏ ax , a∈ℝ ex : La fonction ²

E

t֏RI t qui définit la consommation d’une ampoule à incandescence en énergie électrique, E. Elle dépend de la durée t d’éclairage et se traduit par cette fonction linéaire de la variable t.

Les fonctions affines : ^{x֏ax+b ,}

( )

^{a b, ∈ℝ2}

Les fonctions polynomiales du second degré : ^{x֏ax2+bx+c ,}

(

^{a b c, ,}

)

^{∈ℝ*×ℝ2}

La fonction sinus : x֏sinx

ex : L’intensité Id’un courant alternatif sinusoïdal en fonction du temps : ^{t ֏I0sin}

(

^{ω ϕt+}

) 1.1.2 Courbe représentative

Le plan étant rapporté à un repère cartésien, on appelle courbe représentative de la fonction fl’ensemble Cf

des points M du plan de coordonnées

(

^{x y, = f x}

( ) )

^.

1.1.3 Recherche de domaine de définition

Déterminer le domaine de définition est la première étape de l’étude d’une fonction. Celui-ci est généralement un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ. Il s’agit de déterminer quels réels x ont une image par f, c’est à dire pour quelles valeurs de x le nombre f (x) existe.

( )

u x étant une expression de x : Les fonctions de la forme : ^{u x}

( )

ne sont pas définies pour ^{u x}

( )

_{< 0.}

Les fonctions de la forme :

( )

u x

1 ne sont pas définies pour ^{u x}

( )

^{= 0.}

Les fonctions de la forme : ^ln

(

^{u x}

( ) )

ne sont pas définies pour ^{u x}

( )

^≤0.

Les valeurs de x pour lesquelles une fonction n’est pas définie sont nommées : « valeurs interdites ».

Exemples :

* sin(x) existe ∀ ∈x ℝ : D_f =ℝ

* f x: ֏ 4−x² : l’expression est valide pour ^{4− ≥x2 0 ⇔ ≤ ⇔ ≤x2 4 x 2} : Df = −2 2

[

^;

]

* : la fonction f est définie pour

* : fonction dont le domaine est vide : quel que soit x, le contenu de la racine est la somme de deux nombres négatifs (dont l’un strictement) ; ce contenu est donc strictement négatif et dont la racine n’existe pas dans .

* ^{f x: ֏ln}

(

^{− +x2 7x−6}

)

: l’existence du logarithme impose que le polynôme du second degré soit strictement positif. Cela ne se produit que dans le cas où x est pris entre les racines du polynôme, si toutefois ce dernier en a. Ici, les racines sont réelles, 1 et 6, et Df =

] [

1 6 . ^;

( )

^f

f D

] [ ] [

: _f ; ;

x²− >4 0 ⇔ x >2 D = −∞ − ∪ +∞2 2 :

f x֏ − −1 x²

ℝ Df

: f x

x²− 1

4

֏

1.1.4 Injection et surjection

On dit que f est injective, ou est une injection, de Df dans E si, pour tout élément y de l’ensemble E, il existe au plus (au maximum) un élément x dans l’ensemble de définition Df tel que : f (x) = y.

Autrement dit : ^{f x}

( ) ( )

^{= f x′ ⇒ x=x′}

On dit que f est surjective, ou est une surjection, de Df dans E si tout élément y de l’ensemble E est image d’au moins (au minimum) un élément x de l’ensemble de définition Df. Autrement dit : ^{E⊂ f D}

( )

^{f .}

Dire qu’une fonction est une bijection , c’est dire qu’elle est à la fois une injection et une surjection : à tout x correspond une unique valeur y et réciproquement.

Exemple concret :

Prenons le cas d’un séminaire d’entreprise où un groupe de collègues doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir les collègues dans les chambres de l’hôtel peut être représentée par une application (ou fonction) de l’ensemble des collègues, Df, vers l’ensemble des chambres, E (à chaque collègue est associée une chambre).

• Les collègues souhaitent que l’application soit injective, c’est-à-dire que chacun d’entre eux ait une chambre individuelle. (Cela n’est possible que si le nombre de collègues ne dépasse pas le nombre de chambres)

• L’hôtelier souhaite que l’application soit surjective, c’est-à-dire que chaque chambre soit occupée.

(Cela n’est possible que s’il y a au moins autant de collègues que de chambres).

• Ces souhaits ne sont compatibles que si le nombre de collègues est égal au nombre de chambres.

Dans ce cas, il est possible de répartir les collègues de telle sorte qu’il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l’application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu’elle est bijective.

1.2 Composition de fonctions

1.2.1 Généralité

Procédé qui consiste, à partir de deux ou plusieurs fonctions, d’en construire une nouvelle, par

« emboîtements ». Pour cela, on utilise les images par x de la première fonction comme arguments pour la seconde. On parle alors de fonction composée : ^{x→f f x}

( )

^{→g g f x}

( ( ) )

On note g f , « g rond f », la fonction telle que ^{g f x}

( )

^{=g f x}

( ( ) )

^.

Il faut que l’ensemble d’arrivée de la fonction fsoit inclus dans l’ensemble de définition de la fonction g.

Bien vérifier la compatibilité des domaines de définition.

1.2.2 Fonctions réciproques

Deux fonctions f et g sont dites réciproques si, et seulement si, pour tout x, ^{g f x}

( )

^=x.

Cela implique que l’ensemble d’arrivée de f soit le domaine d’étude de g et que le domaine de valeurs de x soit l’ensemble d’arrivée de g.

On note alors g = f ^-1 (ou bien indistinctement f = g ^-1).

Représentation graphique :

Dans le plan muni d’un repère cartésien, à tout point M(x, f (x)) de la courbe représentative de la fonction f correspond le point M’(f(x), x) de la courbe

représentative de la fonction f ^-1. Notons b = f (a). Alors a = f^-1(b).

Les deux courbes sont alors symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice des axes (droite d’équation y = x).

Exemples : * la fonction carrée, de [0 ; +∞[ vers [0 ; +∞[, et la fonction racine carrée, de [0 ; +∞[ vers [0 ; +∞[, sont réciproques : pour tout réel x positif, √(x²) = (√x)² = x.

* les fonctions ln et exp (représentation graphique au-dessus), sur leurs domaines entiers, sont réciproques.

2 Propriétés

2.1 Parité

Soit f une fonction définie sur un ensemble E symétrique autour de zéro.

f est paire ssi : ^{∀ ∈x E, f}

( )

^{− =x f x}

( )

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie et pour étudier f, il suffit de l’étudier sur ^E∩

[

^0;+∞

[

^.

f est impaire ssi : ^{∀ ∈x E, f}

( )

^{− = −x f x}

( )

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’origine comme centre de symétrie et pour étudier f, il suffit de l’étudier sur ^E∩

[

^0;+∞

[

^.

Fonction impaire : la fonction inverse Fonction paire : la fonction carré f (x) = 1/x f (x) = x²

Vérifier si une fonction est paire ou impaire permet de diviser en 2 le domaine d’étude.

2.2 Sens de variation d’une fonction

2.2.1 Définitions

Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles et définies sur des intervalles de ℝnon réduits à un point. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs dans ℝ.

On dit que f est :

croissante sur I ssi : ^∀

(

^{x x1, 2}

)

^{∈ ×I I tels que x}1^≤x2on a ^{f x}

( ) ( )

^{1 ≤ f x2}

f a toujours le même effet sur la relation d’ordre : l’ordre qui existe entre 2 réels se retrouve dans l’ordre de leurs images. C’est-à-dire que la variable et la fonction varient dans le même sens.

Pour une fonction strictement croissante, les inégalités de l’encadré deviennent strictes.

décroissante sur I ssi : ^∀

(

^{x x1, 2}

)

^{∈ ×I I tels que x1≤x2on a f x}

( ) ( )

^{1 ≥ f x2}

Dans ce cas, la variable et la fonction varient en sens contraires.

Pour une fonction strictement décroissante, les inégalités de l’encadré deviennent strictes.

fonction croissante fonction décroissante

Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle y est croissante ou alors décroissante.

Une fonction

strictement monotone est une bijection.

Exemple 1 : ∀ ∈x ℝ, E(x) est la partie entière de x, unique entier k∈ℤ tel que k≤ < +x k 1. E(2,6) = 2 ; E(p) = 3 ; E(0,25) = 0 ; E(10) = 10 ; E(1,95) = 1 ; E(-4,3) = -5 ; E(-0,25) = -1 ; etc.

La fonction partie entière est croissante sur ℝ, mais elle n’y est pas strictement croissante car elle est constante sur chaque intervalle

[

^{k k; +1}

[

^.

Exemple 2 : Une fonction affine est monotone sur ℝ. Soit f (x) = ax + b.

f est constante ssi a = 0

f est strictement croissante ssi a > 0 f est strictement décroissante ssi a < 0 Exemple 3 : Soit la fonction carré, d’expression f (x) = x².

Pour tous x et x’ positifs et tels que x < x’ ; on a xx < xx’ < x’x’, c’est à dire x² < x’² Donc la fonction f est strictement croissante sur ℝ^*₊.

Or cette fonction est paire, puisque f (-x) = f (x), ce qui nous suffit pour conclure qu’elle est strictement décroissante sur ℝ^*₋.

2.2.2 Extremums d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. On dit que f admet :

• un maximum M si l’ensemble f (I) admet un plus grand élément M : Il existe x0 dans I tel que ^{∀ ∈x I, f x}

( )

^{≤ f x}

( )

0 , noté M .

• un minimum m si l’ensemble f (I) admet un plus petit élément m : Il existe x0 dans I tel que ^{∀ ∈x I, f x}

( )

^{≥ f x}

( )

0 , noté m . Exemple :

Sur l’intervalle I = [-1 ; 4], la fonction f d’expression

( )

^x

f x = x

+ ² 3

1 admet : un maximum : ^f

( )

^{1 =3}₂

un minimum : ^f

( )

^{− = −1 3}₂

2.2.3 Tableau de variations d’une fonction

Le tableau de variations est un résumé des renseignements que nous avons sur la croissance d’une fonction. Dans tout tableau de variations :

On repère sur la première ligne la variable x parcourant son ensemble de définition.

On découpe Df en autant d’intervalles sur lesquels la fonction est monotone.

On signale d’une flèche montante la croissance de la fonction, descendante la décroissance de la fonction, et horizontale la constance d’une fonction

Si elles existent, on peut noter les valeurs du maximum ou du minimum de la fonction f sans oublier les valeurs de x en lesquels ils sont atteints.

Voici par exemple la courbe et le tableau de variations de la fonction f : x→ 2x³ – 3x² – 1

x -1 0 1 2

-1 3

-6 -2

f

Variations de cette fonction sur [-1 ; 2] :

La fonction f est strictement croissante sur [-1 ; 0[, strictement décroissante sur ]0 ; 1[, strictement croissante sur ]1 ; 2].

Son maximum est 3, atteint lorsque x = 2

Son minimum est -6, atteint lorsque x = -1

-1 est maximum local en x = 0 -2 est minimum local en x = 1

2.2.4 Sens de variation de deux fonctions réciproques

Si f est une fonction monotone alors f ^-1 est aussi monotone. Plus précisément : si f est strictement croissante alors f ^-1 est strictement croissante si f est strictement décroissante alors f ^-1 est strictement décroissante

Montrons-le : Soit f strictement croissante, a et b deux réels appartenant au domaine de f ^–1, avec a < b.

Comparons f ^-1(a) et f ^-1(b) : f ( f ^-1(a)) = a et f ( f ^-1(b)) = b donc f ( f ^-1(a)) < f ( f ^-1(b))

et comme f est strictement croissante, f ^-1(a) < f ^-1(b), ce qui montre à son tour que la fonction f ^–1 est strictement croissante.

2.3 Périodicité

Dire qu’une fonction f, définie sur ℝ, est périodique , c’est dire qu’il existe un nombre T∈ℝtel que :

( ) ( )

,

x f x T f x

∀ ∈ℝ + = .

Remarque : Si T est un tel nombre, alors ∀ ∈k ℤ, kT possède la même propriété.

Le plus petit nombre « T » positif possédant cette propriété est appelé période de la fonction f.

Exemples :

: cos

f x֏ x est une fonction périodique de période 2π. (de plus c’est une fonction paire)

: sin

f x֏ 3x est une fonction périodique de période 2π

3 . (de plus c’est une fonction impaire)

( )

: sin

f x֏ ax b+ est une fonction périodique de période a

π 2 .

2.4 Limites d’une fonction

Les limites ne font pas spécifiquement partie du programme de mathématiques. Cependant, on se réserve le droit, en test, de vous demander une limite simple (sans transformations d’écritures) dans l’intérêt d’un exercice.

Lorsque l’on étudie une fonction, il peut être intéressant, par exemple, de connaître son comportement

« pour des grandes valeurs de x ».

Ainsi, si cette fonction représente la variation de la population d’un pays, il peut être intéressant de connaître l’évolution à long terme : stabilisation, croissance infinie, etc.…

Nous allons ainsi, à partir de notions intuitives, définir la limite d’une fonction.

2.4.1 Limites infinies en l’infini

Exemple d’introduction : si on considère la fonction carré définie sur ℝpar f (x) = x², alors on constate que : f (10) = 10² = 100 ; f (1000) = 1000² = 1000000 ; etc.….

Lorsque x augmente, les valeurs f (x) sont de plus en plus grandes, et même aussi grandes qu’on veut : il suffit pour cela de prendre x « suffisamment grand ».

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; +∞[.

Dire que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞ , c’est dire que pour tout réel A, il existe x0∈ ]a ; +∞[ tel que : ^x>x0^{⇒ f x}

( )

^>A. On notera :lim

( )

x

→+∞f x = +∞

(prononcer « la limite de f de x, lorsque x tend vers + l’infini, vaut + l’infini »).

Interprétation graphique :

Graphiquement, regardons la courbe ci-contre et imaginons qu’elle se prolonge infiniment à droite, suivant la tendance de croissance imprimée.

Si on fixe une ordonnée A, aussi grande soit-elle, alors on peut toujours trouver une abscisse x0 au-delà de laquelle les ordonnées de tous les points de la courbe dépassent A.

On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞. On peut définir de la même façon ces trois autres limites

infinies : lim

( )

^; lim

( )

^; lim

( )

^.

x x x

f x f x f x

→+∞ = −∞ →−∞ = +∞ →−∞ = −∞

Exemples : lim ²

x x

→−∞ = +∞, lim ²

x x

→+∞ = +∞, lime^x

x→+∞ = +∞, lim ln

x x

→+∞ = +∞, lim ³

x x

→−∞ = −∞, lim ³

x x

→+∞ = +∞, lim | |

x x

→±∞ = +∞

2.4.2 Limites finies en l’infini

On peut envisager le cas où les valeurs d’une fonction tendent à se « stabiliser », tendent vers une valeur donnée, lorsque la variable prend de grandes valeurs et même « tend vers l’infini ».

Exemple d’introduction : si on considère la fonction inverse définie si x≠0 par ^{f x}

( )

¹

= x,

alors on constate que : f (10) = 1/10 = 0,1 ; f (1000) = 1/1000 = 0,001, etc. Les valeurs de f sont de plus en plus proches de 0 à mesure que x augmente. On pourra dire que l’on peut rendre les valeurs de la fonction inverse aussi proches que l’on veut de zéro , pourvu qu’on choisisse x « suffisamment grand ».

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; +∞[.

Dire que f admet pour limite λ lorsque x tend vers +∞ , c’est dire que pour tout réel ε^,

il existe x0∈ ]a ; +∞[ tel que : x>x0⇒λ ε− < f x

( )

< +λ ε. On notera : _x^lim_→+∞^{f x}

( )

^=λ

Interprétation graphique :

Si _x^lim_→+∞^{f x}

( )

^=λ, alors les ordonnées des points de la courbe (qui sont les nombres f (x)) sont toutes dans un intervalle - de notre choix - de valeurs entourant et très proches de λ, pour tout x supérieur à un nombre bien choisi en fonction de cet intervalle.

Pour la fonction représentée ci-contre, _x^lim_→+∞ ^{f x}

( )

^=3.

Exemples : lim

x^→+∞ x

 

+ =

 

 ⁴

5 1 5 lim

x^→+∞ x

 

 − =

 

3 0

4 lim cos

x^→+∞ x

 =

  

1 1

2.4.3 Limite finie en un réel a

Rechercher la limite finie d’une fonction en un réel a

,

c’est déterminer si ses valeurs convergent vers une valeur particulière lorsque l’on donne à x des valeurs de plus en plus proches de a.

Exemple d’introduction : si on considère la fonction définie sur ℝ par f (x) = x² - 3x + 1, sa limite lorsque x tend vers 2 (une valeur où elle est définie) se calcule directement : 2² - 3.2 + 1 = -1.

Définition : Soit une fonction f définie en x = a. Dire que f a pour limite λ quand x tend vers a, c’est dire que tout intervalle ouvert contenant λ contient toutes les valeurs f (x) pour x assez proche de a.

On note : lim

( )

x a

f x λ

→ =

Exemples : Pour 0,lim

x a

a x a

≥ → = ; soit P(x) un polynôme et a un réel quelconque, alors ^lim_x→a^{P x}

( )

^{=P a}

( )

^;

la limite de la fonction carré, quand x tend vers 3 est égale à 9. (dans les deux derniers exemples, la fonction est définie et continue en « a », et la valeur de la fonction est égale à la limite)

2.4.4 Limite infinie en un réel a

Exemple d’introduction : si on considère la fonction inverse, alors on constate que : f (0,1) = 10 ; f (0,001) = 1000, etc. Les valeurs de f sont de plus en plus grandes à mesure que x est plus proche de 0.

Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert de réels et un réel a sur la frontière de Df. Dire que f a pour limite +∞ (resp. -∞) quand x tend vers a, c’est dire que f (x) est supérieur (resp. inférieur) à n’importe quelle valeur fixée pour tout x « suffisamment proche de a ».

On note : lim

( )

x a

f x

→ = +∞ ^{, resp. lim}

( )

x a

→ f x = −∞

Exemple : l’inverse de x tend vers l’infini lorsque x tend vers 0.

Limite à droite, limite à gauche : Attention à la manière dont x tend vers a : en lui étant supérieur ou inférieur ? On dira « x tend vers a⁺ » ou « x tend vers a^- ». Dans cet ordre, on pourra être amené à

déterminer une limite « à droite » ou une limite « à gauche » de f (x). Par exemple, les limites à droite et à gauche de la fonction inverse quand x tend vers 0 ne sont pas égales : lim

x→ ⁺ x= +∞

0

1 et lim

x→⁻ x= −∞

0

1 .

2.4.5 Absence de limite

Une fonction peut ne pas avoir de limite, par exemple en l'infini. La fonction sinus en est un cas d’école.

Dans le même esprit, la fonction qui, à x, associe sin(1/x) n’a pas de limite en zéro (voir ci-contre).

2.4.6 Règles

La limite en l’infini d’une fonction polynomiale est celle de son monôme de plus haut degré.

La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est celle du rapport des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

2.4.7 Formes indéterminées :

Les formes indéterminées dans un calcul de limites sont : ;±∞ + ∞ −∞ ± ∞×; ; ; ^∞;∞

±∞

0 0

0 0 0

Pour « lever » (résoudre) des formes indéterminées, on pourra avoir recours à plusieurs techniques : développement, factorisation, utilisation du conjugué, utilisation d’un ln ou d’une exponentielle, formules de comparaison (exponentielle vs puissance, ln vs puissance), rapprochement de la limite à calculer avec le nombre dérivé d’une fonction en particulier, etc.

Formules de comparaison : pour tout réel a strictement positif : lim e^x

x^→+∞xa = +∞ ; _x^lim_→−∞

( )

^{exxa =0} (dans les cas où x^a existe pour x négatif) ; lim ln

0 ^a 0

x

x x

+

−

→ = ; ln

lim _a 0

x

x x

+

→+∞ =

2.5 Asymptotes

du grec a, privatif, et sumptôtos, rencontre.

Deux courbes sont dites asymptotes lorsque la distance de l’une à l’autre tend vers zéro, lorsque x tend vers un réel ou vers l’infini. On distingue trois types de droites asymptotes à une courbe.

2.5.1 Asymptote horizontale

( )

lim

x f x L

→∞ = ⇒ la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à la courbe Cf au voisinage de ±∞.

Exemple : Soit la fonction d’expression ^{f x}

( )

= +x1 2 . Son domaine de définition est

]

^{−∞ ∪ +∞;0}

[ ]

^0;

[

^.

La droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe Cf au voisinage de +∞ et de -∞.

2.5.2 Asymptote verticale

( )

limx a f x

→ = ±∞ ⇒ la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf en l'abscisse a.

Exemple :

Soit la fonction ^{f x}

( )

= x

− 1

1.

Son domaine de définition est

]

^{−∞ ∪ +∞;1}

[ ]

^1;

[

^.

La droite d’équation x = 1, parallèle à (Oy), est asymptote verticale à la courbe Cf en x = 1.

2.5.3 Asymptote oblique

Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f et (D) une droite d'équation y = ax + b. Le point M de Cf

d'abscisse x a pour ordonnée f (x). Le point P de (D) d'abscisse x a pour ordonnée ax + b.

f (x) – (ax + b) est la différence des ordonnées de ces deux points.

Définition : Si ^lim_x→∞

(

^{f x}

( ) (

^{− ax+b}

) )

⁼⁰, alors la courbe Cf a pour asymptote oblique la droite (D).

Remarque : On peut aussi bien donner comme définition :

On dit que la courbe Cf a pour asymptote oblique la droite (D) d’équation y = ax + b au voisinage de l’infini si l'expression de f est de la forme : ^{f x}

( )

^{=ax+ +b ε}

( )

^{x avec lim}_x→∞^ε

( )

^{x =0}

2.5.4 Courbe asymptote : « branche infinie »

Prenons ici l’exemple d’une fonction rationnelle. Le quotient, issu de la division polynomiale suivant les puissances décroissantes, est un polynôme qui permet d’établir la branche infinie de cette fonction (asymptote lorsque x tend vers l’infini), qui sera alors la courbe d’une fonction polynomiale d’un certain degré (si ce quotient est de degré 0 : on retrouve une asymptote horizontale, s’il est de degré 1 : une asymptote oblique, de degré 2 : une asymptote parabolique ; et ainsi de suite).

Exemple : Soit l’expression ^{f x}

( )

^{x x}

x

+ −

= −

3 2

4 2 1

1 ; la division polynomiale de son numérateur par son dénominateur selon les puissances décroissantes (cf. cours Remise à Niveau n°1 sur les calculs de polynômes) donne :

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

+ + − −

− + +

+ + −

−

−

−

3 2

3 2 2

2 2

4 2 0 1 1

4 4 4 6 6

6 0 1

6 6

6 1

6 6

5

donc ^{f x}

( )

^{x x}

= + + +x

−

2 5

4 6 6

1

Or lim

x^→±∞ x

 

 =

−

 

5 0

1 ^{. Donc, f x}

( )

peut s'écrire : ^{f x}

( )

⁼

(

^{4x2+6x+ +6}

)

^ε

^{( )}

^{x avec} _x^lim_→±∞^ε

^{( )}

^{x =0 .}

Dans ce cas, l’asymptote n’est pas une droite mais la courbe d’un polynôme de degré 2, parabole se rapprochant indéfiniment de la courbe de f en l’infini (+/-).

x x

y x

+ −

= −

3 2

4 2 1

1

4 2 6 6

y= x + x+

2.6 Continuité

La question de la continuité d’une fonction ne sera pas abordée en test.

2.6.1 Approche graphique

Une fonction réelle définie sur un intervalle est continue si sa courbe peut se tracer « sans lever le crayon ».

f est continue en a ssi ^lim_x→a ^{f x}

( )

^{= f a}

( )

, x tendant vers a d’un côté et de l’autre.

Exemple d’une fonction continue fonction non continue en 2

Pour tout ε fixé (aussi petit soit-il, c’est à dire que La définition ci-contre à gauche est ici l’on veut définir un intervalle autour de f (x) aussi inapplicable à x = 2.

« fin » qu’on le souhaite), on peut trouver η tel que tout réel de l’intervalle ]x-η ; x+η[ ait une image dans l’intervalle ]f (x)-ε ; f (x)+ε[.

Exemples : continuité de fonctions usuelles sur leur domaine de définition ou sur ℝ :

- Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ, ainsi que les fonctions sinus, cosinus, exponentielles, racine cubique, valeur absolue...

- La fonction ln est continue sur l’intervalle des réels strictement positifs, ainsi que la fonction inverse, … - La fonction racine carrée est continue sur l’intervalle des réels positifs.

- La fonction partie entière est discontinue sur ℝ : on « lève le crayon » lorsque x atteint chaque entier suivant. La fonction inverse est également discontinue sur ℝ, ainsi que les fonctions rationnelles dont le dénominateur admet au moins une racine réelle (qui ne soit pas une racine du numérateur…).

2.6.2 Propriétés des fonctions continues

Soient deux fonctions f et g continues toutes les deux sur l’intervalle I (contenant g(I)) et un réel x0 à l’intérieur de g(I). On a les propriétés suivantes :

( ) ( )

f g

x⁺ →f x +g x y est une fonction continue et _x^lim_→x ^^{f x}

( ) ( )

^{+g x }^=lim_x→x ^{f x}

( )

^+lim_x→x ^{g x}

( )

0 0 0

( ) ( )

xf g^× →f x ×g x y est une fonction continue et _x^lim_→x ^^{f x}

( ) ( )

^{×g x }⁼_x^lim_→x ^{f x}

( )

^×_x^lim_→x ^{g x}

( )

0 0 0

( )

^,

x→ ×kg k g x k∈ℝ y est une fonction continue et _x^lim_→x ^^{kg x}

( )

^^{= ×k} _x^lim_→x ^{g x}

( )

0 0

( ) ( ( ) )

xf g→f g x = f g x y est une fonction continue et _x^lim_→x ^{f g x}

( )

⁼_y→^lim_{g x( )}^{f y}

( )

0 0

f

( )

x→ f x

1 1

est une fonction continue ∀x tel que ^{f x}

( )

^{≠0 et limx→x0 f x}

( )

^{= lim}_x→x ^{f x}

( )

0

1 1

NOTA : il faut faire attention aux domaines de définition ! Exemples :

x f (x)

x-η x+η f (x)-ε

f (x)+ε

( ) ( )

lim2 2

3 2

x x

f x f

→<

= ≠ ^lim₂

( ) ( )

2

5 2

x x

f x f

→>

= =

[

^,

[

^f

( )

x∈ 3 + ∞ →f x = x−3 et ^x∈ − + ∞ →

[

3^,

[

^{g g x}

( )

= ^x+3 sont continues.

[

^,

[

^{f g}

( )( )

x∈ +∞ 3 ⁺ → f +g x = x− +3 x+3 est donc continue.

[

^,

[

^{f g}

( )( )

x∈ +∞ 3 ^× → ×f g x = x− ×3 x+3 est donc continue.

[

^,

[

^{f g}

( ) ( ( ) )

x∈ 6 + ∞ →f g x = f g x = x+ −3 3 est donc continue.

]

^,

[

^f

_{( )}

x∈ +∞ → f x = x

−

1 1 1

3 3 est donc continue.

3 Dérivation

3.1 Dérivées et différentielles : notions

Le mathématicien et physicien anglais Newton et le mathématicien et philosophe allemand Leibniz (auquel on doit le nom de fonction), au tournant des XVII^ème et XVIII^ème siècles, ont étudié les caractéristiques des variations des fonctions ainsi que les propriétés des tangentes aux courbes.

C’est ainsi qu’est apparue la « dérivation ».

Une grandeur « y », exprimée en fonction d’une (ou plusieurs) autre « x » qu’on appellera « variable », n’évolue pas forcément à vitesse constante lorsque sa variable le fait. C’est la recherche de cette vitesse de variation qui a donné mathématiquement la notion de dérivée de la fonction.

On définit la vitesse de variation de y entre deux points A et B d’une courbe comme étant le rapport de la variation de y par celle de x. y

V x

=∆

∆

Cela porte aussi le nom de taux de variation pour la fonction considérée, et de pente pour le segment [AB]

(ce qui définit également la tangente de l’angle

( )

^i,AB dans un repère orthonormé).

Lorsque deux points A et B sont choisis, cette vitesse V, ainsi définie, est la vitesse moyenne de variation de y lorsque sa variable évolue de x jusqu’à x+∆x.

On peut se demander quelle est la vitesse instantanée de variation de y, pour une valeur x fixée, c’est à dire quelle est la limite de V (si elle existe) lorsque ∆x tend vers 0.

Le nombre dérivé de la fonction en x est cette vitesse instantanée au point A, et il dépend de x.

Une dérivée nulle pourra donc signaler, entre autres, un sommet de la courbe, c’est à dire un maximum ou un minimum pour y.

Le calcul des dérivées trouve de nombreuses applications :

• Recherche d’optimums, approximation locale d’une fonction d’expression ardue par une fonction dont l’étude est connue et rapide (par exemple : remplacement d’une courbe par sa tangente) :

« développements limités », qui sont utilisés par nos calculatrices pour calculer un sinus par exemple.

• Études des mouvements mécaniques : vitesses, accélérations…

• Études économiques : coût marginal, élasticité, etc.

• Intensité instantanée de courant électrique : lim

0 t

i q

∆ → t

= ∆

∆ qui est la dérivée de la quantité d’électricité transportée en fonction du temps.

• Force Électromotrice Induite ( lim E t

∆ → t

= ∆Φ

∆

0 dérivée du flux / temps)

3.2 Dérivée d’une fonction

3.2.1 Définition

Soit f une fonction réelle d'une variable réelle x définie sur un intervalle ouvert I de

ℝ

et a ∈ I.

On dit que f est dérivable en a si son taux de variation entre a et x admet deux limites finies lorsque x tend vers a en lui étant inférieur et en lui étant supérieur, et si ces deux limites sont égales.

Cette limite est alors appelée nombre dérivé de la fonction f en a, :

( ) ( ) ( )

limx a

f x f a f a

x a

→

′ = −

−

L’expression précédente donne la valeur de la dérivée, quel que soit a. Cette dérivée prend donc le statut de fonction d’un réel x : la fonction dérivée f ’ de la fonction f est donnée par :

( ) ( ) ( )

limh

f x h f x

f x

→ h

′ = ₀ + −

Nous avons ici changé de notation pour passer d’une définition ponctuelle sur un réel a à une définition générale quel que soit le réel x (voir ci-dessous les deux schémas qui illustrent les deux définitions ci-dessus).

Dans le cas d’une fonction dérivable en x, notons que lorsque ∆x, donc h, tend vers 0, il devient une dimension infinitésimale et on peut le noter dx : différentielle de x. De même, la variation infinitésimale associée de y est la différentielle de y : dy. Ainsi, on admettra cette notation que la physique a adoptée : ^f

( )

^{x y}

′ =dx d .

3.2.2 Interprétation graphique de la dérivée

Dérivée et tangente :

3.2.3 Liens entre dérivée et variations d’une fonction

De l’interprétation graphique de la dérivée, on déduira aisément les propriétés suivantes : (I représente un intervalle de

ℝ

)

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) > 0 ⇔ f est strictement croissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) < 0 ⇔ f est strictement décroissante sur I.

• Pour tout x ∈ I, f ’(x) = 0 ⇔ f est constante sur I.

• Pour un unique a ∈ I, f ’(a) = 0 ⇔ La courbe de f admet un sommet (f (a) est un minimum ou un maximum) ou un point d’inflexion. Voir ci-dessous :

En d’autres termes, lorsqu’on veut étudier les variations d’une fonction, chercher à résoudre f ’(x) = 0 n’est d’aucune utilité (puisqu’une dérivée nulle en un point signifierait qu’on se trouve dans l’une des quatre situations ci-dessus sans savoir laquelle).

Il convient d’étudier le signe de la dérivée, en résolvant f ’(x) > 0 ou f ’(x) < 0 (au choix).

3.3 Expressions de dérivées de quelques fonctions

3.3.1 Dérivée d’une constante

( ) (

0

) ( )

0 0

f x =k⇒∆ =y f x + ∆ −x f x = − =k k et ce ∀x₀et∀∆ = −x x x₀. Donc, pour tout x0 nous avons : lim

0

x x 0 y

→ ∆ =x

∆ La dérivée d’une valeur constante est nulle

3.3.2 Dérivée de la fonction identité

( ) ( ) ( )

f x =x⇒∆ =y f x₀+ ∆ −x f x₀ = + ∆ − = ∆x₀ x x₀ x et ce ∀x₀et∀∆ = −x x x₀. Donc, pour tout x0 nous avons : lim

0

1

x x

y

→ ∆ =x

∆

La fonction identité admet une dérivée égale à 1

3.3.3 Opérations usuelles sur les dérivées

Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées respectives sont u’ et v’.

• Dérivée d’une fonction multipliée par une constante :

( )

^{λu ′=λ.u′}

• Dérivée de la somme de deux fonctions :

(

^u+v

)

^{′ = u′+v′}

• Dérivée du produit de deux fonctions :

( )

^{u v. ′= u v′. +u v. ′}

• Dérivée d'une puissance réelle d'une fonction :

( )

^{un ′=n u u. .′ n−1}

• Dérivée de l’inverse d’une fonction : ^v

v v

′ ′

  = −

   ² 1

• Dérivée du quotient de deux fonctions : ^{u u v uv}

v v

′ ′ − ′

  =

   ²

• Dérivée de la composée de deux fonctions

(

^{v u}

)

^{′= u′×}

(

^{v′ u}

)

3.3.4 Dérivée des fonctions carré et puissance

^{f x}

( )

^{=x2, f x}

( )

^=xn

^{, n}

^{∈ ℕ}

Ce paragraphe est aussi l’occasion de revoir la notion de raisonnement par récurrence.

( )

^{2 .}

f x =x =x x.

( )

^{u v. ′= u v′. +u v. ′, avec u x}

( )

^{=xet v x}

( )

^{=x : f′}

( )

^{x = × + × =1 x x 1 2x}

( )

^.

f x =x³=x x^{2 . Idem : u x}

( )

^{=x2et v x}

( )

^{=x : f′}

( )

^{x =2x× + × =x x2 1 3x2}

De ces deux premières étapes nous pouvons imaginer qu’elles se généralisent au rang n de la façon suivante : ^{f x}

( )

^{=xn ⇒ f′}

( )

^{x =nxn−1}. La démonstration par récurrence consiste à démontrer que si elle est vraie au rang n, alors elle l’est au rang n+1 :

( )

^{n n.}

f x =x ⁺¹ =x x ^.

( )

^{u v. ′= u v′. +u v. ′, avec u x}

( )

^{=xnet v x}

( )

^{=x : f′}

( )

^{x =nxn−1× +x xn× =1}

(

ⁿ⁺¹

)

^xn

(en admettant que ^{u x′}

( )

^=nxn−1), ce qui démontre la récurrence de la formule de dérivation.

Ainsi, pour tout n ∈ ℕ : ^{f x}

( )

^{=xn⇒ f′}

( )

^{x =nxn−1}

On retiendra aussi le principe de la démonstration par récurrence :

• L’observation des premiers rangs nous permet d’énoncer une généralisation potentielle au rang n.

• Pour démontrer cette propriété par récurrence, il suffit de montrer que l’hypothèse de véracité au rang n entraîne la véracité au rang n+1.

3.3.5 Dérivée d’une fonction composée

Soit une fonction f étudiée sur un intervalle E et à valeurs dans un intervalle F et une fonction g définie sur F (F est inclus dans Dg et donc E a été préalablement bien choisi) et à valeurs dans un intervalle G.

Choisissons x dans E. u = f (x) appartient à F et y = g(u) appartient à G.

La fonction composée « g de f » ou « g rond f » est celle qui, à x, associe y :

( ) ( )

f g

x E∈ → =u f x ∈ F → =y g u ∈G

( ( ) )

x E∈ → =g f y g f x ∈G

La dérivée de cette fonction est calculée comme suit :

(

^{g f}

) ( )

^{′ x = f′}

( )

^{x ×g′}

(

^{f x}

( ) )

c’est à dire dans une notation impropre mais plus facile à retenir :

(

^{g u}

( ) )

^{′= ×u′ g u′}

( )

où u est une expression d’une variable x. Attention aux « prime » : le premier et le second représentent des dérivées par rapport à x, le troisième par rapport à u !

Note : il est très important de bien retenir ce principe de dérivation car la majorité des fonctions rencontrées en science et en technique de l’ingénieur sont des fonctions composées.

Quelques exemples :

(

^sin

( )

^u

)

^′=u′cos

^{( )}

^u : la dérivée de sin , t π

 + 

0 02 

3 est , cos , t π

 + 

 

0 02 0 02

3 .

( )

^{uα ′=αu u′ α−1} : la dérivée de

(

^{1− +x x2}

)

^{−32 est −3}₂

⁽

^{2x−1 1}

⁾ (

^{− +x x2}

)

^{−52 =3 2}

⁽

^−x

⁾ (

^{1− +x x2}

)

^−25.

( )

^{u ′ =}₂^u′_u : la dérivée de x²+3x+1 est x

x x

+ + +

2

2 3

2 3 1 .

( )

^{eu ′=u′}e : la dérivée de ^u e^1−x2 est -2 ex ^1−x2.

( )

^{lnu u}

u

′ = ′ : la dérivée de ^{ln cos}

(

^x

)

^{est −}_cos^sin_x^{x = −tanx.}

3.3.6 Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction

Soit une fonction d’expression y = f(x), l’expression réciproque est x = f ^-1(y).

Par exemple : y = x² équivaut à x = √y (une fois accordés les domaines de départ et d’arrivée).

En utilisant la notation différentielle nous avons : ^f

( )

^{x d}_d^y

′ = x et ¹

( )

^{dd d1 1}

( )

d f y x

y y f x

x

−′ = = =

′ .

Exemple : puissance inverse. ^{y=n x=x1n = f x}

( )

, dont la réciproque est x = y^{n = f−1}

( )

^{y .}

Ainsi nous avons (on cherche ici ^f′

( )

^x tout en connaissant ^f−1′

( )

^{y ) :}

d 1

d x n

y ny

= − et en inversant le rapport :

( )

1 1

1 1

1 1 1

d 1 1 1 1

d

n

n n

n n

y x

x ny n

nx nx

−

− − −

= = = =

3.3.7 Bestiaire de dérivées

f (x) f ’(x) (f o u) (x) (f o u)’ (x)

k (terme constant) 0

x 1 u u’

kx k ku ku’

x² 2x u² 2u’u

x³ 3x² u³ 3u’u²

x^α_{, α∈}ℝ

α . x

^{α−1 uα} α ^{u’uα - 1}

x 1

2 x u

2 u

u

′

( )

ln x 1

x lnu ^u

u

′

e^x e^x e^u u’e^u

( )

sin x ^cos

( )

^{x sin}

( )

^{u u′cos}

( )

^u

( )

cos x ^−sin

( )

^{x cos}

( )

^{u −u′sin}

( )

^u

4 Etude de fonctions spécifiques

4.1 Fonctions constantes

^{f x}

( )

^=k

Une fonction constante est définie sur ℝ et l’image de tout réel x est le même nombre, k.

Dérivée : f ’(x) = 0

Limites : _x^lim_→+∞ ^{f x}

( )

⁼_x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^=k

Tableau de variations : x

f ’(x) 0

f

Représentation graphique : droite horizontale d’équation y = k

4.2 Fonctions en escaliers

Exemple : ^{f x}

( )

^=ent

( )

^x : c’est la fonction qui a x associe la partie naturelle de x.

ent(1) = 1 ; ent(1,23) = 1 ; ent(1,6) = 1 ; ent(2) = 2 ; ent(2,45) = 2 ; ent(-0,7) = 0 ; ent(-2,3) = 2 Cette fonction n’est pas continue sur ℝ.

Représentation graphique :

∞ +

∞

−

Fonction dite « en escalier », dont la courbe est constituée de segments horizontaux

4.3 Fonctions affines ^{f x} ( ) ^{= ax b +} _avec ( ) ^{a b , ∈ ℝ}

²

Dérivée : f ’(x) = a Limites : limite infinie en l’infini, dépendant du signe de a Tableau de variations :

f est strictement croissante ssi a > 0 x

f ’(x)

+

f

( )

xlim f x

→+∞ = +∞ et _x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^{= −∞}

f est strictement décroissante ssi a < 0 x

f ’(x)

-

f

( )

xlim f x

→+∞ = −∞ et _x^lim_→−∞ ^{f x}

( )

^{= +∞}

Représentation graphique : Droite d’équation : y = ax + b

a est appelé pente ou coefficient directeur de la droite.

Il mesure l’accroissement (éventuellement négatif) de la valeur f (x) correspondant à un accroissement de la valeur x égal à 1

La droite coupe l’axe des ordonnées en y = b (ordonnée à l’origine)

Fonction identité : ^{f x}

( )

^{=x f′}

( )

^{x =1} Fonction opposé : ^{f x}

( )

^{= −x f′}

( )

^{x = −1}

+1 +3

y = 3x - 2

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

Page 20 sur 24 Fonction Valeur absolue : ^{f x}

( )

^{=| |x}

C’est une fonction affine par morceaux.

( )

xlim f x

→−∞ = +∞ et _x^lim_→+∞ ^{f x}

( )

^{= +∞}

x > 0 ⇔ f (x) = |x| = x x < 0 ⇔ f (x) = |x| = -x x ≥ 0 ^⇔

( )

^{x 2 =x} x∈ ⇔ℝ x² = x

4.4 Fonctions puissance n

^ième

de x : f (x) = x

ⁿ

, n ∈

^ℕ

.

Si n est pair, elles sont paires ; si n est impair, elles sont impaires.

Si n est pair, ce sont des fonctions strictement décroissantes sur ℝ^*₋ et strictement croissantes sur ℝ^*₊. Si n est impair, ce sont des fonctions strictement croissantes sur ℝ.

Deux exemples :

Fonction carré : f (x) = x² f ’(x) = 2x Fonction cube : f (x) = x³ f ’(x) = 3x²

Fonctions du second degré : f (x) = ax² + bx + c (a non nul) f ’(x) = 2ax + b

Les courbes représentatives de ces fonctions sont les paraboles d’axes de symétrie parallèles à (Oy) d’équation x b

= − a

2 , de sommet ;

2 4

S b

a a

− −∆

 

 

 .

Ces fonctions présentent un extremum pour b x= − a

2 (minimum si a > 0 et maximum si a < 0).