Remise à Niveau Mathématiques Première partie :

(1)

Remise à Niveau Mathématiques

Première partie : Calcul et raisonnement

Exercices

(2)

1 Calcul numérique

1.1 Définitions de base

1. Calculer le quotient et le reste de a divisé par b (division euclidienne) puis calculer le résultat (en posant la division) approché à la 5^ième décimale :

a. a = 125, b = 24 ; b. a = 125, b = 26 ; c. a = 435, b = 897.

1.2 Puissances d’un nombre

1. Calculer : a. (2,63.10³)² ; b. 1 8 10, . ²×0 3 10 ; c. , . ³

(

^{2 7 10}^{, .} ⁻³

)

²^{; d.}3 2500 1 3 10_×^{45 2 6 10}^×_×^{, .}_{, .}³ ⁻² ; e. 1 8 10, . ²+0 3 10, . ³ ; f. 2⁵× ×6 3³ ; g. 1 44, − 0 16, − 0 64, _{; h.} 200 3 18₋ ₊ 98 2. Les réels x et y sont-ils égaux ? a. x=2 3 et y=3 2 ; b. 1 2

et 2

x= 2 y= ; c. x= 20× 125 et y=50² ; d. x= 3 2 2 et + y= +1 2; e. x= 3 2 2− et y= −1 2

1.3 Logarithmes

Simplifier : a. log(1000) ; b. log(0,01) ; c. log2(5) + log2(0,6) d. log 3

100

 

 

  ; e. log(0,07) ; f. 8×log

( )

5 ; g. 8×ln

( )

⁵

1.4 Grandes et petites valeurs, ordre de grandeur

1. Calculer la valeur exacte et l’exprimer en notation scientifique :

a. 1 78 10, . ³×0 29 10 ; , . ² b. 1 8 10, . ²×0 3 10 ; , . ³ c.

(

^{2 7 10}^{, .} ⁻³

)

²^;

d. ^{, .}

, .

3 2

45 2 6 10 3 2500 1 3 10⁻

×

× × ; e. 1 8 10, . ²+0 3 10, . ³

2. Ordre de grandeur : simplifier manuellement pour obtenir un résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis donné par la calculatrice :

a. , . , . , .

, , ,

− × × −

× ×

5 2 6

4 1 10 5 3 10 7 323 10

2 2 3 07 6 25 ; b. , . , . , .

, , . , .

−

× ×

1 2 3

8 3

1 1 10 3 212 10 5 432 10

2 2 4 25 10 6 25 10 ; c. ^, ^, ^,

, , ,

× ×

× × 4 12 7 34 9 12

5 23 6 1 8 25 ;

d. , , ,

, , ,

− × − × −

× ×

5 5 5

4 1 10 4 1 10 4 1 10

2 2 2 2 2 2 ; e. ^. ^. ^.

3 2 5

123 10 456 10 789 10 345 678 912

− × − ×

× × ; f. 421 257 864

12 23 34

× ×

1.5 Calcul fractionnaire

Donner la valeur exacte du résultat sous la forme d’une fraction irréductible : a. 2 1 6

5+11+7 ; b. 4 1 4

5− −3 11 ; c. 23 12 15

56+21+14 ; d. 25 26 27

2 + 3 + 4 ; e. ⁷ ¹ ⁹ 45− +3 15 ;

f. 5 3

7 7

2

+− ; g. ^, ,

7 3

5 1 5 4 9 2 5 2

2 7

+ − ; h.

2 3 6

7 8 5

1 4

 

+ ×

 

 

  

; i.

1 1

2 3

5 3 6 4

+

×

; j.

1 1 1 1

1 1 2 2 3 +

+ +

(3)

1.6 Proportions et pourcentages

a. Sachant qu’il faut 300 grammes de farine et 2 œufs pour faire trente petits gâteaux, combien faut-il de farine et d’œufs pour faire soixante-quinze petits gâteaux? Et si l’on veut en faire cent cinquante ? b. 8 petites bananes sont équilibrées par 3 poids de 50 grammes et 2 poids de 5 grammes. Combien dois-

je retirer de bananes si j’ai retiré un poids de 50 grammes et que j’ai rajouté 2 poids de 5 grammes ? c. Trois tuyaux débitants chacun 5 m³ par heure permettent en une journée de 8 heures d’arroser 150

hectares. Ayant augmenté la surface à arroser de 25 %, Pendant combien de temps dois-je arroser maintenant avec les 3 tuyaux ?

d. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5 %. Chaque année, les intérêts sont calculés à partir du capital possédé à l’année précédente puis viennent s’ajouter à ce capital. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ.

e. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans.

Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

f. Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 18,6 %. Quel est le montant HT ?

g. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil ?

h. Une série Collector de jeux vidéo a été achetée et revendue successivement par quatre personnes.

Les deux premières ont chacune réalisé un bénéfice de 10% et chacune des deux dernières une perte de 10% entre le prix d'achat et le prix de vente. La dernière personne a revendu la série Collector au prix de 1764,20 €. Combien la première l'avait-elle achetée ?

i. Vous placez un capital le 1^er janvier au taux annuel de 6% mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

1.7 Interpolation linéaire

Interpolation ou extrapolation… Dans chaque cas, on donne deux points E et F. On donne une coordonnée d’un point M aligné avec E et F, il s’agit de trouver l’autre !

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?) ; b. E(-3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6) ; c. E(6 ; 1), F(3 ; -8), M(4 ; ?)

1.8 Opérateur somme

1. Ecrire avec l'opérateur somme les expressions suivantes :

a. n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4x4 + n5x5 ; b. x + 2x² + 3x³ + … + nxⁿ ; c. q⁹ + p×q⁸ + p²×q⁷ + p³×q⁶ + … + p⁸×q + p⁹

2. Calculer les sommes proposées : a.

4 2

1 i

i

=

∑

; b.

( )

i

=

∑

¹⁰⁰ −

1

2 100 ; c.

( )

i

i b

=

∑

⁹ +

5

3 5 ; d.

i=

∑

¹⁰

0

8 ; e.

(

ⁱ

)

i

x

=

∑

⁶ + ²

1

2 1 sachant que _i

i

x

=

∑

⁶ ²=

1

100 et _i

i

x

=

∑

⁶ =

1

16 .

1.9 Différents types de moyennes

Dans chaque exercice, résoudre le cas concrètement puis associer au résultat la définition d’une des moyennes vues en remise à niveau, tout en vérifiant la formule donnée pour cette moyenne.

(4)

a. Un avion fait un trajet entre la ville A et la ville B distantes de 650 km à la vitesse moyenne de300 km/h à vide. Lourdement chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyenne de 200 km/h. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour ?

b. Soient cinq plaques carrées de côtés respectifs 1, 5, 7, 13 et 16 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dont l'aire est la moyenne arithmétique des aires des cinq plaques ?

c. Le prix d'un article augmente de 10 % la première année, puis de 20 % la deuxième année, et baisse de 10 % la troisième année. Quel a été le pourcentage moyen d'augmentation par an ?

2 Calcul littéral

2.1 Mise en forme et définitions

2.2 Calcul littéral dans des cas simples

1. Développez les produits remarquables suivants :

a. (x + 3)² ; b. (5 - x)² ; c. (3x - 5)² ; d. (6x - 5)(6x + 5) ; e. (3 + 2x)(3 - 2x) ; f. (-2x - 1)² ; g. (-7 - (-3x))² ; h. (2y - (-3x))² ; i. (y - 1 + 2x)² ; j. (2x - 5 + y)(y + 5 - 2x)

2. Etablir le triangle de VOUS (à l’image du triangle de Pascal) qui permet d’établir les coefficients des polynômes obtenus en calculant

(

^a⁺²^b

)

ⁿ^.

3. Développer

(

^x⁻¹

)

⁷, en déduire la valeur de 9⁷. 4. Développer

(

¹⁺^x

)

⁷, en déduire la valeur de 11⁷.

5. Soit le nombre M = 7 2 6+ − 7 2 6− . On souhaite connaître sa valeur exacte.

a. Calculer ^P⁼

(

7 2 6 7 2 6⁺

)(

⁻

)

sans calculatrice.

b. Exprimer M ² en fonction de P, puis conclure sur la valeur de M.

6. Simplifier les expressions suivantes :

5 5 2 6

56 28 A a b

a b

=− ^; 16 9 ²

4 3 B a

a

= −

− ^;

2 2

2 18

4 24 36

C x

x x

= −

+ + ^;

2 6 9

3

x x

D x

− +

=

2 ( 3)2

2 3

x x

E x

= − +

+ ^; ²

1 2

1 ( 1) F a

a a

= − +

+ + ^;

2 2

1 1

x x x

G x x

= + +

− −

a b 1 H b a

= + −

− ^; ²

1 a b 1

I b b

− −

= − ^; 1 8a₂ 6b₂ 3

J a b b a a b

= − + −

+ − −

7. Résoudre dans R après avoir éliminé les valeurs interdites : a.

x+ x= x

− −

1 2 5

1 2 2 ; b. x²+ = +3 x 2 ; c. ^x ^x x

+ − >

−

2 3 10

1 0 ; d. ^x _x x

−1≤ +

4 1

8. Trouver le moyen d’obtenir une écriture simplifiée de A+B C , A, B et C positifs, sous la forme +

a b c, lorsque c’est possible (dire sous quelles conditions ça l’est).

Application : donnez une écriture simplifiée de 7 2 6 . +

(5)

2.3 Polynômes

2.4 Opérations sur les polynômes

1. Additions, multiplications ; simplifier : a.

(

²^x⁵⁻³^x³^{+ − +}^x ⁷

) (

²^x⁻⁴^x⁴^{+ −}^{3 6}^x³

)

^;

b.

( (

^{− +}^x ²^x²⁻³^x³⁺⁸^x⁸

) (

^{− +}^{5 9}^x⁻⁷^x²⁺⁴^x⁵

) )

^{× +}

⁽

^x ^{2 ;}

⁾

^c.

⁽

^x⁺¹

⁾⁽

^x⁻^{3 2}

⁾⁽

^x⁻²

⁾

2. Donner les racines des polynômes ci-dessous, et factoriser ces polynômes :

a. ^{P x}

( ) (

⁼ ^ax⁺^{b cx}

)(

⁺^d

)

^; ^b.^{P x}

( )

⁼³^x²⁻⁷^x⁺^{2 ;} ^c.^{P x}

( )

⁼³^x²⁻⁷^x⁺⁴

d. ^{P x}

( )

⁼³^x²⁻⁶^x⁺⁴^{; e.}^{P x}

( )

⁼³^x²⁻7 ; f. ^x ^{P x}

( )

⁼^x²⁻¹ ; g. ^{P x}

( )

^{= − +}^x² ²

h. ^{P x}

( )

⁼³^x²⁺^{2 ;} ^i.^{P x}

( )

⁼^x³⁺³^x²⁻²^x⁻⁴ en remarquant que ^P

( )

^{− =}¹ ⁰

j. ^{P x}

( )

⁼^x³⁻²¹^x⁺²⁰ ^k.^{P x}

( )

⁼^x³⁻⁴^x²⁻³¹^x⁺⁷⁰

m. ^{P x}

( )

⁼^x⁴ ⁺³^x³⁻⁵^x²⁻¹³^x⁺⁶ en remarquant que ^P

( )

^{− =}³ ⁰

3. Divisions :

a. Diviser selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 5 : x x x

+ −

−

3 2 5 1

2 b. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : x x

x + −

−

3 2 5 1

2 c. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : ^x ^x ^x ^x

x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1

d. ^x ^x ^x ^x

x x

− + − + + −

4 3 2

2

5 4 3 2 1

2 1 selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 4 e. Diviser selon les puissances CROISSANTES : x x x

x x + − +

− −

2 4

2

1 5 2

2

f. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : ^x ^x ^x x x

+ − +

− −

2 4

2

1 5 2

2 4. Décomposition sur les racines du diviseur :

Diviser les deux polynômes suivants puis obtenir la décomposition sur les racines du diviseur du reste (divisions par les puissances décroissantes) :

DIVIDENDE : ^{P x}

( )

⁼⁵^x⁵⁻³^x³⁺²^x²^{+ +}^x 100 , DIVISEUR : ^{D x}

( )

⁼²^x²^{+ −}^x ³

a. Exprimer le quotient ^{Q x}

( )

et le Reste ^{R x}

( )

^de

( ) ( )

P x D x ^. b. Calculer les deux racines du diviseur ^{D x}

( )

⁼²^x²^{+ −}^x ³

c. Décomposer

( ) ( )

R x

D x à l’aide des racines du diviseur.

d. Calculer

( ) ( ) ( ) ( )

( )

P D Q R

D

2 , 2 , 2 , 2

2 , ce dernier étant exprimé sous la forme d’une somme de deux fractions. Que peut-on alors écrire ?

(6)

3 Raisonnement et mise en équation

3.1 Raisonnement par récurrence

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

( )

1

1 2

n

i

i n n

=

= +

∑

, puis que

( )( )

n

i

n n n

i

=

+ +

∑

² =

1

1 2 1

6 et enfin que

n n

i i

= =

 

= 

 

∑ ∑

2 3

1 1

.

2. Montrer par récurrence que la dérivée nième de la fonction x֏xe^x est ^x^֏

(

^x⁺ⁿ

)

^e^x^.

3. La spirale de Pythagore :

Cette « spirale » est une succession de côtés de triangles rectangles bâtis les uns à partir des autres.

Le premier est isocèle est les côtés perpendiculaires sont de longueur 1. Son hypoténuse sert de base au triangle rectangle n°2, dont le côté perpendiculaire est à nouveau de longueur 1. L’hypoténuse du triangle n°2 sert de base au triangle n°3, et ainsi de suite.

Montrer par récurrence que la longueur de l’hypoténuse du triangle n° n est n+1.

3.2 Mise en équation d’un problème

1. Vol au vent :

Un avion de tourisme, dont la vitesse dans l’air calme est de 150 km/h, va d’une ville A à une ville B et revient aussitôt à la ville A. la distance AB vaut 308 km.

Pendant la durée du vol, le vent a soufflé de manière uniforme dans la direction (AB), dans le sens A vers B. Calculez la vitesse du vent, sachant que l’avion a mis, pour revenir une demi-heure de plus qu’à l’aller.

2. Vol aux vents :

Dans la même situation que précédemment, mais dans un cas général, on note V la vitesse de l’avion (fixée), v celle du vent (fixée) et D la distance AB (fixée).

Montrer que quelle que soit la vitesse non nulle du vent, l’avion mettra toujours plus de temps pour faire l’aller-retour que s’il n’y avait pas de vent.

3. Taxi :

Un taxi prend un client à l’aéroport, le ramène chez lui puis revient à l’aéroport. L’aller-retour lui a pris 50 minutes (dont 5 minutes d’arrêt devant le domicile du client). La vitesse moyenne à l’aller a été 36 km/h et au retour 45 km/h. Quelle est la distance entre le domicile du client et l’aéroport ? 4. On fait le mur :

Un maçon a mis 2 jours pour monter son mur. Son collègue, moins expérimenté et plus frêle, a mis 4

(7)

premiers. Combien de temps mettront-ils en travaillant ensemble (on suppose qu’ils ne perdent pas de temps à discuter et qu’ils travaillent sans s’arrêter jusqu’à ce que le mur soit fini) ?

5. Balance commerciale :

Une entreprise fabrique des pèse-personnes ultra-précis, qu’elle commercialise dans le monde entier… Or le poids d’une personne (P = mg) dépend de sa masse m et aussi de g ! Un homme achète une balance en France et s’y pèse ; elle affiche : 80kg. Il emmène sa balance en voyage en Equateur et se pèse là-bas. Quel « poids » (en fait : masse en kg) affichera sa balance ? (on considère que la masse de cet homme est invariable ; on prendra pour valeurs de g : 9,81 en France et 9,78 en Equateur)

6. Problèmes géométriques :

a. Parmi tous les triangles rectangles dont l’hypoténuse mesure 10 cm, trouver celui qui a la plus grande aire.

b. Un cône est posé sur sa base circulaire, horizontale. A quelle hauteur faut-il faire une coupe horizontale de ce cône pour que les deux parties détachées aient le même volume ?

7. Problèmes numériques :

a. Vous avez 52 ans, soit le double de l’âge que j’avais lorsque vous aviez l’âge que j’ai. Quel est mon âge ?

b. Trouver deux entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut 15.

c. Soit a et b deux entiers positifs. Montrer que si a² - b² est un nombre premier, alors a et b sont forcément deux entiers consécutifs (on pourra raisonner par contraposée, c'est-à-dire essayer de montrer que le contraire de la conclusion implique le contraire de l’hypothèse).