Partie A : « Poussée du vent »

(1)

DM3-2013_Corrigé

Partie A : « Poussée du vent »

1. Présentation du mécanisme

Afin de mesurer la poussée du vent sur des portes de garage de grandes dimensions, on envisage le dispositif expérimental schématisé sur la figure ci-contre. Ce dispositif est constitué d’une porte (4) liée au sol (0) par une liaison pivot horizontale (H, x) et maintenue verticale par un câble (2).

La porte est orientée pour que l’action du vent s’exerce suivant l’axe y. On suppose que le torseur d’action mécanique du vent sur la porte au point G se réduit à une seule composante de résultante suivant l’axe y. Par ailleurs, le poids de la porte est noté P.

{ }

 

 



 

 



=

→

0 0 0

0 0 4

( vent V

T

G

et

P P z r

⋅

−

=

Le système de mesure est constitué d’un bras de levier (1) en pivot par rapport au sol et sur lequel sont « ancrés » (liaisons rotules) le câble (2) au point A et le capteur d’effort (3) au point B. Ce dernier mesure l’effort de traction, noté F, entre les points B et C. Quelque soit la valeur de F la distance BC reste constante, donc au cours des différents essais la position du point B est fixe par rapport au sol.

Pour les dimensions du système on utilisera les notations suivantes :

y a

OA r

⋅

=

^;

OB b y r

⋅

=

^;

CB = c ⋅ z r

^;

OD d y r

⋅

=

^;

DE l x r

⋅

−

=

^;

l x

DH r

⋅

−

= 2

^;

h z HG = ⋅ r

2

^;

HF = h ⋅ z r 2. Travail demandé

Question A-1 : Sachant que le câble est en tension sous l’action de deux forces en A et F, en déduire les relations géométriques entre les composantes de la

résultante R 12 .

En isolant le câble 2, on constate qu’il est en équilibre sous l’action de 2 forces. On en déduit :

h Z a d

Y l

AF X

R 12 12

2 // 12

12 =

= −

⇒ −

On en déduit 2 équations indépendantes :

 

 



= −

−

=

2 12 . 12

1 12 2 . 12

eq h Z

a Y d

eq h Z

X l

Question A-2 : En isolant le bras de levier (1) et en appliquant le principe fondamental de la statique au point O, en déduire la tension dans le câble en fonction de F.

On isole 1, cet ensemble est en équilibre sous trois actions mécaniques :

•

{ }

 

 



 

 



=

→

01 01 0

01 01 01 1

0 N M Z

Y X T

O

•

{ }

 

 



 

 



−

 =



 



 

 



=

→

21 .

0 21 .

21 21 21

0 0 0

21 21 21 1

2 X a

Z a

Z Y X

Z

Y

X

T

(2)

•

{ }

 

 



 

 

 −

−

 =



 



 

 



−

=

→

0 0 . 0

0 0 0 0 0 0 1

3 F b

F F

T

O B

En appliquant le PFS au point O, on obtient les 6 équations suivantes :

 





 





=

−

=

−

=

− +

= +

8 0 21 01

7 0 01

6 0 . 21 .

5 0 21

01 4 0 21 01

3 0 21 01

eq aXZ

N

eq M

eq F

b Z a

eq F

Z Z

eq Y

Y

eq X

X

Résolution :

Grâce au principe des actions mutuelles, on sait que

 

 



−

=

−

=

−

= 12 21

12 21

Z Z

Y Y

X X

a F Z b eq 6 ⇒ 21 =

ha F X lb

eq 1 ⇒ 21 = 2 − ha F

b a Y d

eq ( )

21 2 ⇒ = −

Les équations 3, 4, 5, 7, 8 permettent de déterminer les composantes du torseur

{ T ⁰ → ¹ }

, or dans cette question seule la tension du câble est demandée :

4 4

4 3

4 4

4 2

1

AF câble du longueur

l a b h ah F

b h l h

a F b

a Z b

Y X

T

=

+

− +

=

− + +

= +

+

= ² ( )² ( 2 )²

² 4

²

² ) 1 (

² 21

2

ah F AF b T = .

Question A-3 : En considérant les dimensions ci-dessous, vérifier que pour F = 400 N la tension dans le câble est proche de T = 2150 N. a = 0,2 m ; b = 0,5 m ; c = 0,1 m ; d = 6 m ; h = 4 m ; l = 5 m

Calcul de la longueur du câble :

^AF = ^h ^² + ⁽ ^d − ^a ^)² + ( ) ^l ² ^² = ⁴ ^² + ⁵ ^, ⁸ ^² + ² ^, ⁵ ^² = ⁷ ^, ⁴⁸ ^m

On en déduit :

T × F

× ×

= 0 , 2 4 5 , 48 0 ,

7 ⇒ T ≈ 4 , 67 × F

Pour F=400 N, on a :

T ≈ 1870 N

(3)

Question A-4 : Etablir la relation entre la poussée du vent V et la valeur d’effort donnée par le capteur F.

Pour relier F et V, il faut relier V et T. Pour cela on doit isoler un système sur lequel s’exercent les efforts du câble et du vent.

On isole la porte 4, elle est en équilibre et soumise à 4 actions mécaniques extérieures :

•

{ }

 

 



 

 



=

→

04 04 0

04 04 04 4

0 N M Z

Y X T

H

•

{ }

 



 





 



 



 −

 =



 



 

 



=

→

0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 4

h V V V

Tvent

H G

•

{ }

 

 



 

 



−

 =



 



 

 



−

=

→

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 4

P P

Tg

H G

•

{ }

 













−

=

−

=

− −

=

−

=

−

=

 

 



 

 

 −

 =



 



 

 



=

→

a F Z b

Z

ha F b a Y d

Y

ha F X lb

X avec X

h Y h

Z Y X

Z Y X T

H

F

24 21

) 21 (

24 21 2 24

0 24 .

24 . 24 24 24 0

0 0 24 24 24 4

2

En appliquant le PFS au point O, on obtient les 6 équations suivantes :

 



 





=

= +

=

−

= +

−

= + +

= +

14 0

04 13 0

24 . 04

12 0

24 . 2 .

11 0

24 04

10 0

24 04

9 0 24 04

eq N

eq X

h M

eq Y

h h V

eq Z

P Z

eq Y

V Y

eq X

X

Résolution :

ha F b a Y d

V

eq 2 ( )

24 . 2

12 ⇒ = − = −

ha F b a V = 2 ( d − )

⇒

Question A-5 : En considérant les dimensions données précédemment, vérifier que pour F = 400 N la poussée du vent est proche de V = 2900 N.

Application numérique : F F

V 7 , 25 .

4 2 , 0

5 , 0 8 , 5

2 =

×

= ×

Si F = 400 N, alors V = 2900 N

(4)

Partie B : « Disque dur »

Présentation du mécanisme

Les disques durs utilisés pour le stockage de masse des fichiers dans les ordinateurs sont constitués de disques tournants à vitesse constante et de bras de lecture.

L’étude suivante porte sur le disque dur simplifié de la figure ci-après.

Le système est constitué d’un seul disque (1) en rotation autour de l’axe (O,z) à la vitesse de rotation constante de N = 5400 tr/min. les informations sont stockées sur des pistes (cercles concentriques de centre O) distantes de 1 mm pour les rayons allant de 17 à 46 mm inclus (30 pistes). Chaque piste est découpée en 16 secteurs angulaires (cluster). Pour pouvoir lire le bit du point M de la surface du disque, on oriente le bras (2) pour placer la tête de lecture (point C) sur la piste correspondant à celle du point M.

On définit quatre repères :

• R0 (O, x, y, z) lié à S0

• R1 (O, x1, y1, z) lié à (1), A est un point fixe de (1)

• R2 (B, x2, y2, z) lié à (2)

• R3 (O, i, j, z) permettant le repérage en coordonnées polaires du point M par rapport à R1

• R4 (B, u, v, z) permettant le repérage en

coordonnées polaires du point C par rapport à R0 Le repérage de M dans le disque (1) est donné par les deux coordonnées polaires

θ

^et

ρ

^:

i

OM r

ρ .

=

^avec

i r = cos θ . x 1 + sin θ . y 1

De même, le repérage de C dans R0 est donné par les deux coordonnées polaires

γ

^et

λ

^:

^OC = λ ^. ^u ^r

^avec

y x

u r = cos γ . + sin γ .

Les dimensions du système sont les suivantes :

-

OB = a . x − b y

avec a = 40 mm et b = 60 mm -

BC = c .y 2

avec c = 70 mm

Travail demandé

Question B-1 : Calculer les valeurs numériques de la vitesse et de l’accélération d’un point M situé sur la piste la plus éloignée du centre de rotation (rayon = 46 mm), lorsque le disque tourne à sa vitesse nominale : N = 5400 tr/min.

Le point M tourne à vitesse constante avec un rayon fixe : j

M

V r

&.

) 0 / 1 ,

( = ρ α ^et M i r

& ².

) 0 / 1 ,

( = − ρ α

Γ

Avec N 565 rd / s

30 ≈

×

= π

α ^& ^et ρ ^max = ⁰ ^, ⁰⁴⁶ ^m

(5)

Question B-2 : En considérant la commande de mouvement du bras donnée par le chronogramme ci-contre, calculer la valeur de l’angle β ( 7 ) à la date t = 7 ms. A la date t0 = 0 ms, on a : β ( 0 ) = 10 ° ^.

∫

+

=

⁷

0

( ).

) 0 ( ) 7

( β β t dt

β ^& ^avec β ⁽ ⁰ ⁾ = ¹⁰ ° ≈ ⁰ ^, ¹⁷⁵ ^rd

Mais dans le cas d’une courbe aussi simple, il est plus facile de calculer l’aire sous la courbe entre les date t0 et t7 :

°

≈

×

≈

× +

≈ 0 , 175 35 5 . 10

⁻

2 0 , 175 20 )

7 (

³

β

Question B-3 : Dans les conditions de la question précédente, calculer les valeurs numériques de la vitesse maximum et de l’accélération maximum du point C.

Le point C tourne avec un rayon fixe mais la vitesse n’est pas constante:

2 . )

0 / 2 ,

( C c X

V = − β ^& ^et Γ ( C , 2 / 0 ) = − c β ^& ^& . X 2 − c β ^&

²

. Y 2

Avec β ^& max = 35 rd / s ^et ¹⁷⁵⁰⁰ ^/ ^² 10

. 2

max = 35

₋₃

≈ rd s β ^& ^&

On en déduit que la vitesse du point C est maximale entre les dates 2 et 5 ms : s

m C

V ( , 2 / 0 ) ≈ 35 × 0 , 070 = 2 , 45 /

Et que l’accélération du point C est maximale aux dates 2ms-dt et 5ms+dt : g

s m

C , 2 / 0 ) 0 , 07 17500 35 1228 / ² 123

( =

²

+

⁴

≈ ≈

Γ

Question B-4 : Dans le système réel, le disque et la tête ne sont pas en contact. Un film d’air d’environ 15 microns des séparent. En considérant que ces deux solides sont en contact, calculer de façon littérale la vitesse de glissement entre (2) et (1) au point C : V ( C ∈ 2 / 1 ) en fonction de ^c ^, λ ^, β ^& ^, α ^& ^.

) 0 / 1 ( ) 0 / 2 ( ) 1 / 2

( C ∈ = V C ∈ − V C ∈ V

Avec



 



=

∧

−

= Ω

∧ +

∈

=

∈

−

=

∈

v Z

u CO

O V C

V

X c C

V

. 0 . . 0 / 1 )

0 / 1 ( ) 0 / 1 (

2 . )

0 / 2 (

α λ α

λ β

&

On en déduit : V ( C ∈ 2 / 1 ) = − c β ^& . X 2 + λ α ^& . v

Question B-5 : A partir des coordonnées polaires du point M, déterminer ses coordonnées cartésiennes dans les repères R0 et R1.

1 . sin . 1 . cos

. x y

OM = ρ θ + ρ θ

y x

OM = ρ . cos( θ + α ). + ρ . sin( θ + α ).

0

) / ( rd s β ^&

) (ms t

35

2

1 3 4 5 6 7

(6)

Question B-6 : A partir d’un tracé graphique précis, déterminer les valeurs extrêmes de β , permettant de lire la première et la dernière piste (c'est-à-dire pour les valeurs de rayon de 17 et 46 mm).

Question B-7 : Etablir les relations : γ = ^f ( β ) et λ = ^f ( β ) En écrivant la boucle vectorielle suivante : OC = OB + BC , On obtient deux équations scalaires :

 



+

−

=

−

=

2 . cos . sin

.

1 . sin . cos

.

eq c

b

eq c

a

β γ

λ

β γ

λ Pour obtenir γ = ^f ( β ) , il suffit de calculer

1 .

2 . eq eq :

β γ β

sin .

cos tan .

c a

c b

− +

= −

⇒

 



 



− +

= −

⇒ β

γ β

sin .

cos arctan .

c a

c b

Pour obtenir λ = ^f ( β ) , il suffit de calculer eq . 2

²

+ eq . 1

²

: ⇒ λ ² = a ² + b ² − 2 bc . cos β − 2 ac . sin β + c ²

(7)

Question B-8 : Le tracé de la question B-6 permet de constater que l’angle γ varie avec une très faible

amplitude. En considérant cet angle constant γ = 15 ° , établir la relation β = ^f ( ρ ) et vérifier les valeurs trouvées à la question B-6.

Pour atteindre le rayon ρ du point M, il suffit de commander le bras pour avoir λ = ρ . De plus, si γ = 15 ° = cste , il est alors très simple de reprendre l’équation eq . 1 :

c c a

a . cos( 15 )

sin sin

. )

15 cos(

. ° = − β ⇔ β = − ρ °

ρ

 

 



 − °

=

⇒

c a . cos( 15 ) arcsin ρ

β

Pour le rayon ρ min = 17 mm , on obtient  ≈ °



 



 − × °

= 19 , 68

70 ) 15 cos(

17 arcsin 40

β min

Pour le rayon ρ min = 46 mm , on obtient  ≈ − °



 



 − × °

= 3 , 63

70 ) 15 cos(

46 arcsin 40

β min

Pour obtenir un résultat plus précis, il serait simple de remplacer γ par la valeur obtenue graphiquement :