Remise à niveau MATHEMATIQUES

DU Assistant Clientèle

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau ^________

EXERCICES SUPPLEMENTAIRES D ' ENTRAINEMENT

CORRIGES

(les parties et sous-parties sont numérotées et intitulées en référence au plan du document de cours, pour plus de clarté.

Ce document n’aborde pas l’intégralité du cours, mais quelques points « cruciaux »)

test n°1 (16/01/20) : porte sur les parties 1.1, 1.2, 2.1 à 2.6 test n°2 (12/02/20) : porte sur les parties 2.1 à 2.6, 3.2, 3.3 + remboursement d’emprunts

1. Notions élémentaires : langage, nombres, rigueur

1.2 Nombres

1.2.2 Comparaison, encadrement, signe 1 - Compléter le tableau suivant :

inégalités intervalle représentation graphique

1 ≤ x ≤ 6 x ∈ [1 ; 6] 1 6

x ≤ -2 x ∈ ]-∞ ; -2] -2

0 ≤ x ≤ 50 x ∈ [0 ; 50] 0 50

x ≤ 5 x ∈ ]-∞ ; 5] 5

x ≥ -1 x ∈ [-1 ; +∞[ -1

2 -

a. Trouver un encadrement pour x + y sachant que x ∈ [10 ; 11] et y ∈ [10 ; 15].

Au minimum, x + y = 10 + 10 = 20 ; au maximum, x + y = 11 + 15 = 26. 20 ≤ x + y ≤ 26 b. Trouver un encadrement pour x − y sachant que x ∈ [8 ; 10] et y ∈ [2 ; 4].

Au minimum, x − y = 8 − 4 = 4 ; au maximum, x − y = 10 − 2 = 8. 4 ≤ x − y ≤ 8 c. Trouver un encadrement pour x × y sachant que x ∈ [2 ; 3] et y ∈ [4 ; 5].

Au minimum, x × y = 2 × 4 = 8 ; au maximum, x × y = 3 × 5 = 15. 8 ≤ x × y ≤ 15 d. Trouver un encadrement pour y ÷ x sachant que x ∈ [2 ; 3] et y ∈ [12 ; 14].

Au minimum, y ÷ x = 12 ÷ 3 = 4 ; au maximum, y ÷ x = 14 ÷ 2 = 7. 4 ≤ y ÷ x ≤ 7

e. Si on achète entre 20 et 25 articles qui coûtent chacun entre 8 et 12 €, donner un encadrement de la dépense totale.

Au minimum, on dépense 20 × 8€ = 160€ ; au maximum, 25 × 12€ = 300€.

3 - x étant un nombre réel, si 5≤ ≤x 10, alors : (plusieurs bonnes réponses possibles) a. 7≤ + ≤x 2 10 : NON, car 5 2+ ≤ + ≤x 2 10 2+ b. 5 10

2

≤ ≤x : NON, car 5 10

2 2 2

≤ ≤x c. 10 2≤ x≤20 : OUI, car 2 5 2× ≤ x≤ ×2 10 d. 1

0,1 0,2

≤ ≤x : OUI, car 1 1 1 10≤ ≤x 5 e. 50≤x²≤100 : NON, car 5²≤x²≤10² f. 0≤ − ≤x 5 5 : OUI, car 5 5− ≤ − ≤x 5 10 5− g. 5− ≤ − ≤ −x 10 : NON, car -5 est supérieur à -10 h. 10− ≤ − ≤ −x 5 : OUI

1.2.3 Arrondis, chiffres significatifs 1 - Quels sont les bons arrondis ?

a. 2

0,6667

3≈ : OUI b. 1

7≈0,14 : OUI c. 1

0,1428

7≈ : NON, 0,1429

d. 5,1318≈5,131 : NON, 5,132 e. 1,23456 1,23≈ : OUI f. 1,23456 1,234≈ : NON, 1,235 g. 1,23456 1,2345≈ : NON, 1,2346 h. π ≈3,1416 : OUI

2 - Donner les arrondis à quatre chiffres significatifs des nombres proposés dans l'exercice précédent.

a. 0,6667 b.c. 0,1429 d. 5,132 e.f.g. 1,235 h. π ≈3,142

2. Calcul

2.0 Règles de priorité – nombres relatifs

Calculer, en détaillant, les expressions suivantes : (4 3 5) (5 3² 9) 6 8

A= × − − × + ÷ + = (12 – 5) – (45 + 9)÷6 + 8 = 7 – 9 + 8 = 6 [(5 2 4) 4 3] 7 3 7

B= + × × − ÷ − × = [(5 + 8)×4 – 3]÷7 – 21 = [13×4 – 3]÷7 – 21 = [52 – 3]÷7 – 21 = 49÷7 – 21 = 7 – 21 = -14

Nombres relatifs

+ (+ 5) = + 5 + (– 5) = – 5

– (+ 5) = – 5 – (– 5) = + 5

Additions et soustractions de nombres relatifs

(+ + − − + − − =8) ( 4) ( 5) ( 6) 8 – 4 – 5 + 6 = 5 ; (+ 19) + (– 5) = 19 – 5 = 14 ; + 19 – 5 = 14 ; (– 19) + (+ 5) = –19 + 5 = –14 ; (– 19) – (– 5) = –19 + 5 = –14 ; – 19 – 5 = –24 ;

(+19) – (– 5) = 19 + 5 = 24 ; – 19 + 5 = –14 Multiplications et divisions de nombres relatifs

(+ 3) x (+ 5) = 3×5 = 15 ; (+ 3) x (– 5) = – 3×5 = –15 ; (– 3) x (– 5) = 3×5 = 15 ; 3 x 5 = 15 ; 3 x (– 5) = – 3×5 = –15 ; (– 3) x 5 = – 3×5 = –15 ; (– 3) x (+ 5) = – 3×5 = –15 ;

(− × + =8) ( 4) – 8×4 = –32 ; (+ × − =9) ( 6) – 9×6 = – 54 ;

( ) ( ) ( )

3× − × × − × − =1 2 1 2 – 3×1×2×1×2 = –12 ;

( ) ( ) ( ) ( )

5× − × − × × − × − =3 1 2 2 3 5×3×1×2×2×3 = 180 ; (+ + − × + − − =8) ( 4) ( 5) ( 6) 8 – 4×5 + 6 = 8 – 20 + 6 = –6 ;

(− − − + + × − − + =7) ( 5) ( 3) ( 4) ( 9) –7 + 5 – 3×4 – 9 = –7 + 5 – 12 – 9 = –23 15 / 3 = 5 ; 15 : 3 = 5 ; (+ 15) / (+ 3) = 5 ; (– 15) / (– 3) = 5 ; 15 / (– 3) = –5 ; (– 15) / 3 = –5

5 + 5 x 4 = 5 + 20 = 25 ; (5 + 5) x 4 = 10 × 4 = 40 ; 5 – (5 x 4) = 5 – 20 = –15 ;

5 + 5 x (– 4) = 5 – 20 = –15 ; 5 – 5 x (– 4) = 5 + 20 = 25 ; 5 – (– 5) x (– 4) = 5 – 20 = –15 ; 37 – 7 x 5 = 37 – 35 = 2 ; 37 + (– 7) x 5 = 37 – 35 = 2 ; 37 + (– 7) x (– 5) = 37 + 35 = 72 ; 37 – (– 7) x (– 5) = 37 – 35 = 2 ; – 37 + 7 x 5 = – 37 + 35 = – 2 ; – 37 – 7 x (– 5) = – 37 + 35 = – 2 ; (– 37) + (– 7) x (– 5) = – 37 + 35 = – 2

23 – (57 + 31) /4 = 23 – 88/4 = 23 – 22 = 1 ; 40 – 2 x (24 /12 – 2) = 40 – 2×(2 – 2) = 40 – 2×0 = 40 ; (25 – 5 x 3) /5 = (25 – 15)/5 = 10/5 = 2 ; 20 /2 – 1 /10 = 10 – 1/10 = 9,9 ;

7 x (12 – 10) + 8 = 7×2 + 8 = 14 + 8 = 22 ; 20 x 20 – 15 /3 = 400 – 5 = 395 ; 0 / (– 4) + 12 = 0 + 12 = 12 ; – 7 x (– 4) x (– 1) x 2 = – 7×4×1×2 = – 56 ;

(– 2) x (– 3) x (+ 1) x (– 0,5) x (– 4) = 2×3×1×0,5×4 = 12 ; 50 – 50 x 4 = 50 – 200 = –150

2.1 Fractions

Simplification : 15

3 = 5 3 3

5 5 1 5

3 3

× = × = × = ; 56

7 = 8 7 7

8 8 1 8

7 7

× = × = × = ; 18

72= 2 9 2 9 2 1

8 9× = × = =8 9 8 4

× ;

24

18 = 8 3 8 3 8 4

6 3× = × = =6 3 6 3

× ; 52

24= 13 4 13 6 4× = 6

× ; 66

44= 6 11 6 3

4 11 4 2

× = =

× ; 25

30= 5 5 5 6 5× =6

× ; 33

39= 11 3 11 13 3× =13

× ; 150

90 = 3 5 10 5 3 3 10 3

× × =

× × ; 12

21= 3 4 4 3 7× =7

× ; 49

7 = 7 7 7 7

× = ; 120

315= 5 4 3 2 4 2 8

5 3 3 7 3 7 21

× × × = × =

× × × × ; 125673

125673= ¹ ; 170

34 = 17 10 10 17 2 2 5

× = =

× ; 125

75 = 5 25 5 3 25 3

× =

×

Addition :

3 4

5+ =5 7

5 ; 5 7

8+ =4 5 14 19

8+ 8 = 8 ; 5 7

8− =3 5 3 7 8 15 56 41

8 3 24 24

× − × = − = −

× ;

5 7

8+ =6 5 3 7 4 15 28 43

8 3 6 4 24 24 24

× + × = + =

× × ; 27

12− =2 27 24 3 1

12−12=12=4 ; 1 4 3+ =3 5

3 ;

5 7

4− =4 2 1

4 2

− = − ; 4 7

15+ =5 4 21 25 5

15+15=15=3 ; 8 5

9−18= 16 5 11 18−18=18 ;

1 7

3 15+ = 5 7 12 4

15+15=15=5 ; 7 12

28−48= 7 12 1 1

4 7−4 12= − =4 4 0

× × ; 1 1

4+ =4 2 1 4 =2 ;

8 3

11+ =9 8 1 8 3 1 11 35

11 3 11 3 33

× + ×

+ = =

× ; 47 9

15− =5 47 27 20 4

15−15=15= 3 ; 5 2

4− =9 5 9 2 4 37

4 9 36

× − × =

× ; 7 1

4− = 7 4 3

4− =4 4 ; 2

2− =9 18 2 16 9 − =9 9 Multiplication :

4 7

7× =5 4 7 4 7 5× =5

× ; 5 9

2 10× = 5 9 5 9 9

2 10 2 2 5 4

× = × =

× × × ; 5 3

12 8× = 5 3 5 3 5

12 8 3 4 8 32

× = × =

× × × ;

2 7

3 5× = 2 7 14 3 5× =15

× ; 5 12

4 7

− × = 5 12 5 4 3 15

4 7 4 7 7

× × ×

− = − = −

× × ; 8 ( 5)

9× −18 = 8 5 2 4 5 20

9 18 9 2 9 81

× × ×

− = − = −

× × × ;

1 15

3 2

×− =

−

1 3 5 5

3 2 2

− × × =

− × ; 2 15

9 16

− × =

−

2 15 2 3 5 5

9 16 3 3 2 8 24

× = × × =

× × × × ; ( 1) ( 4)

4 3

− × − = 1 4 1 4 3× =3

× ;

10 3

27 25

− ×− = 10 3 2 5 3 2

27 25 3 9 5 5 45

× = × × =

× × × × ; 5 2 4

− × = 2 5 2 5 5

1 4 1 4 2

− × = − × = −

× ;

( )

7 12

15× − = 7 12 7 3 4 28

15 1 3 5 5

− × = − × × = −

× ; 5 8

8 5

×− = 5 8 8 5 1

− × = −

× Division :

3 5

7÷ =2 3 2 3 2 6

7 5 7 5 35

× = × =

× ; 5 11

3 2

= 5 2 10

11 3× =33 ; 5 10

12÷ 3 = 5 3 5 3 1

12 10 3 4 2 5 8

× = × =

× × × ;

2 7

3÷ =5 2 5 10

3 7× =21 ; 14 16 15 45

− ÷ = 14 45 2 7 3 15 21

15 16 15 2 8 8

× × ×

− × = − = −

× × ;

( )

2 25

7÷ − 3 = 2 3 6

7 25 175

− × = − ; 1 2 3 15÷ =

−

1 15 1 3 5 5

3 2 3 2 2

− × = − × × = −

× ;

2 1

7÷ 14=

−

2 14 2 2 7

7 1 1 7 4

− × = − × × = −

× ; ( 3)

3 4

− ÷ − = 4

3 4

× =3 ; 10 27 5

− ÷ = 10 1 2

27 5 27

− × = − ; 8 20

9÷21= 8 21 2 2 2 3 7 14

9 20 3 3 2 2 5 15

× × × ×

× = =

× × × × ; 36

7 ÷ =6 6 6 1 6

7 6 7

× × =

2.2 Proportion

1 - Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

12 42 12 18 54 30 60

4 14 4 6 18 10 20

(coefficient multiplicateur de bas en haut : 3) 2 - Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 15 60 b. 15 2,5 c. 12 48

3 10 60 10 7 28

d. 0,2 1 e. 1 2 3 4 5

1 0,2 2 4 6 7 8

a. NON : les produits en croix ne sont pas égaux b. OUI : les produits en croix sont égaux

c. OUI : les produits en croix sont égaux

d. NON : les produits en croix ne sont pas égaux e. NON : les rapports ne sont pas tous égaux.

Par exemple, en divisant les nombres du bas par ceux du haut : 2/1 = 2 ; 4/2 = 2 ; 6/3 = 2 ; 7/4 = 1,75 ; 8/5 = 1,6

2.3 Interpolation/extrapolation linéaire

2.4 Indices

1 - Compléter les tableaux suivants : a.

valeur 250 000 300 000 280 000 320 000

indice 1000 1200 1120 1280

b.

valeur 0,256 0,384 0,32 0,352

indice 100 150 125 137,5

c.

valeur 110 000 121 000 133 100 146 410

indice 1000 1100 1210 1331

d.

valeur 360 480 540 600

indice 75 100 112,5 125

2 - Répondre aux questions relatives aux tableaux précédents :

a. À partir du premier tableau, quelle valeur correspondrait à l'indice 2000 ? Ce serait le double de la valeur relative à l'indice 1000, donc : 500 000.

b. À partir du deuxième tableau, quel indice correspondrait à la valeur 1,024 ? 1,024×100 / 0,256 = 400.

c. À partir du troisième tableau, donner directement le taux d'augmentation entre la première et la dernière valeurs.

L'indice passe de 1000 à 1331, soit une augmentation de 331 pour mille, soit 33,1 pour cent.

d. À partir du dernier tableau, si on additionne tous les indices pour former un nouvel indice, est-ce que sa valeur correspondante sera la somme des quatre valeurs ?

Oui, la proportionnalité permet de le dire. Vérifions : nouvel indice = 75+100+112,5+125 = 412,5.

Produit en croix avec la colonne n°4 (par exemple) : nouvelle valeur = 412,5×600 / 125 = 1980.

Or la somme des quatre premières valeurs est 360+480+540+600 = 1980 !

2.5 Pourcentages

1 - Calculer :

a. 20% de 800 = 20/100 × 800 = 160 b. 5% de 30 = 5/100 × 30 = 1,5 c. 60% de 45 = 60/100 × 45 = 27 d. 2,5% de 330 = 2,5/100 × 330 = 8,25 e. 0,06% de 2500 = 0,06/100 × 2500 = 1,5 f. 122% de 54 = 122/100 × 54 = 65,88 2 - Une tente a un volume de 31,2 m³. La teneur normale de l'air en CO2 est de 0,03% de son volume.

Quel est le volume de gaz carbonique contenu dans la tente ? (en mètres cubes, puis en litres) 0,03 pour cent de 31,2 m³ = 0,03 /100 × 31,2 m³ = 0,00936 m³ = 9,36 litres.

3 - 60% des Français ont besoin de consulter régulièrement un ophtalmologiste, et 80% de ceux-ci le font effectivement ; pour les autres, 10% consulte sans forcément en avoir besoin.

a. Quel pourcentage de la population française consulte un ophtalmologiste ? ceux qui en ont besoin + ceux qui n'en ont pas besoin :

80% de 60% + 10% de 40% = 48% + 4% = 52%

b. Parmi ceux qui consultent, quelle est la part de ceux qui en ont besoin ?

parmi ces 52%, 48% en ont besoin, soit un rapport de 48/52 ≈ 0,9231 = 92,31%

4 - Un commerçant réalise un bénéfice de 35 % sur ses prix d'achat.

donc : prix d'achat × 1,35 = prix de vente a. Quel est le prix de vente d'un article acheté 140 € ?

140 € × 1,35 = 189 €.

b. Quel est le prix d'achat d'un article vendu 202,50 € ?

prix d'achat × 1,35 = 202,5 € , donc prix d'achat = 202,5 € / 1,35 = 150 €.

5 - Le 1^er septembre 2017, le débit d'un fleuve était D0 (en mètres cubes par seconde). Après une semaine de pluie, le débit a augmenté de 30 %.

a. Sachant que le débit, après la semaine de pluie (donc le 8 septembre), était de 143 m³/s, calculer le débit initial D0.

D0 × 1,30 = 143 m³/s , donc D0 = 143 / 1,30 = 110 m³/s.

b. Entre le 8 et le 15 septembre, le débit a baissé de 30 %. Calculer le débit le 15 septembre.

143 × 0,70 = 100,1 m³/s.

6 - Un article se vend au prix TTC de 88,8 €. Cette valeur est obtenue après application d'un taux de TVA de 20% au prix HT. Par la suite, une remise de 10% sera consentie par le vendeur.

a. Quel était le prix HT ?

HT × 1,20 = TTC, donc HT = TTC / 1,20 = 74 €.

b. Quel sera le montant à régler par le client ? montant = TTC × 0,90 = 79,92 €.

2.6 Puissances

1 - Calculer :

25 = × × × × =2 2 2 2 2 32 ; ⁻ = = =

× × ×

4 4

1 1 1

5 5 5 5 5 5 625 ; 13⁰ =1 ;

2 - Écrire sous la forme la plus simple possible :

5 2 5 2 3

7 ×7⁻ =7 ⁻ =7 ;

7

7 3 4

3

8 8 8

8

= − = ;

4

4 3 7

3

10 10 10 10000000

10

− = + = =

( )

(

)

( )

( )

   

=  = 

   

7 7

7 7

15 15 5

6 2

6 ; 2⁷× = × × = ×3⁶ 2 2⁶ 3⁶ 2 6 ; ⁶

( )

( )

6 2 12

4 12

3

2 2

2 1 2

3. Introduction aux mathématiques financières

3.2 Intérêts simples

1 - Une personne place 75000 € du 15 mai N au 15 septembre N sur un compte rapportant 9,5% l’an en intérêts simples. Quelle est la valeur acquise à l’issue du placement ?

Entre ces deux dates, il se passe 4 mois. Valeur acquise : C = 75000 × (1 + 9,5%×4/12) = 77375 €

2 - Quelle somme doit-on placer sur un compte rapportant à intérêts simples 7,5% l’an pour obtenir 50000

€ dans onze mois ?

Sur une période de 11 mois, n = 11/12.

On a : C0 × (1 + 7,5%×11/12) = 50000 €, soit : C0 = 50000 / 1,06875 ≈ 46783,63 €.

3 - Une société est débitrice de trois capitaux, au taux d’intérêts simples annuel de 7% : 15000 € à échéance d’un mois, 40000 € à échéance de 2 mois et 55000 € dans 3 mois.

a. Elle souhaite remplacer ces dettes par un capital unique à échéance de 5 mois. Quel doit être le montant de ce nouveau capital ?

Valeur actuelle de l’ensemble des dettes (aujourd’hui) :

15000 / (1+7%×1/12) + 40000 / (1+7%×2/12) + 55000 / (1+7%×3/12) = 108505,78 €.

Montant équivalent à rembourser dans 5 mois : 108505,78×(1+7%×5/12) = 111670,53 €

b. Elle souhaite remplacer ces dettes par le remboursement d’un capital de 110000 €. Déterminer la date d’échéance de ce dernier.

Il faut que 110000 / (1+7%×n/12) = 108505,78. Donc : 1+7%×n/12 = 110000 / 108505,78 = 1,013771, soit 7%×n/12 = 0,013771, soit n = 2,36 (2 mois et 11 jours)

4 - L’entreprise J-M Lesmaths a négocié avec sa banque un taux d’escompte de 10% pour 2019. Elle a eu recours, cette année-là, à cette forme de paiement par la banque pour obtenir en avance le règlement de plusieurs factures clients : un montant total de 24 000 € pour des paiements à 60 jours et un montant total de 36 000 € pour des paiements à 90 jours.

1) a. Calculer le montant total de l’escompte retenu par la banque en 2019, après calcul de l’escompte des paiements à 60 jours et de celui des paiements à 90 jours.

à 60 jours : escompte = 24000×10%×2/12 = 400 €.

à 90 jours : escompte = 36000×10%×3/12 = 900 €.

globalement : 1300 €

b. Quel pourcentage des montants des factures a été globalement retenu par la banque en 2019 ? taux = 1300/(24000 + 36000) ≈ 0,02167 = 2,167%.

2) Si J-M Lesmaths avait négocié, avec ses clients, des paiements exclusivement à 60 jours, quelle aurait été la réponse à la question 1) b. ?

taux = 10% × 2/12 ≈ 1,667%.

3.3 Intérêts composés

1 - Une personne souhaite obtenir une somme de 37000 € au 1^er octobre 2018. Quelle somme doit-elle placer, au taux annuel de 5%, le 1^er janvier 2014 ?

Entre ces deux dates, il s’écoulera 4 ans et 9 mois. 9 mois / 12 = 0,75 ; donc n = 4,75.

au 1^er octobre 2018, on devra avoir C0 × 1,05^4,75 = 37000 €, soit : C0 = 37000 / 1,05^4,75 ≈ 29346,25 €.

2 - Le 1^er mars N, 10000 € sont placés au taux annuel de 6%. Quel serait le taux équivalent pour que la même somme placée le 1^er juillet N rapporte autant que la première au 31 décembre N ? (on comptera une année de 12 mois de 30 jours chacun)

Du 1^er mars au 31 décembre, la durée en années est n = 10/12.

La valeur acquise sera donc C = 10000 × 1,06^10/12 ≈ 10497,56 €.

Du 1^er juillet au 31 décembre, la durée en années est n = 6/12 = 0,5.

On doit trouver t tel que (1 + t)^0,5 = 1,049756, soit 1 + t = 1,049756² ≈ 1,1020.

Le taux équivalent est 10,2 %.

3 - Calculer le taux annuel équivalent au taux mensuel de 1%.

Coefficient mensuel : 1,01. Coefficient annuel : 1,01¹² = 1,1268 : 12,68 % annuels Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de 8%.

Coefficient annuel : 1,08. Coefficient mensuel : 1,08^1/12 = 1,006434 : 0,6434 % mensuels

4 - Sur un compte rémunéré à 3% d’intérêts annuels, on dépose 2000 € le 01/01/2014, puis 500 € tous les six mois. Le 01/01/2016, on retire 3000 €. De quelle somme dispose-t-on fin 2018 ?

On peut réfléchir séparément aux différents ajouts ou retraits.

* Les 2000 € de départ auront été placés pendant 5 ans. Ils auront donné fin 2018 : 2000×1,03⁵ = 2318,55

* 500 € sont versés tous les 6 mois, à partir du 01/07/2014. Le premier versement rapporte des intérêts pendant neuf périodes de 6 mois, le second pendant huit périodes, et ainsi de suite jusqu’à celui du 01/07/2018 qui rapporte des intérêts pendant une période (et comptons aussi celui du 01/01/2019 : 500 €, qui ne rapporte pas d’intérêts).

Le coefficient multiplicateur sur 6 mois est 1,03^0,5 = 1,014889.

Au total, nous aurons au 01/01/09 : 500×1,014889⁹ + 500×1,014889⁸ + … + 500×1,014889¹ + 500, que l’on peut calculer tel quel ou en utilisant ses connaissances sur les suites géométriques (somme des 10 premiers termes u0 à u9, avec u0 = 500 et q = 1,014889) : 5348,66 €.

* enfin, les 3000 € retirés font perdre non seulement cette somme, mais aussi les intérêts qu’on aurait pu récolter en 3 ans (du 1^er janvier 2016 au 1^er janvier 2019), soit 3278,18 €.

Globalement : 2318,55 + 5348,66 - 3278,18 = 4389,03 : somme possédée le 01/01/2019.

On peut aussi calculer ce que l’on possède tout au long du placement, tous les six mois :

solde : ajouts/retraits : solde : ajouts/retraits

début 2014 2000

mi 2014 2529,77831 500 début 2017 2209,36445 500

début 2015 3067,44458 500 mi 2017 2742,26002 500

mi 2015 3613,11624 500 début 2018 3283,08996 500

début 2016 1166,91249 -2500 mi 2018 3831,9724 500

mi 2016 1684,28684 500 début 2019 4389,02724 500

À partir de mi-2014, le solde de la fin du semestre S est le produit du solde précédent par le coefficient semestriel (1,014889), plus la somme déposée en fin de semestre S.

3.4 Remboursement d’emprunts

1 - Une société emprunte 200000 € le 1^er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%.

Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en amortissements annuels constants, sur 4 ans.

On peut dresser un tableau d’amortissement « de principe », découpant la période de 4 ans en quatre périodes de remboursement équivalentes :

Années

Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N+1 N+2 N+3

200000 150000 100000 50000

50000 50000 50000 50000

16000 12000 8000 4000

66000 62000 58000 54000

150000 100000 50000

0

200000 40000 240000

Remarque importante, non exigible en devoir de mathématiques :

Cependant, le tableau d’amortissement tel qu’il sera réellement fourni par une banque ne sera pas aussi simple : il prendra en compte le fait que l’année N n’est pas à compter comme une année complète (de mai à décembre : 2/3 d’année), ce qui implique que l’emprunteur n’a pas à rembourser la totalité d’un amortissement, la première année, mais seulement les deux tiers. La durée de remboursement étant prévue sur quatre ans, l’intervalle correspondant va du 1er mai N au 1er mai N+4, ce qui rajoutera un cinquième paiement en année N+4 pour le tiers d’un amortissement (celui qui n’avait pas été compté en année N) – idem pour les intérêts :

Années

Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N+1 N+2 N+3 N+4

200000 166666,67 116666,67 66666,67 16666,67

33333,33 50000 50000 50000 16666,67

10666,67 13333,33 9333,33 5333,33 444,44

44000 63333,33 59333,33 55333,33 17111,11

166666,67 116666,67 66666,67 16666,67

0 200000 39111,11 239111,11

Le remboursement se fait sur 4 ans, mais débute un 1^er mai. Il touche donc cinq années civiles, cinq exercices comptables.

En amortissements constants sur 4 ans, l’amortissement d’une année est le quart du capital emprunté : 50000 €, ce qui se retrouve dans le tableau pour les lignes correspondant aux années complètes de remboursement. Les années N et N+4 doivent cumuler 50000 € d’amortissement, au prorata de la durée de remboursement qu’elles représentent : le remboursement couvre les deux tiers de l’année N et le tiers de l’année N+4, soit un capital de 33333,33 € amorti en N et de 16666,67 € amorti en N+4.

Les intérêts, quant à eux, représentent 8% du capital restant dû en début de période, là aussi comptés au prorata de la durée incluse (pour N et N+4).

2 - Une société emprunte 150000 € le 1^er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%.

a. Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en annuités constantes, sur 5 ans.

On peut dresser un tableau d’amortissement « de principe », découpant la période de 5 ans en cinq périodes de remboursement équivalentes :

Années Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de période)

N 150000 25568,47 12000 37568,47 124431,53

N+1 124431,53 27613,95 9954,52 37568,47 96817,58

N+2 96817,58 29823,06 7745,41 37568,47 66994,52

N+3 66994,52 32208,91 5359,56 37568,47 34785,61

N+4 34785,61 34785,62 2782,85 37568,47 0

150000,01 37842,34 187842,35 Remarque importante, non exigible en devoir de mathématiques :

Cependant, le tableau d’amortissement tel qu’il sera réellement fourni par une banque ne sera pas aussi simple : il prendra en compte le fait que N n’est pas à compter comme une année complète (de mai à décembre : 2/3 d’année), ce qui implique que l’emprunteur n’a pas à rembourser en N la totalité d’un amortissement, mais seulement les deux tiers. La durée de remboursement étant prévue sur cinq ans, l’intervalle correspondant va du 1er mai N au 1er mai N+5, ce qui rajoutera un sixième paiement en N+5 pour le tiers d’un amortissement (non compté en N).

Deuxième difficulté : les années N et N+5 étant incomplètes, il est difficile d’interpréter la formule de calcul d’une annuité constante, qui n’est définie que pour une année entière. Nous pouvons envisager de passer par le calcul de mensualités constantes, ce qui se fait dans la pratique, mais qui donnerait ici un tableau trop long à réaliser ; nous pouvons aussi envisager de calculer l’annuité par la formule du cours (37568,47 €) et de n’en compter que deux tiers pour N (25045,65 €). Ce second choix

s’accompagne d’un calcul des intérêts à rembourser qui tient compte de cette durée de deux tiers d’une année, intérêts que 150000 € auraient rapportés dans cette période :

Années Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période)

N 150000,00 17148,69 7896,96 25045,65 132851,31

N+1 132851,31 26940,37 10628,10 37568,47 105910,95

N+2 105910,95 29095,59 8472,88 37568,47 76815,35

N+3 76815,35 31423,24 6145,23 37568,47 45392,11

N+4 45392,11 33937,10 3631,37 37568,47 11455,01

N+5 11455,01 11455,01 1067,81 12522,82 0,00

150000,00 37842,35 187842,35

b. Si le remboursement s’effectuait en mensualités constantes sur 5 ans (60 mois), à combien se monterait une mensualité ? Quel serait le capital restant dû au bout d’un an ?

Coefficient mensuel : 1,08^1/12 = 1,006434 Mensualité :

( )

0 60

0,006434

150000 3021,46

1 1,006434

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + −

Dans le document de cours, en fin de page 12, on donne une formule permettant de calculer la somme des amortissements réalisés pendant k périodes depuis le début du remboursement :

( )

1

1 ^k 1

k

A A t t + −

=

Il nous faut calculer le capital A1 amorti le premier mois : différence entre la première mensualité et le premier intérêt. A1 = 3021,46 – 0,006434×150000 = 2056,36.

Ici, le capital amorti la première année vaut

12 12

1,006434 1

2056,36 25568,54

0,006434

A = × − ≈ .

Le capital restant dû est donc 150000 – 25568,54 = 124431,46 €.

3 - Un groupement d’agriculteurs décide de la construction d’un silo. Pour cela, 60000 € sont nécessaires.

Ce groupement va en financer 20% mais doit emprunter le reste, au taux de 7% sur 8 ans, remboursable par annuités constantes.

Calculer l’annuité de remboursement et le coût de l’emprunt (montant total des intérêts).

Le groupement emprunte 80% de 60000 €, soit 48000 €.

n = 8 ans et t = 7% (annuel). L’annuité est :

( )

, €

0 8

48000 0 07 8038,45 1 1,07

1 1 ⁿ

a C t

t ^{− −}

= = ≈

− + − Coût total du prêt : a×n – C0 = 16307,60 €.

4 - A l’occasion de l’achat d’un véhicule, un de vos clients envisage de vous emprunter une somme de 8000

€, à rembourser par mensualités constantes. Vous pouvez lui proposer de vous rembourser en 3 ans au taux annuel net (TEG + assurance) de 6,55 %.

a. Calculer le montant de la mensualité correspondante, en déduire le coût total du prêt.

Le cours nous donne la formule de calcul d’une annuité, dans le cas des annuités constantes :

( )

01 1 ⁿ

a C t

t ⁻

= − + , où n est le nombre d’années et t le taux d’intérêts annuel.

Nous devons l’utiliser, mais s’agissant d’une mensualité, nous devrons obtenir le taux mensuel t et exprimer n en mois.

Taux annuel : 6,55 %. Coefficient annuel : 1,0655.

Coefficient mensuel : 1,0655^1/12 = 1,005301015. Taux mensuel : 0,005301015.

Mensualité :

( )

0 36

0,005301015

8000 244,69

1 1,005301015

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + −

Le coût total du prêt est la différence entre ce que l’on emprunte et ce que l’on rembourse : Coût = 36 × 244,69 – 8000 = 808,84 €.

b. Dresser et compléter les deux premières lignes du tableau d’amortissement du prêt.

mois Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêt Mensualité Capital restant dû (fin de période)

M 8000 202,28 42,41 244,69 7797,72

M+1 7797,72 203,35 41,34 244,69 7594,37

Dans l’ordre :

Ligne « mois M » : On place le capital emprunté : 8000 ; on place les mensualités : 244,69.

On calcule le premier intérêt : taux mensuel × 8000 = 42,41 On calcule le capital amorti : mensualité – intérêts = 202,28

On en déduit le capital restant dû : 8000 – 202,28 = 7797,72 qui est ainsi le capital restant dû en début de mois M+1.

Ligne « mois M+1 » : On calcule l’intérêt : taux mensuel × 7797,72 = 41,34 On calcule le capital amorti : mensualité – intérêts = 203,35 On en déduit le capital restant dû : 7797,72 – 203,35 = 7594,37

c. Quel est le taux équivalent pour une durée de remboursement de 4 ans ? Quelle serait la nouvelle mensualité ?

Il s’agit, en 4 ans, d’atteindre la même valeur acquise que celle qu’on aurait pu calculer précédemment : 8000 € × 1,0655³ = 9677,21 €.

En 4 ans : 8000×(1+v)⁴ = 9677,21 ⇔ (1+v)⁴ = 1,20965, soit v = 1,20965^1/4 – 1 = 0,048733 = 4,8733 %.

Coefficient mensuel : 1,048733^1/12 = 1,0039731. Taux mensuel : 0,0039731.

Nouvelle mensualité :

( )

= = ≈

− + −

0 48

0,0039731

8000 183,39

1 1,0039731

1 1 ⁿ

m C t

t

d. Votre client trouve les mensualités (question a.) trop élevées et souhaite les voir abaissées en- dessous de 200 €. Vous lui proposez un remboursement sur 4 ans, mais en élevant de deux points le taux d’intérêts annuel. Est-ce que cela répond à ses attentes ?

On propose donc un remboursement sur 48 mois au taux annuel de 8,55 %.

Le taux mensuel t correspondant doit être calculé : Taux annuel : 8,55 %. Coefficient annuel : 1,0855.

Coefficient mensuel : 1,0855^1/12 = 1,00686. Taux mensuel : 0,00686.

Nouvelle mensualité :

( )

0 48

0,00686

8000 196,18

1 1,00686

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + − Cela répond aux attentes du client.