Rattrapage du 13 juin

Master M1 Recherche - Module ”Probabilit´es”

Rattrapage du 13 juin

Documents et calculatrices autoris´es. La propret´e et la pr´esentation de la copie en- treront pour une part non n´egligeable dans la notation. Barˆeme : 6-8-6.

Exercice 1. (a) Soit X_p une variable g´eom´etrique de param`etre p ∈ (0,1) (i.e.

P[X_p =k] =p(1−p)^k−1 pour toutk ≥1) etY une variable exponentielle de param`etre 1. Montrez que P[pX_p ≥ x]→P[Y ≥ x] quand p→0 pour tout x∈R⁺. En d´eduire quepX_p →Y en loi quand p→0.

(b) Soient X₁, X₂, . . . , X_n, . . . des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi d´efinie par

P[X₁ =k] = 1 e(k+ 1)!

pourk =−1,0,1,2, . . . Montrez queY₁ = 1 +X₁ suit une loi de Poisson de param`etre 1. On pose Sn = X1 +. . .+Xn. En ´ecrivant Sn en fonction de Yi = 1 +Xi et en utilisant le th´eor`eme limite central, montrez que P[S_n <0] et P[S_n >0] tendent vers 1/2 quand n→+∞.

(c) Soit{X_n, n ≥1} une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et uniform´ement distribu´ees de loi uniforme sur [0,1]. Calculez E[X₁²]. On pose

an = E

X₁²+· · ·+X_n² X₁+· · ·+X_n

et S_n =X₁+. . .+X_n pour tout n ≥ 1. Montrez que a_n =E[nX₁²/S_n]. En utilisant la loi des grands nombres et le lemme de Fatou, en d´eduire que a_n → 2/3 quand n→+∞.

Exercice 2. (a) Montrez que la fonction

f(x) = 1

π(1 +x²)

est une densit´e de probabilit´e sur R. On appelle variable de Cauchy la v.a. X corre- spondante. Montrez queE[|X|^s]<+∞ ⇔ |s|<1.

(b) Pour toutx∈R, calculez explicitement l’int´egrale Z

R

e^−itx−|t|dt.

Par inversion de Fourier, en d´eduire que si X ∼ Cauchy, E[e^itX] = ˆf(t) = e^−|t|

pour toutt∈R.

(c) Soit{X_n, n≥1}une suite i.i.d. de variables de Cauchy. A l’aide du (b), montrez que pour tout n on a l’identit´e

X1+. . .+Xn

n

=d X

et d´eduisez-en que la suite des moyennes de C´esaro de{X_n, n≥ 1} ne tend pas p.s.

vers une limite d´eterministe. Retrouvez ce r´esultat `a l’aide du (a).

(d) Soit Y une v.a. r´eelle quelconque. Montrez que si Y ∈ L₁, alors la fonction t 7→ E[e^itY] est d´erivable et sa d´eriv´ee en z´ero vaut iE[Y]. A l’aide du (b), retrouvez que la variable de Cauchy n’est pas dansL₁.

(e) Soit Y une v.a. r´eelle quelconque. On dit que Y est infiniment divisible si pour tout entier n il existe {Y₁, . . . , Y_n} i.i.d. tels que

Y =^d Y₁ +. . .+Y_n.

Donnez une interpr´etation de cette propri´et´e en termes de fonctions caract´eristiques.

A l’aide du (b) ou du (c), montrez que la loi de Cauchy est infiniment divisible.

Montrez que la loi N(0,1) est aussi infiniment divisible (on pourra remarquer que pour une suite i.i.d. suivant cette loi, le TLC est une identit´e en loi pour tout n).

Exercice 3. On consid`ere un jeu o`u `a chaque coup le joueur perd ou gagne sa mise avec des chances ´egales. On noteX<sub>0</sub> =α∈(0,1) la fortune initiale du joueur. La mise s’effectue de la mani`ere suivante : siX_nest l’´etat de sa fortune `a l’instantn, il miseX<sub>n</sub> siX<sub>n</sub> ≤1/2 et 1−X<sub>n</sub>si X<sub>n</sub> ≥1/2.On cherche `a calculer la probabilit´e que le joueur parvienne `a calculer une somme ´egale `a 1. On note donc A= {∃n≥1, X_n = 1} et on rappelle la notation1_A(ω) = 1 si ω ∈A et 1_A(ω) = 0 siω 6∈A.

(a) Siα = 1/2,montrez que X₁ = 0 ou 1 p.s. puis que P[A] = 1/2.

(b) On pose A_n={X_n 6= 0 ou 1}.Montrez par r´ecurrence surn que P[A_n]≤2⁻ⁿ. (c) Montrez queA_n={X_n6=1_A} et d´eduisez-en par le lemme de Borel-Cantelli que X_n →1_A p.s. quandn →+∞. Montrez aussi que E[X_n]→P[A] quand n →+∞.

(d) Montrez que

E[X_n+1 |X_n =x] = x

pour toutx∈[0,1].En d´eduire queE[X_n] est une fonction constante enn, et calculer enfin la valeur de P[A]. Commentez.