Devoir de math´ ematiques n
o11 - 1` ereS
12 mars 2009 - 2H
Exercice 1 : Soit ABC un triangle tel que AB = 15, AC = 13 et BC = 12 ; on appelle H le pied de la hauteur issue deA etI le milieu de [BC].
1. Calculer AI.
2. Calculer cos(\ABC) ; en d´eduire sin(\ABC).
3. Calculer l’aire du triangle ABC; en d´eduire la longueur AH.
Exercice 2 : A etB sont deux points tels que AB= 5 cm.
1. D´eterminer E l’ensemble des pointsM tels que M A2−M B2= 20, et le repr´esenter.
2. D´eterminer F l’ensemble des points M tels que (−−→M A+−−→M B).−−→M A = 0, et le repr´esenter sur la mˆeme figure.
Exercice 3 :Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O;−→i ,−→j) . Soient A(3; 6) et B(0; 6) ; on noteE l’ensemble des points tels que :
2M A2+OM2−M B2= 68 On compl`etera la figure au fur et `a mesure.
1. Montrer queE est le cercle d’´equation x2+y2−6x−6y−7 = 0 ; pr´eciser son centre et son rayon.
2. On consid`ere le cercle C d’´equation x2+y2+ 4x−y−2 = 0 ; d´eterminer son centre et son rayon.
3. D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection deE etC ; on notera I celui dont l’ordonn´ee est la plus grande, et J l’autre point.
4. (a) D´eterminer une ´equation de la tangente `aE en J; on note TJ cette droite.
(b) D´eterminer une ´equation de la tangente `aC en J; on note TJ′ cette droite.
(c) Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires (On dit que les cercles sont orthogonaux).
Exercice 4 :
EF GH est un rectangle avec EH = 2 et EF = 3. M est le milieu de [F G], et K est d´efini par −−→HK = 1
3
−−→
HG; L est le projet´e orthogonal de K sur (EM).
1. Montrer que −−→ EK.−−→
EM = 5 (d´ecomposer chaque vecteur par la relation de Chasles).
2. En ´ecrivant le produit scalaire −−→ EK.−−→
EM de deux mani`eres diff´erentes, d´eterminer :
(a) la longueurEL
(b) une mesure de l’angleKEM\ en radians
G H
M
E F
K
L 3 2
