A 722 – Les trésors d’Ispahan

A 722 – Les trésors d’Ispahan

De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.

Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères, k pesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées

supplémentaires si Zig lui présentait respectivement n + 1 sacs et 2n sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).

Trouver n et k

Source : olympiades iraniennes de mathématiques.

Proposition

Nota : « sac sLG » = le sac de 100 pièces de 9 g.

A/ chercher le nombre maximum (n_max) de sacs que l’on peut traiter en k pesées.

Indice n° 1: Pour déceler le sac sLG dans un lot de n sacs, il faut k pesées au minimum. S’il y a n+1 sacs, alors k+1 pesées sont nécessaires, ce qui signifie que l’on doit chercher le nombre maximum (nmax) de sacs que l’on peut traiter en k pesées.

I/ Elaboration d’une méthode de repérage (par pesée)

E(n) = {(n-1) sacs de 100 pièces de 10 g + 1 sac sLG} ou {n sacs de 100 pièces de 10 g}

On peut toujours configurer un ensemble de n sacs en m groupes g_j indexés par j (j=1 à m ≤ n).

Chaque g_j contient q_j sacs. Les nombres q_j (q_j ≤ n) peuvent être identiques ou différents entre eux.

On a la configuration E(n)= {g_j(q_j) ; n = q₁+q₂+…+q_j ; j= 1 à m}

Désignons par x (x = 1 à j) la valeur inconnue de l’index du groupe g_x (q_x sacs) susceptible de contenir le sac s_LG. On montrera que x = 0 signifie qu’il n’y a aucun sac s_LG dans E(n).

E(n) est dit traité (prélèvements de pièces dans tous les sacs) en constituant une charge de N pièces établie avec la totalité des prélèvements de p_j pièces/sac dans q_j sacs de chaque groupe g_j(q_j) pour j = 1 à m. Les nombres p_j peuvent être identiques ou différents entre eux.

La charge N (nombre de pièces) ainsi construite est donnée par la relation : N = N(pj,qj) = (p1q1+p2q2+…+pjqj) ; j = 1 à m ≤ n ; (pj ≤ 100)

Pour une charge N configurée, son poids M (en g) donné par la relation M = (10N-p_x) est fonction de la variable p_x, nombre de pièces prélevées dans les sacs du groupe g_x dont le sac s_LG. On met en évidence un lien entre le poids M de la charge N et le sac sLG.

De la connaissance de M avec la pesée, on déduit la valeur du nombre px par la formule : px = 10N-M ≤ 100.

On vérifie bien que pour p_x=0 il n’y a pas de sac s_LG dans N donc dans E(n).

A ce stade, pour une valeur px≠ 0, on peut simplement affirmer l’existence du sac sLG mais il est impossible d’identifier avec certitude le groupe gx auquel il appartient si la valeur de px n’est pas unique.

Pour utiliser p_x comme indicateur caractéristique du groupe g_x, il faut ajouter une condition d’unicité de chaque p_j : p₁≠…≠p_x…≠p_j (p_j ≤ 100)  1 ≤ j ≤ n ≤ 100 ; (ex : p₁ = 41 ; p₆ = 8 ; p₂₀= 2 …)

Pour plus de commodité, on peut ordonner pj par valeurs croissantes en les indexant avec j croissant : p₁ < p₂…< p_j ≤ 100 ; (ex : p₁ = 5 ; p₆ = 8 ; p₁₃ = 19…)

Cela crée une relation f biunivoque [p_j = f(j) ou j = f^-1(p_j)] entre j et p_j qui permet d’associer la valeur p_j à l’index j et inversement.

Connaissant la valeur spécifique de p_x associée à l’index x de g_x, on peut identifier sans ambigüité le groupe gx susceptible de contenir le sac sLG.

Contrainte physique de la balance : la charge est plafonnée à 1 000 g

Il s’ajoute la contrainte physique M = (10N-p_x) ≤ 1 000  N ≤ 100+ p_x/10. Le résultat p_x déterminé par la pesée M pouvant être nul, on a simplement N ≤ 100.

Résultats intermédiaires (par pesée):

n sacs traités à chaque pesée = E(n) = {j groupes gj(qj) ; 1 ≤ j ≤ n ≤ 100

} n = q

1

+q

2

+…+q

j≤ 100

N

= N(pj,qj) = (p1q1+p2q2+…+pjqj)

≤ 100 ;

p1 < p2…< pj ≤ 100 ;

La pesée de N donne la valeur M 

px connu par : px = 10N-M ≤ 100

p_x = 0  le sac s_LG est en-dehors des n sacs traités ≤ 100  le sac s_LG est dans un autre lot à traiter px ≠ 0  x connu  le groupe gx identifié et les (j-1) autres groupes sont normaux

 le sac sLG (encore non identifié) est parmi qx sacs et (n- qx) sacs sont normaux

Etude des coefficients pj pour optimiser la configuration de la charge N

Il faut déterminer les pj de N(pj,qj) de façon à pouvoir maximiser n avec une charge maximale.

n=

q

1

+q

2

+…+q

j

; N=

(p1q1+p2q2+…+pjqj) ≤

100 ; 1

≤ p1 < p2…< pj ≤ 100 Soit pour j fixé :

j = 1 ;

n

=

q

₁

;

N=p1q1 ≤

100

;

1

≤ p1 ; on veut nmax donc (q1) max avec Nmax  (p1)mini  p1=1  Nopt = q1

j = 2 ;

n

=

q

₁

+q

₂

;

N=p1q1+p2q2 ≤

100 ; 1

≤ p1 < p2 ; on veut nmax donc (q1+q2) max avec Nmax=A

 n_max= A/p₂ + [1-(p₁/p₂)]q₁  p₂=(p₂)_mini ≥ p₁+1 ≥ 2  p₁=1 ; p₂=2  N_opt = q₁+2q₂

j = 3 ;

n

=

q

1

+q

2

+q

3

;

N=p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃ ≤

100 ;

p₁ < p₂ < p₃  on veut n_max donc (

q

1

+q

2

+q

3

)

max

avec N

max

=A  n

max

=

A/p₃ + [1-(p₁/p₃)]q₁+[1-(p₂/p₃)]q₂  p₃=(p₃)_mini ≥ p₂+1 ≥ p₁+2 ≥ 3  p₁=1 ; p₂=2 ; p3=3  Nopt = q1+2q2+3q3

La généralisation

se traduit par la relation : pj = j  Nopt =

(q

1

+2q

2

+…+jq

j

) configuration optimisée

Résultats optimisés (par pesée) : n, nombre de sacs traités

E(n) = {j groupes g_j(q_j)} ;

n = (q

₁

+q

₂

+…+q

_j

)

≤ 100

N =

N

_opt

(j, q

_j

) = (q

₁

+2q

₂

+…+jq

_j

) ≤ 100 avec

1 ≤ j ≤ j_max x = 10N-M ≤ 100 avec 1 ≤ x ≤ j

II/ Détermination empirique du nombre maximum de sacs que l’on peut traiter en plusieurs pesées successives pour déceler le sac s_LG parmi n_max sacs : étude de n_max pour 0,1,2…,k pesées

a/ k = 0 ; n = 1  1 seul sac sLG  nmax= 1 b/ k = 1 ; 2 ≤ n ≤ n_max

Parmi gj(qj), l’unique pesée permet d’identifier le groupe gx(qx) contenant le sac sLG. Puis identifier le sac sLG

parmi qx sacs sans pesée n’est possible que si qx = 1 (1 ≤ x ≤ j)

 q_j =1 et g_j(1) 

q

1

+q

2

+…+q

j

=(1+1+…+1)= j x 1=j  j groupes de 1 sac ≡ j sacs

Nopt = (1+2+…+j) = j(j+1)/2 ≤ 100  j ≤ jmax=13  charge Nmax = 13 sacs

1 ≤ j ≤ 13 ; x = [10N(j)-M]  sac s_a = g_x(1) est identifié par x Recherche du maximum de n sacs traités en 1 pesée :

n > 13 : on répartit n sacs en 2 groupes : G₁(13) et G₂(n-13) Si la pesée de G₁ identifie le sac s_LG dans G₁: terminé

Si la pesée de G₁ indique que le sac s_LG n’est pas dans G₁  le sac s_LG est dans G₂(n-13) Or sans pesée on a nmax=1  G2(n-13) = g(1)  n-13=1  nmax = 14

Résultat : k = 1 ; 2 ≤ n ≤ 14 (n_max= 14)

c/ k = 2 ; 15 ≤ n ≤ n_max

Parmi g_j(q_j), la 1° pesée permet d’identifier le groupe g_x(q_x) contenant le sac s_LG. Puis identifier le sac s_LG parmi q_x sacs avec la 2° pesée n’est possible que si q_x ≤ 14 (1 ≤ x ≤ j)

On est conduit à répartir n sacs en j groupes {(j-1) groupes de 14 sacs + 1 groupe de r sacs restants} avec q₁= q₂ =…= q_j-1 =14 et q_j=r (0 ≤ r ≤ 13)

N_opt = 14[1+2+…+(j-1)]+jr = 14j(j-1)/2 + jr = j[7(j-1)+r] ≤ 100  j_max=4 et r=4  15 ≤ n ≤ 46 charge N_max= 46 sacs dans le groupe G(46) = {g₁(14), g₂(14), g₃(14), g₄(4)}

15 ≤ n ≤ 46 ; x = [10N(j)-M] avec 1 ≤ x ≤ 4  groupe g_x(q_x≤ 14) contenant le sac s_LG est identifié par x ; une 2° pesée des qx sacs permet de déceler le sac sLG

Recherche du maximum de n sacs traités en 2 pesées : 15 ≤ n ≤ 46  2 pesées : terminé

n > 46 : on répartit n sacs en 2 groupes : G1(46) et G2(n-46) Si les 2 pesées dans G₁(46)identifient le sac s_LG : terminé

Si la 1° pesée (x=0) dans G₁(46) indique que le sac s_LG n’est pas dans G₁  le sac s_LG est dans G₂(n-46)

Or en 1 pesée on a n_max=14  G₂(n-46) = G(14)  n-46=14  n_max = 60 Résultat : k = 2 ; 15 ≤ n ≤ 60 (n_max= 60)

d/ k = 3 ; 61 ≤ n ≤ nmax

Parmi g_j(q_j), la 1° pesée permet d’identifier le groupe g_x(q_x) contenant le sac s_LG. Puis identifier le sac s_LG parmi q_x sacs en 2 pesées restantes n’est possible que si q_x ≤ 60 (1 ≤ x ≤ j)

On est conduit à répartir n sacs en j groupes {(j-1) groupes de 60 sacs + 1 groupe de r sacs restants}.

Nopt = 60[1+2+…+(j-1)]+jr = j[30(j-1)+r] ≤ 100  jmax=2 et r=20  61 ≤ n ≤ 80 charge N_max= 80 sacs dans le groupe G(80) = {g₁(60), g₂(20)}

61 ≤ n ≤ 80 ; x = [10N(j)-M] avec 1 ≤ x ≤ 2  groupe g_x(q_x≤ 60) contenant le sac s_LG est identifié par x ; puis 2 pesées des qx sacs permettent de déceler le sac sLG.

Recherche du maximum de n sacs traités en 3 pesées : 61≤ n ≤ 80  3 pesées : terminé

n > 80 : on répartit n sacs en 2 groupes : G1(80) et G2(n-80) Si les 3 pesées dans G1(80)identifient le sac sLG : terminé

Si la 1° pesée (x=0) dans G1(80) indique que le sac sLG n’est pas dans G1  le sac sLG est dans G2(n-80) Or en 2 pesées on a n_max=60  G₂(n-80) = G(60)  n-80=60  n_max= 140

Résultat : k = 3; 61 ≤ n ≤ 140 (nmax= 140) e/ k = 4 ; 141 ≤ n ≤ n_max

Parmi g_j(q_j), la 1° pesée permet d’identifier le groupe g_x(q_x) contenant le sac s_LG. Puis identifier le sac s_LG parmi qx sacs en 3 pesées restantes n’est possible que si qx ≤ 140 (1 ≤ x ≤ j).

Le plus grand groupe gx(qx) identifiable en 1 pesée est le groupe G(100) où qx= q1= 100 sacs avec N = 100 en prélevant 1 pièce par sac  Nmax= 100 dans le seul groupe g1= G(100)

Recherche du maximum de n sacs traités en 4 pesées :

On est conduit à répartir n sacs en 2 groupes {G1(100) + G2(n-100)} avec n ≥ 141

Si la 1° pesée (x=1000-M=1) dans G₁(100) indique que le sac s_LG est dans G₁, alors les 3 pesées suivantes dans G₁(100)identifient le sac s_LG : terminé

Si la 1° pesée (x=0) dans G₁(100) indique que le sac s_LG n’est pas dans G₁  le sac s_LG est dans G₂(n-100).

Identifier le sac sLG parmi (n-100) sacs en 3 pesées restantes est possible si n-100 ≤ 140  n ≤ 240 Ainsi on définit G2(n-100) = G(140)  nmax = 240

Résultat : k = 4; 141 ≤ n ≤ 240 (n_max= 240)

On établit le tableau n_max = f(k) cherché et pour k ≥ 3 : n_max = 100k-160

n_max = nombre maximum de sacs K = nombre de pesées

1 0

14 1

60 2

140 3

240 4

340 5

440 6

540 7

B/ chercher dans le tableau le nmax qui vérifie l’indice n°2

Indice n° 2 : k pesées pour n sacs et si 2n sacs, on a k’ = k+2 pesées K = 3 pour n_max= 140 ; si n = 2n_max= 280  k’ = 5 = k+2 vérifié Réponse : nmax = 140 sacs et k = 3 pesées