D20287. Ombres circulaires
On donne dans un planP de l’espaceR3 deux coniques. A quelle condition peut-on trouver dans cet espace un plan Q et un point lumineux S tels que l’ombre des coniques sur le planQ soit constitu´ee de cercles ou arcs de cercle ?
Solution
La condition n´ecessaire et suffisante de possibilit´e est : l’intersection des deux coniques donn´ees ne doit pas ˆetre compl`etement r´eelle. En effet, les points communs aux courbes ombres sont les ombres des points communs aux coniques donn´ees.
Condition n´ecessaire : les projetantes joignantS aux points cycliquesI etJ du planQpercentP en deux points imaginaires conjugu´es qui appartiennent aux deux coniques deP.
Condition suffisante : SoitAun point imaginaire de l’intersection,Ble point imaginaire conjugu´e. La droite AB qui les joint est r´eelle, et est l’axe d’un cercle (r´eel) intersection des cˆones isotropes de sommetsA etB. Il suffit de prendreS sur ce cercle et Q parall`ele au plan (r´eel) SAB. Les ombres sur Qdes coniques donn´ees sont des coniques passant par les ombres des points Aet B, ombres qui sont les points cycliques du plan Q.
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