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D1809. Réciprocité On donne 2 triangles ABC et A'B'C' et un point M dans le plan. On définit : 1) l'application M → N où N est le point de concours des axes radicaux des cercles Γ

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Academic year: 2022

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(1)

D1809. Réciprocité

On donne 2 triangles ABC et A'B'C' et un point M dans le plan.

On définit :

1) l'application M → N où N est le point de concours des axes radicaux des cercles Γa' de centre A' et de rayon MA, Γb' de centre B' et de rayon MB et Γc' de centre C' et de rayon MC

2) l'application symétrique N→ P où P est le point de concours des axes radicaux des cercles Γa de centre A et de rayon NA', Γb de centre B et de rayon NB' et Γc de centre C et de rayon NC'.

Montrer que P est confondu avec M.

La puissance par rapport à un cercle de rayon R d'un point situé à la distance d de son centre est P = d² – R²

Le point N a même puissance par rapport aux 3 cercles Γa' de centre A' et de rayon MA, Γb' de centre B' et de rayon MB et Γc' de centre C' et de rayon MC :

Donc NA'² – MA² = NB'² – MB² = NC'² – MC² .

Cela équivaut à MA² – NA'² = MB² – NB'² = MC² – NC'².

Donc M est le centre radical des 3 cercles de centre A rayon NA', centre B rayon NB', centre C rayon NC'.

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