Mise au point sur les puissances et les radicaux

Bonjour à tous !

J’espère que vous allez tous bien...

Pour poursuivre notre mise au point en algèbre commencée la semaine passée, je vous propose cette semaine des exercices sur les puissances et les radicaux. Il s’agit encore de points de matière dont vous aurez tous besoin pendant les années à venir.

Je vous propose de me renvoyer (par mail gaelle.hoffait@flone.be) vos réponses pour ce dimanche 24/5.

Bon travail et bonne semaine à tous !

Mise au point sur les puissances et les radicaux

Rappels :

• Définition d’une puissance à exposant naturel :

Si 𝑎 est un nombre réel et 𝑛 est un naturel (c’est-à-dire un nombre entier positif) différent de 0 et de 1, alors 𝑎^𝑛 est la 𝒏ième puissance de 𝒂, c’est-à-dire :

𝑎^𝑛= 𝑎. 𝑎. 𝑎. … . 𝑎 𝑛 facteurs En particulier, 𝑎¹= 𝑎 et 𝑎⁰= 1 (si 𝑎 ≠ 0).

Dans la notation 𝑎^𝑛, 𝑎 est appelé la base et 𝑛, l’exposant.

• Définition d’une puissance à exposant entier négatif :

Si 𝑎 est un réel non nul et 𝑛 est un nombre naturel, alors 𝑎^−𝑛 est l’inverse de 𝑎^𝑛 : 𝑎^−𝑛= ¹

𝑎^𝑛 Exemples : 𝑎⁻²= ¹

𝑎² 𝑏⁻⁵= ¹ 𝑏⁵

• Propriétés des puissances à exposants entiers :

1) Pour multiplier 2 puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants :

𝑎^𝑥. 𝑎^𝑦= 𝑎^𝑥+𝑦

2) Pour diviser 2 puissances de même base, on doit soustraire les exposants (tout en gardant la base) → on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur :

𝑎^𝑥

𝑎^𝑦 = 𝑎^𝑥−𝑦

3) Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants :

(𝑎^𝑥)^𝑦= 𝑎^𝑥.𝑦

4) Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur de ce produit à cette puissance :

(𝑎. 𝑏)^𝑥= 𝑎^𝑥. 𝑏^𝑥

5) Pour élever une fraction à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur de cette fraction à cette puissance :

(

𝑏

)

𝑥 𝑏^𝑥

Remarque : Ces propriétés ne fonctionnent pas avec des sommes et des différences. Donc, par exemples :

(𝑎 + 𝑏)^𝑥 ≠ 𝑎^𝑥+ 𝑏^𝑥 (𝑎 − 𝑏)^𝑥 ≠ 𝑎^𝑥− 𝑏^𝑥

• Définition d’une racine carrée :

La racine carrée positive d’un nombre positif 𝑎, notée √𝑎, est le nombre positif 𝑥 dont le carré est 𝑎.

𝑥 = √𝑎 si 𝑥²= 𝑎 (avec 𝑥, 𝑎 ≥ 0)

Dans la notation √𝑎, 𝑎 est appelé le radicand et le symbole √ , le radical.

Un nombre positif 𝑎 a 2 racines carrées opposées : - une racine carrée positive √𝑎

- une racine carrée négative −√𝑎 Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle.

Exemples : 5 est la racine carrée positive de 25 : √25 = 5.

−5 est la racine carrée négative de 25 : −√25 = −5.

−25 n’a pas de racine carrée réelle : √−25 n’existe pas.

• Propriétés des racines carrées :

1) La racine carrée du produit de 2 nombres positifs est égale au produit de leurs racines carrées :

√𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏 (avec 𝑎, 𝑏 ≥ 0)

2) La racine carrée du quotient de 2 nombres positifs est égale au quotient de leurs racines carrées :

√

√𝑏 (avec 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 > 0)

Remarque : Ces propriétés ne fonctionnent pas avec des sommes et des différences. Donc, par exemples :

√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏

√𝑎 − 𝑏 ≠ √𝑎 − √𝑏

3) La somme des 2 racines carrées semblables (c’est-à-dire de même radicand) est une racine carrées semblable dont le coefficient est la somme des coefficients.

Exemples : √2 + 5√2 = 6√2 MAIS √2 + √3 ≠ √5

𝟐√𝟑 − 6√7 + 5√7 − 𝟒√𝟑 = −√7 − 𝟐√𝟑

Ça ne s’écrit pas autrement !

4) On doit toujours rendre le dénominateur d’une fraction rationnel. En d’autres mots, « on ne peut pas » laisser de racine carrée au dénominateur d’une fraction. Dans le cas d’un dénominateur contenant une racine carrée, on doit alors multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par cette racine carrée :

Exemples : ¹

√6 = ¹

√6

.

√𝟔 = ^√6 6 7

√11 = ⁷

√11

.

√𝟏𝟏 = ^7√11 11

Exercices :

1] Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Si oui, justifie par une propriété. Si non, corrige-la !

2] Calcule (sans calculatrice) la valeur des expressions suivantes : a) 4³

b) (−4)³ c) 4⁻³ d) −4³

e) −4⁻³ f) −10⁻⁴ g) (−10)⁴ h) −(−10)⁻⁴

3] Simplifie au maximum les expressions suivantes en donnant une réponse sans exposant négatif :

j) 𝑎⁵. 𝑎⁻⁵ k) 2𝑎𝑏⁻¹ l) 𝑎⁻³. 4𝑎⁵. (2𝑎²)⁻¹

4] Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Si oui, justifie par une propriété. Si non, corrige-la !

5] Range les valeurs suivantes dans l’ordre croissant : 50

7 √35 4√2 6 5,1 √41

6] Calcule la valeur des expressions suivantes (sans calculatrice) et donne la réponse sous la forme la plus simple possible :

a) 3√3. √3 b) √50 c) √(−11)² d) √25 − 9 e)

√

36 f) √121 + 49 g) √−15² h) 12

√3

i) −√8² j) √1,44 k) ^4√5

5√8 l) m) n) o) p) q)