I.Vocabulaireetrelations Index Plan Rédactionincomplète.Versionalpha Coniques

Coniques

Rédaction incomplète. Version alpha Plan

I. Vocabulaire et relations. . . . 1

1. Vocabulaire général . . . . 1

2. Paramétrisation polaire : pôle à un foyer. . . . 2

3. Coniques à centre : relations générales . . . . 2

4. Coniques à centre : relations spéciques . . . . 2

5. Lignes de niveau . . . . 2

II. Équation réduite . . . . 3

1. De la dénition par foyer et directrice à l'équation réduite . . . . 3

2. Conséquences de l'équation réduite. . . . 4

1. Ellipse . . . . 4

2. Hyperbole . . . . 5

3. Parabole . . . . 5

III. Dénition bifocale. . . . 6

1. Régionnement et directrices . . . . 6

2. De la dénition par foyer et directrice vers la dénition bifocale . . . . 6

3. De la dénition bifocale vers la dénition par foyer et directrice . . . . 7

IV. Lignes de niveau d'une fonction numérique du second degré . . . . 8

1. Discriminant . . . . 8

2. Recherche d'une équation réduite . . . . 8

3. Tangente . . . . 8

4. Coniques passant par des points donnés . . . . 8

V. Paramétrisations . . . . 8

1. Paramétrisation trigonométrique : origine au centre. . . . 8

2. Paramétrisation polaire : pôle à un foyer. . . . 9

3. Paramétrisation rationnelle . . . . 9

Index

anité orthogonale, 5 cercle principal, 5 changement de repère, 8 coniques

équation réduite, 4 axe focal, 1 centre, 2 paramètre, 1 sommet, 1

courbe paramétrée à accélération centrale, 8 hyperbole équilatère, 5

question de cours

coniques

dénition bifocale, 6

de foyer-directrice à équation réduite, 3 paramétrisation polaire, 8

vocabulaire et relations, 1 règle du dédoublement, 8 savoir-faire

coniques

éléments à partir d'une dénition bifo- cale, 7

élimination du terme en xy , 8 recherche du centre, 8

I. Vocabulaire et relations

Cette section présente (sans démonstration) les dénitions et résultats à retenir.

On se donne un point noté F et une droite notée D ne contenant pas F . Soit M un point quelconque du plan, on note H le projeté orthogonal de M sur D (gure 1). Une ligne de niveau de la fonction

M → d(M, F )

d(M, D)

est appelée conique.

F d(M, D)

H

D M

M F

H

−

→ i

Fig. 1: dénition par foyer et directrice

D p

p

Axe focal F

Fig. 2: paramètre et axe focal

1. Vocabulaire général

foyer : un point F directrice : une droite D

axe focal : droite passant par le foyer et orthogonale à la directrice. C'est toujours un axe de symétrie.

excentricité : un réel e strictement positif.

e < 1 : ellipse e = 1 : parabole e > 1 : hyperbole

paramètre : nombre noté p égal à la distance entre le foyer et les intersections de la courbe avec la droite parallèle à la directrice passant par le foyer. Par dénition p = ed(F, D) .

sommets : intersection de la conique avec l'axe focal. Bien noter que, en principe, il ne faut pas appeler sommets les intersections d'une ellipse avec l'axe de symétrie qui n'est pas l'axe focal.

2. Paramétrisation polaire : pôle à un foyer

Le support de la courbe paramétrée

θ → M (θ) = F + p 1 + e cos(θ − ϕ)

−

→ e

est la conique de foyer F et de directrice la droite D orthogonale à − u →

qui passe par H

= F +

− u →

.

3. Coniques à centre : relations générales

Il s'agit des coniques d'excentricité e 6= 1 : les hyperboles et les ellipses.

centre : lorsque e 6= 1 il existe un deuxième axe de symétrie. Son intersection avec l'axe focal est le centre noté C qui est centre de symétrie de la conique.

distance centre-foyer : noté c . distance centre-directrice : noté d . distance centre-sommet : noté a .

Les deux formules suivantes sont valables pour les ellipses et les hyperboles d = c

e

a = c

e (1)

4. Coniques à centre : relations spéciques

Il existe un repère orthonormé direct

dont l'origine est au centre tel que ( x et y désignant les fonctions coordonnées dans ce repère) l'équation cartésienne de la conique soit d'une forme particulière dite équation réduite.

ellipse hyperbole

équation réduite x

a

+ y

b

= 1 x

a

− y

b

= 1

condition 0 < b < a a > 0 et b > 0

distance centre-foyer c c

= a

− b

c

= a

+ b

Dénition bifocale. On note F et D

les points et droite symétriques de F et D par rapport au centre. On peut caractériser l'appartenance à la conique à l'aide des distances aux foyers.

ellipse hyperbole

F M + F

M = 2a |F M − F

M | = 2a

5. Lignes de niveau

Dénition. Soient a , b , c , d e , f des réels avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0) , soient x et y les fonctions coordonnées dans un repère quelconque. Une fonction du second degré est une fonction (numérique) de la forme

ax

+ bxy + cy

+ dx + ey + f Le discriminant d'une telle fonction est le réel

∆ = b

− 4ac

1. Les coniques sont des lignes de niveau de fonctions du second degré.

2. On étend la dénition des coniques. Une ligne de niveau d'une fonction du second degré qui n'est pas une conique est appelée conique dégénérée. Le discriminant permet de classer.

discriminant conique conique dégénérée

∆ < 0 ellipse vide ou cercle

∆ = 0 parabole une droite ou deux droites parallèles

∆ > 0 hyperbole deux droites sécantes

II. Équation réduite

1. De la dénition par foyer et directrice à l'équation réduite

La recherche d'un deuxième axe de symétrie va nous conduire aux équations réduites.

Notons C la conique de foyer F , de directrice D et d'excentricité e 6= 1 .

On note δ = d(F, D) , H

le projeté orthogonal de F sur D (intersection de la directrice et de l'axe focal ).

Considérons un repère dont le premier vecteur de base (noté − →

i voir gure 1) est unitaire, orthogonal à la directrice et dirigé de F vers D de sorte que −−→

F H

= δ − →

i avec δ > 0

1en fait il en existe exactement deux

L'origine C est sur l'axe focal mais n'est pas encore précisé. On choisira cette origine pour faire disparaitre le terme en x dans l'équation. On note x

l'abscisse de F . L'équation de la directrice est alors x = x

+ δ . Transformons l'équation de la conique :

M ∈ C ⇔ F M

= e

d(M, D)

⇔ (x − x

)

+ y

= e

(x − (x

+ δ))

⇔ (1 − e

)x

+ 2 −x

+ e

(x

+ δ)

x + y

= e

(x

+ δ)

− x

On annule le terme en x en choisissant l'origine pour que

−x

+ e

(x

+ δ) = 0 Cela devient :

(1 − e

)x

= e

δ ⇔ δ = −e

+ 1 e

x

=

−1 + 1 e

x

Ceci n'est possible que pour e 6= 0 d'où le nom de conique à centre pour les ellipses et les hyperboles. Il est important de remarquer que le signe de x

et les positions relatives des objets dépendent de la nature de la conique.

x

= e

δ

1 − e

< x

+ δ = x

= δ 1 − e

On en déduit les positions relatives pour la convention adoptée

genre excentricité x

x

conguration

ellipse < 1 > 0 > 0 centre - foyer - directrice hyperbole > 1 < 0 < 0 foyer - directrice -centre

Lorsque e croît vers 1 le centre va vers l'inni sur la gauche puis revient de l'inni de l'autre côté après que e ait traversé 1 . La distance centre-foyer est noté c = |x

| . La distance centre-directrice est notée d , on obtient la première relation annoncée :

d = |x

+ δ| = |x

| e

= c

e

On peut alors réécrire l'équation :

(1 − e

)x

+ y

= c

e

− c

= 1 − e

e

c

x

c² e²

+ y

(1 − e

)

= 1

On en déduit que les sommets (intersection de la conique avec l'axe focal d'équation y = 0 ) sont les points de coordonnées (

, 0) et (−

, 0) ce qui donne la deuxième relation annoncée.

a = c e

Dans le cas d'une parabole, aucun repère ne s'impose aussi naturellement que pour les coniques à centre mais une tradition demeure. On revient à la première forme de l'équation avec e = 1 et on développe, il vient

M ∈ C ⇔ 2δx + y

= 2δx

+ δ

⇔ y

= 2δ(x

− x) + δ

On retrouve bien sous cette forme que y = ±δ lorsque x = x

ce qui traduit p = δ . Le paramètre est égal à la distance foyer-directrice. Le repère tradionnel est alors (S, (− − →

i , − − →

j )) . Si X et Y sont les fonctions coordonnées dans ce repère l'équation devient

Y

= 2pX

2. Conséquences de l'équation réduite

À la n du paragraphe précédent nous sommes arrivés (pour une conique C d'excentricité diérente de 1 ) à une équation de la forme

x

c² e²

+ y

(1 − e

)

= 1

Cette formule prend une forme diérente suivant que e est plus petit ou plus grand que 1.

Fig. 3: ellipse Fig. 4: hyperbole

1. Ellipse

x

a

+ y

b

= 1 avec

a = c

e b

= (1 − e

) c

e

= a

− c

0 < b < c On en déduit diverses propriétés :

L'ellipse est incluse dans un rectangle : si M ∈ C alors |x(M )| ≤ a et |y(M )| ≤ b . Comme d =

=

> a , les directrices sont à l'extérieur de ce rectangle.

la fonction t → O + a cos t − →

i + b sin t − →

j est une paramétrisation de C .

L'ellipse C est l'image du cercle de centre O et de rayon a par l'anité orthogonale d'axe Ox et de rapport

b

a

c'est à dire l`application

M → O + x(M ) − → i + b

a y(M ) − → j Construction géométrique avec les cercles de rayon a et b .

2. Hyperbole

x

a

− y

b

= 1 avec

a > 0 b > 0 a = c

e b

= (e

− 1) c

e

= c

− a

On en déduit diverses propriétés :

L'hyperbole est en dehors d'une bande verticale : si M ∈ C alors |x(M )| ≤ a . Comme d =

=

< a , les directrices sont dans cette bande.

la fonction t → O + a ch t − →

i + b sh t − →

j est une paramétrisation de C .

La paramétrisation précédente permet de montrer que les droites d'équation x

a + y

b = 0 x

a − y b = 0 sont asymptotes

hyperbole équilatère, repère attaché aux asymptotes 3. Parabole

Fig. 5: parabole On considère une parabole d'équation

y

= 2px On peut en déduire diverse propriétés

Si M est sur la parabole x(M ) ≥ 0 .

L'origine est au sommet. Distance - foyer directrice = p . Distance sommet-foyer=

. On peut paramétrer par y :

t → O + t

2p

−

→ i + t − → j

III. Dénition bifocale

1. Régionnement et directrices

Considérons d'abord quelques objets et formules valables pour les deux types de conique à centre à partir de la donnée d'un foyer, d'une directrice et d'une excentricité. Notons en particulier C la conique dénie par ces données.

distance centre-sommet : a = c e

distance centre-directrice : d = c e

= a

e

La diérence des carrés des distances aux foyers s'exprime aussi de la même manière :

M F

= (x(M ) − c)

+ y(M )

M F

= (x(M ) + c)

+ y(M )

on en déduit :

M F

− M F

= −4x(M )c = (M F + M F

)(M F − M F

) On peut auusi écrire

ed(M, D) = e|x(M ) − d| = |ex(M ) − a| ed(M, D

) = e|x(M ) + d| = |ex(M ) + a|

Introduisons alors trois parties du plan dénies par les directrices.

D D⁰

F⁰ F

a d

Fig. 6: ellipse : d = a e > a

D D⁰

F⁰ F

d

a

H₊ H−

Fig. 7: hyperbole : d = a e < a

partie description caractérisation ed(M, D) ed(M, D

) M ∈ P

M à droite de D x(M ) > d ex(M ) − a ex(M ) + a M ∈ P

M à gauche de D

x(M ) < −d −ex(M ) + a −ex(M ) − a M ∈ P

M entre D

et D −d < x(M ) < d −ex(M ) + a ex(M ) + a

2. De la dénition par foyer et directrice vers la dénition bifocale

Dans le cas où e < 1 , la conique C est une ellipse. L'étude des équations réduites a montré que C ⊂ P

. Le tableau entraine alors :

M ∈ C ⇒ M F + M F

= ed(M, D) + ed(M, D

) = 2a

Dans le cas où e > 1 , la conique C est une hyperbole. L'étude des équations réduites à montré qu'elle est constituée de deux branches : C = H

∪ H

telles que H

⊂ P

et H

⊂ P

. Le tableau entraîne alors :

M ∈ H

⇒ M F − M F

= ed(M, D) + ed(M, D

) = −2a M ∈ H

⇒ M F − M F

= ed(M, D) + ed(M, D

) = 2a

3. De la dénition bifocale vers la dénition par foyer et directrice

On se donne deux points F et F

de coordonnées (c, 0) et (−c, 0) et un réel a > 0 . On pose : e = c

a d = a

e D : droite d'eq x = d D

: droite d'eq x = −d

On dénit aussi les points S et S

de coordonnées (a, 0) et (−a, 0) et la conique C dénie par ces données. On peut alors utiliser les objets et formules dénies au début.

Si a > c et M un point du plan tel que M F + M F

= 2a . Alors

M F

− M F

= −4x(M )c = (M F + M F

)(M F − M F

) ⇒ M F − M F

= −2 c

a x(M ) = −2ex(M ) puis

M F + M F

= 2a M F − M F

= −2ex(M )

)

⇒ M F = a − ex(M ) = e(d − x(M ))

Ceci entraîne que d − x(M ) est positif et égal à d(M, D) . On en déduit M F = ed(M, D) .

Le point est donc sur l'ellipse.

D D⁰

F⁰ F S⁰ S

Fig. 8: a > c, e < 1, d > a

D⁰ D

F⁰ A⁰ A F

Fig. 9: a < c, e > 1, d < a

Si a > c et M un point du plan tel que M F − M F

= 2a . Alors

M F

− M F

= −4x(M )c = (M F + M F

)(M F − M F

) ⇒ M F + M F

= −2 c

a x(M ) = −2ex(M ) puis

M F − M F

= 2a M F + M F

= −2ex(M )

)

⇒ M F = a − ex(M ) = e(d − x(M ))

Ceci entraîne que d − x(M ) est positif (donc M / ∈ P

et égal à d(M, D) . On en déduit M F = ed(M, D) . Le point est donc sur l'hyperbole, plus précisément sur la branche H

car il n'est pas dans P

.

Si a > c et M un point du plan tel que M F − M F

= −2a . Alors

M F

− M F

= −4x(M )c = (M F + M F

)(M F − M F

) ⇒ M F + M F

= 2 c

a x(M ) = 2ex(M ) puis

M F − M F

= −2a M F + M F

= 2ex(M )

)

⇒ M F = −a + ex(M ) = e(−d + x(M ))

Ceci entraîne que −d + x(M ) est positif (donc M ∈ P

et égal à d(M, D) . On en déduit M F = ed(M, D) . Il est donc sur la conique, plus précisément sur la branche H

.

Remarque (éléments à partir d'une dénition bifocale). On peut utiliser cette démonstration pour déterminer pratiquement les éléments d'une conique dénie à partir de ses deux foyers. Par exemple soit F et F

tels que F F

= 6 et E la conique dénie par :

M ∈ C ⇔ F M + F

M = 10

On choisit un repère dont l'origine est au milieu des foyers, l'axe Ox est l'axe focal dirigé de F vers F

de sorte que les coordonnées de F sont (3, 0) et celles de F

sont (−3, 0) avec c = 3 et a = 5 . Alors

F M

− F

M

= (x − 3)

− (x + 3)

= −12x F M + F

M = 10

)

⇒ F M − F

M = − 6 5 x F M + F

M = 10







⇒ F M = − 3

5 x + 5 = 3 5

25 3 − x

On en déduit l'excentricité

e = 3 5

IV. Lignes de niveau d'une fonction numérique du second degré

1. Discriminant

Discriminant et déterminant du système de recherche du centre

2. Recherche d'une équation réduite

Exemple pour f = x

+ xy + y

− 2 . On dénit un nouveau système de coordonnées : x = cos(θ) X + sin(θ) Y

y = − sin(θ) X + cos(θ) Y

et on cherche les θ annulant le terme en XY en remplaçant dans l'expression. Si on ne dispose pas d'un logiciel de calcul formel, il est commode de procéder en tableau :

x

= cos

(θ) X

+ sin

(θ) Y

+ 2 sin(θ) cos(θ) XY y

= sin

(θ) X

+ cos

(θ) Y

− +2 sin(θ) cos(θ) XY

xy = − cos(θ) sin(θ) X

+ cos(θ) sin(θ) Y

+ (cos

(θ) − sin

(θ) )XY



 

 

⇒

terme XY de f = cos

(θ) − sin

(θ) = cos(2θ) On choisit alors θ =

et on remplace. (cela ne sera pas forcément le choix dénitif)

f = 1 2 X

− 3

2 Y

− 2 puis

1 2 X

− 3

2 Y

− 2 = 0 ⇔ X

4 + Y

4 3

= 1 Ceci est bien une équation réduite (d'une ellipse) avec a = 2 > b =

3

. Dans certains cas il faut permuter les deux axes pour bien avoir l'axe focal comme axe Ox .

3. Tangente

Règle du dédoublement

4. Coniques passant par des points donnés

V. Paramétrisations

1. Paramétrisation trigonométrique : origine au centre

t → C + a cos t − →

i + b sin t − → j t → C + a ch t − →

i + b sh t − → j . à rédiger

il s'agit de courbes paramétrées à accélération centrale. Le paramètre t est proportionnel à l'aire balayée (cercle principal)

2. Paramétrisation polaire : pôle à un foyer

θ → M (θ) = F + p 1 + e cos(θ − ϕ)

−

→ e

Dénissons le point H

= F +

− u →

et la droite D passant par H

et orthogonale à − u →

. Calculons alors ( −−−−−→

H

M (θ)/ − u →

) dont la valeur absolue est la distance de M (θ) à D . Comme

−−−−−→

H

M (θ) = −−→

H

F + −−−−→

F M (θ) = − p e

−

→ u

+ −−−−→

F M (θ) il vient :

( −−−−−→

H

M (θ)/ − u →

) = − p

e + p

1 + e cos(θ − ϕ) cos(θ − ϕ) = p 1 + e cos(θ − ϕ) On en déduit que

d(M (θ), D) = |( −−−−−→

H

M (θ)/ − u →

)| = 1 e OM (θ)

Ce qui prouve bien que M (θ) est sur la conique de foyer F de directrice D et d'excentricité e . Remarque. Dans le cas d'une hyperbole ( e > 1 ), le réel

r(θ) = p

1 + e cos(θ − ϕ)

n'est pas toujours strictement positif. L'annulation du dénominateur correspond aux asymptotes ... à rédiger

3. Paramétrisation rationnelle

On xe un point M

de la conique et on considère les droites qui passent par ce point. Elles coupent la conique en deux points dont M

. On peut donc associer un point de la conique à chaque droite. Si par exemple on note D

la droite qui passe par M

et de direction − →

i + t − →

j , on obtient ainsi une paramétrisation de la conique éventuellement

privée du point M

.