D20545. Bitangence
Soit une conique à centre (C), intersection d’un cône de révolution (S) et d’un plan (P). Les cercles focaux de première espèce de (C) (cercles centrés sur l’axe focal et bitangents à la conique) apparaissent « naturellement », dans les démonstrations des théorèmes de Dandelin sur les sections coniques, comme intersections avec (P) des sphères centrées sur l’axe du cône (S) et tangentes à celui-ci.
Saurez-vous faire apparaître d’une façon analogue les cercles focaux de deuxième espèce de (C) (cercles centrés sur l’axe non focal et bitangents à la conique) et leur propriété (la même que celle des cercles focaux de première espèce : la conique (C) est le lieu des points dont le rapport de la puissance par rapport à un cercle focal, au carré de la distance à la droite des contacts de ce cercle focal avec (C), est constant) ?
Solution
Soit (C) la conique du plan xOy, de centre O et d’axe focal Oy, A et A0 les sommets de l’axe focal. Pour répondre à la question posée, il suffit de construire un cône de révolution dont l’axe soit dans le plan xOz, et qui contienne la conique (C).
Soient T etT0 les intersections sur Oz des isotropes du plan yOz issues de AetA0. Le cône (T) de sommet T, et de base (C) dans le plan xOy est un cône du second degré, coupé par tout plan parallèle au plan yOz selon des coniques qui sont évidemment des cercles (leurs points à l’infini sont ceux des isotropesT AetT A0). Le lieu des centres de ces cercles est une droiteT t, perpendiculaire au planyOz(pour des raisons de symétrie) et donc parallèle à Ox. Le cône (T) est donc de révolution et son axe est T t. Les parallèles menées par T aux asymptotes de la conique (C) constituent l’intersection du cône (T) avec le plan parallèle au plan xOy contenant l’axe T tde (T) : le demi-angle au sommet de (T) est donc l’angle qu’une asymptote de (C) fait avec la droiteOx. Il suffit ensuite de reprendre la démonstration connue relative aux cercles focaux de première espèce.
Une sphère (Σ), centrée sur la droite T t et tangente au cône (T), touche celui-ci selon un cercle situé dans un plan (Π) parallèle au plan yOz. (Σ) coupe le planxOyselon un cercle (Γ), centré sur la droiteOxet bitangent à la conique (C) : (Γ) est un cercle focal de deuxième espèce de (C) ; la droite des contacts de (C) et (Γ) est la trace ∆ de (Π) dans le plan xOy. Si M est un point de la conique (C) etµ le point où la génératriceT M du cône (T) coupe (Γ), la puissance de M par rapport à (Γ) vaut M µ2, et son rapport au carré de la distance de M à ∆ est constant et égal à l’inverse du carré du cosinus du demi-angle au sommet du cône (T), c.q.f.d.
